日本菲爾茲獎得主小平邦彥：數學的印象

小平邦彥

小平邦彥（Kunihiko Kodaira，1915.3.16-1997.7.26），日本著名數學家。在代數幾何和復幾何領域做出了許多重大的貢獻：證明了復曲面的黎曼-羅赫定理，證明了小平消滅定理和小平嵌入定理，對緊復曲面做出了系統的分類，並發展了高維複流形的形變理論。他於1954年獲得菲爾茲獎。

撰文

什麼是數學？不太清楚。但我以為關心數學的某些人會有這樣的感覺，認為數學實際不就是這麼回事嗎？本文要敘述一個數學家看到數學的印象，即像我這樣對數學專業以外的事情就不太懂的單純的數學家，在研究數學時，感到數學是什麼呢？我是直率而不加修飾的談這一問題以提供讀者參考。一般認為數學是按嚴密的邏輯構成的科學，即使與邏輯不盡相同，卻也大致一樣。但是實際上，數學與邏輯沒有什麼關係。數學當然應該遵循邏輯，但邏輯在數學中的作用就像文法在文學中的作用那樣。書寫合乎文法的文章與照著文法去寫小說完全是兩碼事；同樣，進行正確的邏輯推理與堆砌邏輯去構成數學理論是性質完全不同的性質。通常的邏輯誰都明白，要是數學能歸結到邏輯，那麼誰都應該懂得數學了。但是初中高中很多學生理解不了數學卻是眾所周知的事實。精通語言學但數學成績不好的學生不在少數。所以我認為數學在本質上與邏輯不同。

數學

考慮除數學外的自然科學，例如物理學可以說是研究自然現象中物理現象的科學。在同樣的意義上，數學就是研究自然現象中數學現象的科學。因此，理解數學就要「觀察」數學現象。這裡說的「觀察」不是用眼睛去看，而是根據某種感覺去體會。這種感覺雖然有些難以言傳，但顯然是不同於邏輯推理能力之類的純粹感覺，我認為更接近於視覺。也可稱之為直覺，為了強調是純粹感覺，以下稱此感覺為「數覺」。直覺包含著「一瞬領悟真諦」的含義，不太貼切。數學的敏銳，如同聽覺的敏銳一樣，與頭腦好壞沒有關係（指本質上沒有關係的意思，而不是統計上沒有相關關係）。但是要理解數學，不靠數學便一事無成。沒有數覺的人不懂數學就像五音不全的人不懂音樂一樣（這隻要擔當數學不行的孩子的家庭教師就馬上明白。你眼前看到的事情孩子卻怎麼也看不見，說明起來很吃力）。數學家自己並不覺得如在證明定理時主要是具備了數覺，所以就認為是邏輯上作了嚴密的證明，實際並非如此，如果把證明全部用形式邏輯記號寫下看看就明白了。那就過份冗長，實際上不可能（當然不是說證明在邏輯上不嚴密。而是依照數覺，那些明顯的事實就略去邏輯推理而已）。最近每每談及數學的 sense（感受），而作為數學 sense 基礎的感覺，可以說就是數覺。數學家因為都有敏銳的數覺，自己反倒不覺得了。

數學也以自然現象為對象

把數學的對象看作是自然現象的一部份，也許有人說這不講道理，但是數學現象與物理現象同樣是無可爭辯的實際存在的，這明確表現在當數學家證明新定理時，不是說「發明」了定理，而是說「發現」了定理。我也證明過一些新定理，但絕不是覺得自己想出來的。只不過感到偶而被我發現了早就存在的定理。

正如大家不斷指出的那樣，數學對理論物理起著難以想像的作用。簡直可以認為物理現象彷彿全都遵循著數學的法則。而且在許多場合，物理理論所需要的數學在該理論被發現以前很久就已經由數學家預先準備好了。典型的例子要算愛因斯坦廣義相對論中的黎曼空間了。數學對物理如此起作用，其理由何在呢？過去的說法，歸結起來是說數學是物理的語言。也許可以說，如廣義相對論中黎曼幾何的作用就是一種語言。但是在量子力學中，數學卻真起了魔術般的神秘作用，在這裡無論如何也不能認為數學只是語言了。

翻開量子力學教科書，首先看到的是光的干涉、電子的散射等實驗的說明，然後表明，光子、電子等的粒子狀態可以用波動函數（即屬於某個 Hilbert 空間的向量）來表示並導出與若干狀態的波動函數有關的迭加原理。迭加原理認為，狀態 A 若是狀態 B 與 C 的迭加，則 A 的波動函數就是 B 的波動函數與 C 的波動函數的線性組合，它是量子力學的基本原理。

