Haldane大叔的猜想 諾獎深度解析
（系列文章之三）
Haldane大叔的猜想
孟子楊（物理所）劉正鑫（人民大學）
今年的諾貝爾物理學獎授予了三位理論物理學家，分別是美國華盛頓大學的 David J. Thouless,普林斯頓大學的 F. Duncan M. Haldane和布朗大學的 J. Michael Kosterlitz,以表彰他們在凝聚態中拓撲相變和拓撲相方面的傑出貢獻。作為在這一領域工作的晚輩研究者，我們衷心地為幾位前輩的獲獎而感到高興，同時也深受鼓舞。Haldane獲獎的主要原因是以他命名的 Haldane conjecture和後來提出的反常量子霍爾理論模型（後者對拓撲絕緣體的發現和整數反常霍爾材料的製備起了重要的作用）。這篇小文，就從這位和藹可親的 Haldane大叔和他著名的猜想講起。
讓我們一起回到上個世紀八十年代。對於凝聚態物理，那是一個激動人心的時代，一系列重要的故事都發生在這個年代：高溫超導體和量子霍爾效應相繼被發現 (前者目前在理論上還沒有完全定論，但是後者就是拓撲物質形態的代表)。兩個實驗上的突破激勵著理論上的重大變革：統治了凝聚態物理學幾十年 Landau理論，包括費米液體理論和基於對稱自發破缺的連續相變理論受到挑戰，再也招架不住實驗上革命性的新發現的連續攻勢。新的理論應運而生，其中包括拓撲相和拓撲序這些嶄新的概念。Haldane大叔在一維反鐵磁自旋鏈中的著名的工作就是在這個時代完成的。
1983年 Haldane大叔做出了一個猜想：整數和半整數具有反鐵磁海森堡相互作用的量子自旋鏈，
它們的基態都沒有長程反鐵磁序（與之相對的是，經典反鐵磁自旋鏈在零溫下具有反鐵磁長程序），但其磁激發譜有很大的不同，前者的磁激發譜有能隙，而後者沒有Haldane [1983a,b]。
圖1: S=1 的AKLT 模型基態。每個S=1 的自旋（圖中的橢圓）可以拆成兩個S=1/2 （圖中的黑點），兩個S=1/2 又可以組合成一個自旋單態。系統在體內是自旋單態的直積，在左右邊界上各有一個S=1/2 的邊界態。
Haldane這個猜想為什麼如此有名呢？原因有三。其一，80年代以前，人們還沉浸在 Landau的對稱破缺理論中，還是習慣於從對稱性破缺和長程序來區分物質的不同形態或者相，而 Haldane的猜想猶如一聲驚雷，讓人們開始關注沒有對稱破缺的物質形態，裡面有一個很大的未開墾的王國，即拓撲物質形態，或拓撲相；其二，整數和半整數自旋的區別完全是量子力學的效應，是量子的威力在宏觀的強關聯多體系統中的體現，沒有經典的物理對應；其三，Haldane預言的量子相在實驗上被實現，其猜想的正確性也被大量研究所證實。
Haldane還研究了海森堡相互作用中存在各向異性的情況，闡明能隙的存在是很穩定的，不受 XXZ類型或單離子或其他類型的各項異性項的影響。由於整數自旋（特別是S=1）的反鐵磁鏈中的能隙不受微擾的影響，這個穩定存在的有能隙的量子態構成一個非平庸的量子相（其基態沒有對稱破缺，但因為存在邊界態，而與平庸的有能隙的直積態有本質區別），後來被稱為 Haldane phase。
Haldane有著過人的計算能力和良好的物理直覺。其猜想是從准經典的角度，在磁有序的經典基態上考慮量子漲落，並在大的時間和空間尺度下取連續極限，通過場論的分析而得到的。由於其理論相對比較晦澀，這些我們放到本文後半部分講解，這裡先說說 Haldane猜想對後來研究產生的影響。
在 Haldane大叔提出 conjecture之後不久，Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki四位大佬提出了後來以其名字命名的 AKLT模型Affleck et al. [1987]（其基態可以嚴格的得到，如圖1所示），簡潔而漂亮闡述了S=1的自旋反鐵磁鏈的基態，即 Haldane phase，並證明了其（1）沒有反鐵磁長程序；（2）具有有限的能隙；（3）具有自旋S=1/2的邊界態。其中第三條是 Haldane phase最異乎尋常也最引人注意的地方。可惜的是 Haldane本人沒有意識到整數自旋鏈具有半整數自旋邊界態這個奇特性質，後來才被 Tai-Kai Ng從場論角度解釋清楚Ng [1994]。看來 Nobel獎級的大人物的思維也有斷電的時候:-)；亦或是 Haldane大叔宅心仁厚，給後人分一杯羹。
