學術豪門！師徒三輩連環獲諾獎背後
2016年諾貝爾物理學獎獲得者David Thouless（1/2）、Duncan Haldane（1/4） and Michael Kosterlitz（1/4）。來源：nobelprize.org
撰文 | 施郁（復旦大學物理學系教授）
責編 | 陳曉雪
2016年的諾貝爾物理學獎授予大衛·索利斯（David J. Thouless）、鄧肯·霍爾丹（F. Duncan M. Haldane）和邁克·科斯特里茲（J. Michael Kosterlitz），以表彰他們關於拓撲相變和物質拓撲相方面的理論發現。其中，獎金的一半由索利斯獲得，另一半由霍爾丹和科斯特里茲均分。
為什麼這三位科學家會得到諾貝爾獎？筆者在這篇文章中，講述這三位物理學家，特別是索利斯教授的故事，探尋他們的人生和學術道路，以及物理學家集體的歷史傳承和協作。同時，也試圖通俗地解釋涉及到的科學問題，並梳理科學思想的演變。
少年索利斯
索利斯1934年出生於蘇格蘭的拜爾斯頓（Bearsden），在英格蘭的劍橋長大，他的父親是劍橋大學的心理學家。索利斯就讀於著名的溫切斯特公學（Winchester College）。這所學校有著六百多年的歷史，是英國歷史最為悠久、具有最好的學術傳統的預科學校。
當時的一位同學回憶說，索利斯很聰明，特別在數學方面，當時數學考試卷上有加星號的難題，意思是如果不能很快看出怎麼做，就不必在上面浪費時間。多數同學都不做，而索利斯卻總能做出來。
1952年從溫切斯特公學畢業後，索利斯進入劍橋大學三一學堂（Trinity Hall）念本科。1955年取得學士學位後，索利斯來到康奈爾大學攻讀博士學位。
大衛·索利斯。來源：AIP Emilio Segrè Visual Archives, Physics Today Collection
索利斯的導師貝特和派爾斯
索利斯在康奈爾大學的導師是貝特（Hans Bethe，1906-2005）。貝特1928年獲得博士學位。他早期在德國工作時，為固體物理的發展做過奠基性的工作，包括一維量子反鐵磁模型（霍爾丹得獎的一部分工作就是有關這個模型）。希特勒上台後，貝特是猶太人，所以1933年去了英國，兩年後赴美國康奈爾大學任教。他1938年提出恆星能源的原子核反應理論，由此於1967年獲得諾貝爾物理學獎。這是歷史上天體物理成就首次獲得諾貝爾獎。貝特也是第二次世界大戰期間美國研製原子彈的曼哈頓計劃的關鍵科學家之一，在製造原子彈的洛斯·阿拉莫斯實驗室任理論部主任。
貝特的一位好朋友是同為猶太人的派爾斯（Rudolf Peierls，1907-1995），他後來成為索利斯的博士後導師。貝特和派爾斯都是索莫菲（Arnold Sommerfeld）的學生。索莫菲是德國近代理論物理鼻祖之一，另一位是玻恩（Max Born）。索莫菲是歷史上獲得諾貝爾物理學獎提名次數最多的人，一生獲得84次提名，但終究沒有得獎。不過，索莫菲培養了很多人才，其中有幾位諾貝爾獎得主，包括量子力學的創始人海森堡（Werner Heisenberg）和泡利（Wolfgang Pauli），以及得拜（Peter Debye），還有貝特。
1928年，索莫菲因為要去美國學術訪問一年，就建議派爾斯去找萊比錫的海森堡。一年後，派爾斯在萊比錫取得博士學位，隨後到劍橋大學留學。鑒於德國的政治局勢越來越排斥猶太人，派爾斯便留在了英國。其中有兩年派爾斯與貝特在曼切斯特大學同事。原子核的裂變發現之後，1940年，派爾斯與流亡到英國的另一位猶太人弗里希（Otto Frisch，核裂變的發現就有他的貢獻）的計算表明，只需要1公斤的鈾－235即可實現原子彈，糾正了之前認為需要幾噸鈾－235的誤解。後來英國參加美國曼哈頓計劃，派爾斯也到洛斯·阿拉莫斯實驗室工作。