什麼叫粒子的狀態呢？例如加速器內電子的狀態就是由加速器決定的，所以，粒子狀態可認為是該粒子所處的環境。因此在量子力學中就用唯一的波動函數（向量）來表示複雜至極的環境。這裡首先是進行簡單化、數學化的處理。狀態 A 是狀態 B 和 C 的迭加是怎麼一回事呢？對於教科書中光的干涉等情形，其意義可以認為是顯然的，而在一般場合，卻很難理解環境 A 是環境 B 與 C 的迭加的意義。雖然根據普通觀測的干擾可以說不確定性原理，例如不能同時觀測粒子的位置與速度，但畢竟不能把粒子同時放在位置觀測裝置與速度觀測裝置中。就是說，粒子不能同時存在於二個環境中。那麼什麼又是這樣二種環境的迭加呢？很難說清楚。另一方面，波動函數的線性組合演算在數學中卻是完全初等的、簡單明了的。迭加原理認為，這種簡明的數學演算表現了複雜奇怪狀態的迭加。就是說數學的演算支配著量子力學的對象即物理現象。明白了迭加的物理意義，就知道不是用數式表示它，而是把線性組合表示的狀態迭加當作公理，反過來按數學演算來確定迭加的意義。正如 R. Feynman 所說，迭加原理的說明只能到此為止。只能認為量子力學是基於數學不可思議的魔力。所以我認為，在物理現象的背後在著數學現象是無可爭辯的。

數學是實驗科學

物理學家研究自然現象，在同樣意義上，數學家研究著數學現象。也許有人會說，物理學家做各種各樣的實驗，而數學家不就是思考嗎？但是，這種情況的「思考」就是思考實驗的意思，例如與「思考」考試題的性質不同。我們知道，對考試問題，只要適當組合某個確定範圍內已知的事實，一小時內一定能夠解決，思考的對象、思考的方法都擺在面前。而實驗則是為了調查研究原先未知的自然現象，當然其結果就無法猜想，也許什麼結果也得不到。數學也完全一樣，它是探究未知的數學現象的思考實驗，雖說是思考，但思考的對象是未知的，思考些什麼為好也不知道。數學研究的最大困難就在於此。

思考實驗中最容易理解的形式是調查實例。例如考慮偶數最少可表為幾個素數的和的問題。檢查一下實際的偶數，2 是素數不算，4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53,...，總可以表為二個素數的和。由這一實驗結果，可以猜想「除 2 以外的一切偶數都可表為二個素數的和」的定理成立（這是早就有名的哥德巴赫猜想，現在還沒有解決）。如果這樣幾次調查實例，能夠猜想出定理的形式，以後就可以考慮證明該定理，那麼研究的最初難關就被突破了。當然這是數學，光堆積幾個實例還不是定理的證明，證明還必須另外考慮。

初等數論些定理就是首先從這樣的實驗結果出發引出猜想，然後才證明的。從上個世紀末到本世紀初，由 F. Enriques、G. Castelnuovo 等義大利代數幾何學家得到的驚人成果中，依據實驗的不在少數。實際上，J.A. Todd 在1930年左右發表的論文中曾明確斷言：「代數幾何是實驗科學」。他們的定理全部得以嚴密的證明還是最近的事。值得注意的是，儘管他們給出的定理證明還很不完全，但是定理卻是正確的。

發現新定理

最近數學的對象一般都非常抽象，實例也還是抽象的，難以想像，因此靠調查實例來猜想定理的形式，在許多情況下首先就不可能。我不知道在這種狀況下，發現新定理的思考實驗的方式是什麼樣的。即使說只是含含糊糊地想想思考些什麼，恐怕還是不行的。實際就是那樣往往是不管怎麼去思考都得不到相應的結果。這麼說來，數學研究是不是非常困難的工作呢？倒也未必。有時你什麼也沒幹，但卻很自然地接二連三看到那些值得思考的事情，研究工作輕而易舉地得到進展。這時感受充分表現在夏目漱石在《十夜夢》中描述運慶雕刻金剛力士的話上。引用其中的一部份：

運慶現在橫著刻完了一寸高的粗眉毛，鑿刀一豎起，就斜著從上一錘打下。他熟練地鑿著硬木，就在厚木屑隨著錘聲飛揚的時候，鼻翼已完全張開鼻孔的怒鼻的側面已經顯現出來。看起來他的進刀方法已無所顧忌，沒有絲毫猶豫的樣子。

「原來使用鑿子那麼容易，就把想像中的眉毛、鼻子作成了」，他頗為得意，自言自語道。於是，剛才的青年就說：「什麼，那並非用鑿子作出眉、鼻的，眉毛、鼻子本已埋在木材中了，只是靠鑿子與鎚子的力量挖了出來。就像從土中挖出石頭一樣，決不會錯的」。

這種時刻，想想這世間沒有比數學更容易的學科了。如果遇到有些學生對將來是否干數學還猶豫不定，就會勸告他「一定要選數學，因為再沒有比數學更容易的了」。

接下去漱石的話的要點如下：

他便覺得雕刻也不過如此，誰都能幹的。因此他想自己也雕個金剛力士試試，回到家，便一個接一個雕刻起後院的那堆木材。不幸的是，一塊木頭裡也沒有發現金剛力士。他終於明白了，原來明治的木頭裡並沒有埋著金剛力士。

數學也一樣，普通的木頭裡沒有埋著定理。但從外面卻看不出裡面究竟埋著什麼，只好雕刻著看。數學中的雕刻就是一邊進行繁複的計算，一邊調查文獻，決不是簡單的。在許多情況下什麼結果也沒有。因此數學研究非常費時間。可以認為，研究的成敗主要取決於運氣的好壞。