圖2: (a) 反鐵磁海森堡自旋梯子的量子蒙特卡洛模擬結果。縱軸為磁化率，橫軸為溫度。偶數條腿的自旋梯子，相當於S 為整數的自旋鏈，具有能隙，磁化率在低溫下指數地降為零；奇數條腿的自旋梯子，相當於S 為半整數的自旋鏈，沒有能隙，磁化率在低溫下為常數。(b) S = 1 的反鐵磁海森堡自旋鏈中的邊界態。(c) S = 1 的反鐵磁海森堡自旋鏈中的Haldane gap, L 為鏈長度，在鏈為無窮長時（1/L^2 = 0）, gap 為有限值。
AKLT 模型與S=1 的反鐵磁海森堡模型並不完全一致，但它們的基態都屬於Haldane phase，具有共同的性質。隨後人們發現，Haldane phase 中雖然沒有明顯的對稱破缺，卻存在隱藏的對稱破缺，而且可以通過所謂的弦序參量（string order）
來描述這一隱藏的對稱破缺造成的長程序den Nijs and Rommelse [1989]。值得注意的是，被破缺的隱藏的對稱性是非局域的對稱性，與通常的global 的對稱性是不同的。而且弦序參量本身也是非局域的，不同於通常意義上的局域物理量的長程關聯（如下式）。
由於具有上述一系列非平凡的物理性質，Haldane phase 是目前公認的早期被發現的拓撲相之一（另一個典型的例子是量子霍爾態）。Haldane 猜想提出不久便吸引了數值和實驗上的大量的研究。下面我們來看看Haldane phase, Haldane gap 存在的證據。
90 年代初，Steven White 發明了密度矩陣重正化群的計算方法，並在S = 1 反鐵磁海森堡模型自旋鏈中直接看到S = 1/2 的自旋邊界態和體內有限大小的Haldane gap (如圖2(b,c) 所示)White [1992], White and Huse[1993]; 而整數和半整數自旋的反鐵磁自旋鏈，還可以推廣的具有偶數和奇數條腿的S=1/2 反鐵磁海森堡自旋梯子，如圖2(a) 所示，對於自旋梯子的量子蒙特卡洛模擬中，整數和半整數自旋在能譜上的不同也被清楚地看到Dagotto and Rice [1996]。
實驗學家嗅覺也異常靈敏，80 年代便有實驗數據顯示了Haldane gap 的存在。後來陸續不少實驗驗證了基態的無序，以及參雜後斷鏈處出現S = 1/2 的邊界磁矩。圖3中顯示的是S = 1 的反鐵磁自旋鏈材料CsNiCl3的非彈性中子散射譜Kenzelmann et al. [2002]，人們清楚地看到了自旋能隙。
圖3: 自旋鏈材料CsNiCl3 的中子散射譜，Ni2+ 離子自旋S=1，排成鏈狀。轉移動量Qc=1.00 處的自旋能隙清晰可見。
現在，我們回到理論上的問題，嘗試著從凝聚態場論的角度，理解Haldane 大叔的猜想和其中拓撲思想的精髓。Haldane 首先指出反鐵磁自旋鏈的低能有效作用量可以用拓撲O(3) Nonlinear sigma（NLS）模型來描述。人們熟悉的通常的O(3) NLS 作用量為
Haldane 指出，需要在上述作用量的基礎上加上一個現在被稱為θ-term 的拓撲項（兩者合起來被稱為拓撲NLS）
其中 = 2S，S 可以為整數或者半整數，n(x; t) 是單位矢量，描述連續時空中的自旋場局域反鐵磁序的方向，(x; t) 是2 維連續時空坐標（術語叫1+1 維）。這個拓撲項θ-term 正是Haldane 猜想產生的根源。