貝特和派爾斯都對二十世紀物理學作出了很多貢獻。二戰以後他們分別回到康奈爾大學和伯明翰大學，繼續理論研究和人才培養事業。他們還形成一個「伯明翰—康奈爾管道」，互相輸送博士後和青年學者。這些人中包括著名科學家戴森（Freeman Dyson），以及索利斯。
索利斯的導師貝特（左）和派爾斯（右）。來源：Wiki
貝特筆下的索利斯
貝特與派爾斯一生保持著親密的友誼和頻繁的通信。1958年，貝特在一封給派爾斯的信中寫道：「索利斯發展了一個實際的單粒子能量的理論，發現單粒子能量比布魯克納（Brueckner）理論中所用的高。」這個工作就是索利斯的博士論文「微擾方法在原子核物質理論中的應用」。在1972年出版的《多體系統量子力學》一書的序言中，索利斯特別感謝貝特激發了他對這個領域的興趣。
筆者解釋一下上文出現的名詞術語。我們知道，物質由原子組成，原子由原子核和電子組成，原子核由質子和中子組成。氫原子核就是一個質子，但是一般的原子核有若干個質子和中子。它們是怎麼相互作用，怎麼組成原子核的，這就是原子核的多體問題。多體，顧名思義，就是多個粒子的意思，多體問題就是關於大量微觀粒子組成的系統的問題，其研究工具就是多體系統量子力學，因為微觀粒子服從量子力學這一基本物理規律。這就是索利斯當時研究的領域。
派爾斯筆下的索利斯
1958年獲博士學位後，索利斯在美國加州的勞倫斯·伯克利實驗室工作了一年，然後作為博士後研究員來到派爾斯處。他與派爾斯合作，研究原子核中核子的集體運動。索利斯還研究了原子核的轉動，給出了變形原子核的轉動慣量公式。
在1985年的一本書中，派爾斯曾寫道，索利斯「在原子核物理方面作了重要工作，特別是多粒子問題的嚴格結果，這個問題很多稱職的理論家因為想得不夠深入而做不出來。他後來將他在多體問題上的特長用到固體物理。我尊重他的判斷，因為當我們關於某個問題意見不一時，經驗告訴我大概他是對的。」
正如派爾斯提到的，索利斯的研究興趣逐步轉到固體物理領域。固體物理主要是從微觀粒子角度，用量子力學原理研究金屬、絕緣體、超導體等等，現在更多地被稱作凝聚態物理，因為這一學科也研究液體、超流體等等。
派爾斯還有很多關於索利斯的有趣回憶：「他很害羞和笨拙，動手能力不是很強。一個典型例子是他搬來伯明翰時的經歷。他和妻子從他岳父母處借了些舊傢具，放在一個舊拖車上，用小汽車拖。在路上拖車翻了，他好不容易採取緊急措施收好傢具。還有，他的妻子生孩子前，他將汽車停在房子前，準備隨時送她去醫院。但是這個時刻到來時，車子卻發動不了，他只好叫醒鄰居開車。」 索利斯伯明翰時期的老同事斯汀康比（Robin Stinchcomb）認為，這些描寫都是索利斯生活中的典型事例。
科斯特里茲與索利斯的首次相遇
與索利斯一同獲得2016諾貝爾物理學獎的科斯特里茲，1942年生於蘇格蘭的阿伯丁（Aberdeen），其父為阿伯丁大學的著名生物化學家漢斯·科斯特里茲（Hans W. Kosterlitz）。
1962年，科斯特里茲進入劍橋大學岡維爾與凱斯學院（Gonville and Caius College）。他一年級第一次上「數學物理方法」課時，課前發現有個孩子模樣的人走進教室，覺得這孩子太年輕了，不適合聽這個課。結果這孩子走到講台上講起課來！
原來，這個孩子模樣的人就是任課老師索利斯。他1961年已經從伯明翰來到劍橋大學做講師。