定理與應用

現今的數學，由實例猜想定理是很困難的，不僅如此，定理與實例的關係看來也變了。在大學低年級的數學中；定理之為定理，乃是由於可應用於許多實例，沒有應用的定理就沒有意義。好的定理可以說就是應用廣泛的定理。在這個意義上，函數論的柯西積分定理是最好的數學定理之一。但最近的數學中，有廣泛應用的定理幾乎見不著。豈止如此，幾乎毫無應用的定理卻不少。正如某君不客氣地說：「現代數學只有兩種，即有定理而沒有應用例子的數學與只有例子而沒有定理的數學」。從現代數學的立場出發，「不管有沒有應用，好的定理就是好的定理」，但我卻總覺得，沒有應用的定理總有點美中不足。

數學的唯一理解方法

即使不作研究，只看看書與論文，數學也很費時間。比如只看定理而跳過證明，二三冊書似乎很快就能讀完的。但是實際上跳過證明去讀，印象就不深，結果一無所知。要理解數學書，只有一步一止循著證明。數學的證明不只是論證，還有思考實驗的意思。所謂理解證明，也不是確認論證中沒有錯誤，而是自己嘗試重新修改思考實驗。理解也可以說是自身的體驗。

難以想像的是，此外沒有別的理解數學的方法。比如物理學，即使是最新的基本粒子理論，如果閱讀通俗讀物，總能大致明白、至少自己認為明白了，儘管很自然地與專家的理解方法不同。這就存在著老百姓的理解方法，它與專家的理解方法不同。但是，數學不存在老百姓的理解方法。大概不可能寫出關於數學最近成果的通俗讀物。

「豐富的」理論體系

現在數學的理論體系，一般是從公理體系出發，依次證明定理。公理系僅僅是假定，只要不包含矛盾，怎麼都行。數學家當然具有選取任何公理系的自由。但在實際上，公理系如果不能以豐富的理論體系為出發點，便毫無用處。公理系不僅是無矛盾的，而且必須是豐富的。考慮到這點，公理系的選擇自由就非常有限。

為了說明這件事，把數學的理論體系比作遊戲，那麼公理系就相當於遊戲規則。所謂公理系豐富的意思就是遊戲有趣。例如在圍棋盤上布子的遊戲，現在知道的只有圍棋、五子棋和二類朝鮮圍棋只 4 種類型。就是說，此刻所知道的公理系只有 4 個。除這 4 個以外，還有沒有有趣的遊戲呢？例如四子棋、六子棋、或者更一般的 n 子棋又如何呢？實際上下 n 子棋，當 n 在 4 以下，先手必勝，即刻分出勝負，所以索然無味；而當 n 在 6 以上時，則永遠分不出勝負，也毫無意思。發現這種新的有趣的遊戲並不容易。要找出跟圍棋差不多有意思的遊戲大概是不可能的。雖然這只是我的想法。數學也同樣，發現豐富的公理系是極其困難的。公理系的選擇自由實際上等於沒有。

理論的豐富推廣

數學家一般都本能地喜歡推廣。例如假設存在以某個公理系 A 為基礎的豐富的理論體系 S。這時誰都會想像到，從 A 中去掉若干個公理得到公理 B，從 B 出發推廣 S 得到理論體系 T，再進行展開。稍加思索就覺得 T 是比 S 更豐富的體系，因為 T 乃是 S 的推廣，但如果實際試驗一下這種推廣，許多場合與期待的相反，T 的內容貧乏得令人失望。這種時候，可以說 T 不過是 S 的稀疏化而不是推廣。當然並非所有的推廣都是稀疏化。數學從來是依據推廣而發展起來的。最近推廣不斷墮入稀疏化，倒不能說是一種奇怪的現象。

那麼，能發展成豐富的理論的推廣，其特徵是什麼呢？進一步，公理系能作為豐富的理論體系的出發點的特徵又是什麼呢？現代數學對這種問題不感興趣。例如，群論顯然是比格論更為豐富的體系，但群的公理系優於格的公理系之點是什麼呢？又在拓樸學、代數幾何、多變數函數論等等中，基本層的理論的出發點（看來似乎）是毫無價值的推廣，它不過是用及數替換以前的常數作為上同調群的係數。而實際上卻是非常豐富的推廣，其理由何在呢？與此相反，連續幾何被看作是射影幾何的令人驚嘆的推廣，但卻沒有什麼發展，這又是為什麼呢？當把數學作為一種現象直接觀察時，所產生的這類問題不勝枚舉。雖然我並不知道，它們是否都是不屑一顧的愚蠢問題，抑或能否建立一門的回答此類問題為目標、研究數學現象的學科，即數學現象學呢？但是如果能夠建立，那一定是非常有意思的學科。為了研究數學現象，從開始起唯一明顯的困難就是，首先必須對數學的主要領域有個全面的、大概的了解。正如前面說的，為此就得花費大量的時間。沒有能夠寫出數學的現代史我想也是由於同樣的理由。

來源:賽先生

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[責任編輯:許瑩瑩]

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