為了看清這個θ-term 的影響，我們不妨先不考慮它，看看普通的NLS 中會發生什麼。如果把NLS 中的單位矢量n換成標量? , 則其經典運動方程為：，從而給出色散關係：，在k = 0 處, 系統是無能隙的。但是，由於n是單位矢量，各個方向的運動方程互相制約，不再是線性的，結果會導致系統能譜有一個有限的能隙。能隙的產生可以從n(x; t) 在1+1 維路徑積分中的拓撲非平庸的漲落來理解，如圖4(b) 所示。我們注意到1+1 維反鐵磁自旋鏈的NLS 存在一個經典的孤子解（或瞬子），即所謂的skyrmion，如圖4(c) 所示，其自旋構型像一個刺蝟球，是拓撲非平庸的。在skyrmion 構型中，當跑遍時空每一點，局域反鐵磁序n(x; t)的指向正好遍歷球面上的所有方向一次。用拓撲的語言來說，反鐵磁序參量n（或自旋指向）在時空中的纏繞數是1。
圖4: (a) 反鐵磁自旋鏈的磁有序構型。(b) 自旋場局域反鐵磁序參量n(x; t) 在1+1 維無窮時空中的表述，其中中間的點與（c）中球面的南極點對應，無窮遠點與(c) 圖球面的北極點對應。(c) 自旋場局域反鐵磁序參量n(x; t) 形成的skyrmion 自旋場在球面上的表述。
由於skyrmion 構型中無窮遠點的磁序的方向被翻轉，從而skyrmion 的出現傾向於破壞自旋長程序。在路徑積分：
中我們必須考慮具有不同skyrmion 數目的自旋構型（skyrmion 數目即自旋指向在時空中的纏繞數，可以是任意整數）的貢獻。由於skyrmion 構型只消耗有限的作用量，skyrmion 的平均密度是有限大小的。結果就是自旋長程序被skyrmion 的漲落所破壞，自旋關聯在時空中都是短程的。也就是說，量子漲落使系統打開了有限的能隙。因此，如果沒有θ-term, 系統本身是有能隙的。
那麼作用量中的拓撲項Stop會起到什麼作用呢？注意到如果閉合時空中的自旋構型中有一個skyrmion，則拓撲項中的積分正好是球面的立體角4π，因此拓撲項就是給每一個skyrmion 附加一個θ相位。或者說，作用量中的拓撲項貢獻的相位等於skyrmion 數目N 乘以θ。由於閉合時空中的skyrmion 數必須為整數，當θ= 2π或者2π的整數倍的時候（S 為整數自旋），拓撲項也是2π的整數倍，從而對路徑積分完全沒有貢獻，可以預期系統的能譜和θ= 0 時一致，仍然是有能隙的；當θ=π或者 的π奇數倍的時候（S 為半整數自旋），拓撲項將對路徑積分貢獻一個非平庸的符號(-1)^N：也就是說，拓撲項對路徑積分在N 為奇數時貢獻一個負號，而N 為偶數時貢獻一個正號。由於不同的符號會在路徑積分：
中發生嚴重的干涉效應，使得半整數自旋系統的性質與沒有拓撲項的情況相比會發生質的改變。但究竟會發生什麼樣的改變呢？在當時，通過Bethe-ansatz 的嚴格解，人們已經知道S=1/2 的反鐵磁海森堡模型基態上的激發是無能隙的。基於此，Haldane 大叔大膽猜測，所有半整數自旋反鐵磁鏈，激發都是無能隙的！簡而言之，就是對於整數自旋的系統（如S=1），拓撲項的存在不改變其有能隙的能譜；而對於半整數的自旋系統（如S=1/2），拓撲項的存在引入路徑積分中的干涉效應，是能譜變得無能隙。從前文中各位看官已經知道了答案，歷史的發展證明Haldane大叔的猜想是正確的。
從上面的分析看來，θ-term 似乎只對半整數自旋鏈產生了影響。而對整數自旋，它只對閉合時空路徑積分貢獻一個平凡的因子1。這是否意味著θ-term 對於整數自旋系統的基態完全不起作用呢？不然！好戲還在後面。為了看清θ-term 的影響，我們考慮開放邊界條件下的路徑積分。假設1+1 維的時空具有柱面的形狀，那麼由於時空不閉合，拓撲項不再量子化為2πS 的整數倍。但是如果我們把柱面的兩端的圓盤補上（如圖5所示），則時空的拓撲項（側面）加上補上的兩端圓盤面的拓撲項的總和是2πS 的整數倍。換句話說，側面拓撲項等於2πS 的整數倍減去兩端圓盤面的拓撲項。因此，拓撲項的影響可歸結為空間兩個端點處的積分給出的相位，而每個端點處的相位