科斯特里茲1965年和1966年在劍橋大學分別獲學士和碩士學位，1969年在牛津大學布雷齊諾斯學院（Brasenose College）獲得高能物理方面的博士學位，後去義大利都靈（Torino）做博士後研究。
1965年，索利斯又回到伯明翰大學，擔任數學物理學教授，也就是接任了派爾斯的職位。派爾斯已經於1963年離開伯明翰，去了牛津大學。
1969年，索利斯發表了一篇論文，是有關伊辛模型（Ising Model）的。伊辛模型是一種磁體模型，是描述相變的常用模型。
相 變
為了講好我們的故事，需要通俗地講一點物理（閱讀時也可以跳過這一章）。
磁體是由很多磁性原子組成的點陣，點陣整體像是一台大型集體舞蹈。每個原子是個小磁體，有類似磁鐵的南極到北極的磁性方向。每一對相鄰原子之間有個耦合，當它們磁性方向相同或者相反時，耦合的能量最低。遵循前一種規則的叫做鐵磁體，後一種叫做反鐵磁體。因此，在鐵磁體中，所有的原子磁性方向一致時，總能量（也就是所有的鄰居對的耦合能量之和）最低。而在反鐵磁體中，相鄰原子磁體的磁性方向相反，犬牙交錯時總能量最低。順便提一下，原子之間的磁性耦合原理是派爾斯的導師海森堡首先提出的，對於原子磁性方向可以指向空間任意方向的情況，磁性模型又叫作海森堡模型。如果每個原子的磁性方向局限一個平面上，相鄰原子的磁性耦合能取決於它們磁性方向在這個平面上的夾角，這樣的磁性模型叫XY模型。
鐵磁體（左）與反鐵磁體（右）示意圖。
同樣的微觀粒子組成的物質有不同的宏觀表現，這就是相。物質究竟處於哪個相，除了有能量因素外，還有混亂程度的因素。混亂程度叫作熵。熵這個字是老一輩物理學家兼文字學家王竹溪翻譯「entropy」一詞的時候發明的字，火字旁說明與熱有關，右邊的商字說明它是熱量與溫度的商。所以熵乘以溫度就得到熱量。
熱力學第二定律告訴我們，孤立系統的熵總是不減少的，也就是說，不斷增加，直到最大，然後保持不變。一個系統和它的周圍環境之間有熱量交換，但是它們共同構成一個孤立系統。根據能量守恆定律（也就是熱力學第一定律），系統內部能量的改變作為熱量從環境獲得或者傳遞給環境，而熱量除以溫度就是環境的熵的改變。由此可以推論出，系統的能量減去溫度乘以系統的熵（叫做自由能）總是減少，一直到最小值，然後保持不變，這時系統達到平衡狀態。這裡所說的溫度是指絕對溫度。絕對零度即「絕對的零度」，是世界上最低的可能的溫度，等於攝氏零下273.15度。只要溫度不是絕對零度，熵就要起作用。
因此為了降低自由能到最小，一方面系統的能量要儘可能地低，另一方面混亂程度（熵）又要儘可能地高。這決定了在一定溫度下物質處於哪個相，也就是說，對於給定的某個溫度，哪種相的自由能低，系統就選擇哪種相。這也決定了在什麼溫度發生不同相之間的轉變，這就是相變。高於相變溫度，系統處於無序相；低於相變溫度，系統處於有序相。如果在某個溫度下，有序相的自由能比無序相低，那麼無序相到有序相的相變就是可以發生的。
物質最常見的是氣體，液體與固體三相。在極高或極低的溫度下，物質還有更多狀態。
回到我們討論的磁體。同樣是這些原子，它們的磁性方向卻有各種可能。如果溫度不是絕對零度，因為要兼顧混亂度的要求，這些原子的磁性方向可能滿足不了能量最低的要求，也就是做不到完全相同或者相反。因此它們的總和，也就是整個磁體的磁性，有可能有一定大小，朝向某個方向；但也有可能為零，因為各個原子不同的方向可能互相抵消了。
如果每個原子的磁性方向可以在三維空間中指向任意方向，那麼鐵磁體在某個溫度以下有個總的磁性，也就是說，各個原子的磁性加起來不為零，指向某個方向，這個有序相叫鐵磁相。在某個溫度以上，各個原子的磁性方向是混亂的，磁性互相抵消，整個鐵磁體的磁性為零，這個無序相叫順磁相。
相變能否發生，還與系統的維度有關。通常的物體有長寬高三維。如果構成物體的粒子只能在一個面上運動，就是二維。如果構成物體的粒子只能在一條線上運動，就是一維。1966年，康奈爾大學的默敏（D. Mermin）和瓦格納（H. Wagner）以及貝爾實驗室的霍亨貝格（P. Hohenberg）證明，如果物理特性（比如磁性方向）可以連續變化，那麼只要溫度不是絕對零度，二維或二維以下不發生相變，因為這時混亂程度總能戰勝能量的改變。
但是伊辛模型是一種特殊的磁體模型，其中每個原子的磁性方向不是空間或平面上的任意方向，而只能是上下兩個方向。對於伊辛模型，上面關於相變的結論有所改變，一維沒有相變，但是二維有相變。這正是索利斯的博士後導師派爾斯在1936年證明的。
索利斯與伊辛模型
索利斯1969年關於伊辛模型的文章中，所署的工作單位是紐約州立大學石溪分校理論物理研究所，但註明是暫時離開伯明翰，說明他當時在石溪做了較長時間的訪問。這個研究所是楊振寧1966年創辦並主持的。楊先生曾告訴筆者：「索利斯是布朗（Gerald E. Brown）的朋友。」原子核與天體物理學家布朗是這個研究所的教授，也曾在派爾斯指導下在伯明翰工作多年。1968年，他被楊先生聘到石溪。後來他與貝特長期合作研究。
1969年索利斯在石溪的時候，去貝爾實驗室訪問了安德森（Philip W. Anderson）。安德森是凝聚態物理的大師，1977年與他的導師範弗列克（J. H. van Vleck）及英國物理學家莫特（N. F. Mott）分享諾貝爾物理學獎。他1967至1975年在劍橋大學任兼職教授期間，把固體物理理論組改名為凝聚態物理理論組，這就是「凝聚態物理」這個名詞的來源。
索利斯訪問安德森時，安德森正在研究金屬中摻了帶磁性的雜質的行為，發現可以等效於一維伊辛模型的一種變體，其中原子之間的耦合不局限於最近的鄰居，而是與距離的平方成反比。當時人們知道，存在比這種耦合衰減快的情況，沒有相變；也有比這種耦合衰減慢的情況，有相變。安德森問索利斯是否了解這種中間情況。
索利斯回到石溪後解決了這個問題。他用的方法是考慮磁疇壁的影響，磁疇壁是磁性方向都朝某個方向的若干相連的原子與磁性方向朝另一個方向的另一些相連原子之間的分界。考慮所有可能的磁躊壁帶來的總能量和總的熵，索利斯發現，這個模型在絕對零度之上有相變。
這項研究為此次獲得諾貝爾獎的拓撲相變工作打下了基礎。可惜諾貝爾獎官方材料里沒有提這個工作，筆者認為它或許可以作為索利斯得獎的成就之一。
安德森（Philip W. Anderson）。來源：Wiki
科斯特里茲與索利斯重逢
1971年，科斯特里茲來到伯明翰做第二期博士後。在這裡，他與索利斯重逢了。他決定從高能物理轉到凝聚態物理方面，於是開始與索利斯合作。
索利斯在2013年曾回憶：「伯明翰之前沒有對超導超流作出特別重要的貢獻，直到我和科斯特里茲合作的我最著名的工作。對我來說，科斯特里茲來做博士後來得正是時候。」
科斯特里茲說索利斯最喜歡解決別人解決不了的難題，他還有一些有趣的回憶：「伯明翰的大多數同事都害怕索利斯，覺得難以與他打交道，因為以他的標準，其他人都是傻瓜，而他並不樂於容忍傻瓜。有一次我在他辦公室里，他對我講某個東西。 我鼓起勇氣說，大衛，對不起，我不得不打斷你，我真的一點都聽不懂，您能不能回到一開始？」終於，他們不但開始合作研究，兩個家庭還建立起了友誼。