(這裡u 是邊界上引入的輔助坐標) 等於自旋所張開的立體角Ω 乘以S/2, 與大小為S/2 的自由自旋絕熱演化的Berry phase 完全一致Ng [1994]。這意味著對於整數自旋S 的反鐵磁海森堡鏈，開放邊界條件下，其基態存在兩個自旋為S/2 的邊界態！這樣體內有gap, 邊界上有邊界態的相，就是Haldane phase。Haldane phase 可以通過在模型中加入其它的自旋的相互作用，關閉Haldane gap 而進入拓撲平庸的相，這其中的相變，就是1+1 維NSL +θ-term 的拓撲相變。
圖5: 開邊界條件下的1+1 維路徑積分。
Haldane conjecture 被證實，Haldane phase 被觀測，以及同時代實驗和理論上的一系列進展（比如量子霍爾效應的實驗發現和理論解釋），讓人們開始認識到，除了以往的對稱破缺相以外，自然界中還普遍存在另一大類非平凡的拓撲物質形態或拓撲相，這些相有能隙，沒有傳統的長程序，超越Landau 對稱破缺理論，而且某些非平凡的特性（比如存在邊界態）能對抗微擾而穩定的存在。Haldane phase，以及前面提到的整數和分數量子霍爾效應，以及高溫超導觸發的關於（有能隙的）自旋液體的大量研究，都是拓撲相的範疇。還有更激動人心的非對易自旋液體的出現，更是顛覆了人們以往對物質的相的認識。這些非平凡的量子相有一個共同的特點，即低能有效理論由拓撲場論（其中包括拓撲量子場論）或代數所描述，用拓撲的語言來分類，因而被統稱為拓撲相。而前面提到的θ-term 只不過是拓撲的一種形式而已，還有Wess-Zumino-Witten-term, Chern-Simons-term，BF term 等等，甚至是某種代數。拓撲相目前已成為凝聚態物理中一個非常重要的研究領域。能夠在80 年代就意識拓撲相和拓撲物態，正是Haldane 大叔目光深遠的地方。不過Haldane 大叔自己可能也沒有想到，30 多年來，凝聚態物理中的拓撲物態研究，已經變成一股汪洋恣肆的洪流，蔚為大觀。
人們對自然的認識是隨時間推移而逐步明朗化清晰化的。前面提到了各種不同的拓撲相，卻並不一定都具有（內稟）拓撲序。現在人們意識到，對稱性與拓撲之間有著深刻的關係，而拓撲對物理性質的影響大致可分為兩種，一種比較「脆弱」，依賴於對稱性的存在而存在；而另一種則更「堅強」，即使系統不存在對稱性仍然具有非平凡的拓撲特性。相應地，拓撲相分為對稱保護拓撲相和內稟拓撲相（如果內稟拓撲相還具有全局對稱性則還會細分為對稱豐富拓撲相）。其中的本質區別，正是多體糾纏的區別：前者只有短程糾纏，而後者具有長程糾纏！Haldane phase 就是典型的對稱保護拓撲相的例子Gu and Wen [2009],Chen et al. [2012]，只具有短程糾纏，並不具有內稟的拓撲序。這些新的概念顛覆了人們早期對Haldane 相的認識，它們產生的歷史過程也頗為曲折。而正是這些概念的澄清，使得我們對物質的理解更加深刻，也有助於我們去發現和預言更多的新奇的物質形態。
目前，以Haldane phase 和拓撲絕緣體為代表的對稱性保護拓撲相（英文symmetry protected topologicalphases, 簡稱SPT），以及SPT 之間的拓撲相變，已然發展成凝聚態理論的前沿領域。在這股SPT 和拓撲相變的大潮中，筆者也在親身參與著，比如將Haldane phase 向不同對對稱群和更高維度的推廣Liu et al. [2012, 2014],以及將前文中的1+1 維NSL+θ-term 的拓撲相變推廣到2+1 維，並用大規模的量子蒙特卡洛模擬嚴格地研究這樣的拓撲相變He et al. [2016],Wu et al. [2016]，正是我們的工作，有榮與焉！
系列文章
參考文獻
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