索利斯的家庭情況是怎樣的？1958年與比他小三歲的英國同胞瑪格麗特（Margaret）結婚。瑪格麗特是學病毒學的，他們在康奈爾認識。索利斯和瑪格麗特有3個小孩，麥克（Michael）生於1960年，克里斯托弗（Christopher）生於1961年，海倫（Helen）生於 1972年。他們家裡沒有電視，索利斯喜歡給孩子們念兒童書，比如阿瑟·蘭塞姆（Arthur Ransome）的《燕子與亞馬孫》（Swallows and Amazons）系列，通常是每天一章，在孩子們的請求下可以是兩三章。家庭度假往往與索利斯參加會議重合在一起。有趣的是，如果是在歐洲，他們開著行卧兩用汽車去，夜間在裡面過宿，從來不住旅館。
邁克·科斯特里茲。來源：Brown University
索利斯與科斯特里茲提出拓撲相變
1971年，科斯特里茲來到伯明翰時，索利斯正在伯明翰開一門關於超流與超導的研究生課程。超流是沒有粘滯的流體現象，液態氦在極低溫時就是超流體。超導是電子的超流，因為帶電，所以是電阻為零的導電。雖然超流和超導的微觀機制要用到量子力學，但是相變行為可以用前面所解釋的能量與混亂度的競爭來描述，不需要量子力學。
索利斯開的課程介紹了理論上的超流薄膜，也就是二維超流，它的相變性質與二維XY模型是類似的。根據上面說的相變對維度的依賴以及韋格納（F. Wegner）專門的嚴格證明，二維XY在絕對零度之上沒有相變。
索利斯在解釋理論上超流薄膜的渦旋能量時，意識到與兩年前研究伊辛模型變體的方法可以用到這裡。
於是，索利斯和科斯特里茲合作研究了二維繫統相變的可能。他們發現，渦旋扮演關鍵角色。渦旋是繞著一個點或者一個軸的流動，或者某種物理性質（比如XY磁模型中不同原子的磁性方向）隨角度變化。有兩種可能的相，高溫相是有自由的渦旋，低溫相是旋轉方向相反的渦旋兩兩束縛成對。隨著溫度的不同，這兩個相的自由能誰高誰低會發生變化，導致在絕對零度之上的某個溫度發生相變。
這個研究工作就是今年諾貝爾獎所嘉獎的拓撲相變，又以他們的姓氏首字母命名為KT相變或被稱為科斯特里茲—索利斯相變。
左圖是一個單獨的渦旋，右圖是一個渦旋對
拓撲相變這一名詞源於渦旋的拓撲結構。拓撲是指在局部的連續變化下保持不變的整體性質。假設你用橡皮泥捏一個輪胎狀的東西，你可以拉伸、扭曲、變形，把它變為奇形怪狀的東西，但是始終有一個洞在那裡，這就是拓撲不變數。前面說的伊辛模型中的疇壁也是拓撲結構。它和渦旋都不能通過連續變換化解掉。
諾獎委員會宣布諾獎時，說明麵包上的洞的個數是拓撲不變的。來源：諾獎發布會視頻截圖
渦旋的拓撲不變可以如下理解。假設你圍繞一個點或者一個軸走動，回到原地，不管路徑怎樣五花八門，總歸是是繞了整數圈數。這個圈數不依賴於路徑的細節，是個拓撲數，術語叫做纏繞數。渦旋就由它的纏繞數表徵。
相變規律具有普適性，在不同系統中存在同樣的定量規律。KT相變也是如此。索利斯和科斯特里茲的這個工作使人們認識到二維薄層材料也可以有超流、超導以及其他有序相。
完成這個工作後，科斯特里茲在康奈爾大學工作了一段時間，1974年回到伯明翰大學任教。
索利斯來到美國
20世紀七十年代，由於科研經費的原因，英國有很大的智力流失，不少人才流往美國。1970年代末，索利斯得到美國的職位。當時索利斯覺得有不離開的理由，去見校長，校長卻說：去吧，您很幸運。
1979年，索利斯去了美國，在耶魯大學擔任了一年的應用科學教授後，前往西雅圖的華盛頓大學任教授，一直到2003年成為榮休教授。 夫人瑪格麗特在同一所大學的病理生物學系任教。1983至1985年，索利斯還曾經在劍橋大學做過兩年皇家學會研究教授。筆者聽說，當時劍橋大學想把索利斯留下長期任教，但是因不能給他夫人提供合適職位而作罷。
科斯特里茲1982年也去了美國，任布朗大學教授至今。
在華盛頓大學，索利斯發現量子霍爾效應與拓撲有關。
霍爾效應是指電子在電壓驅動下形成電流時，再加上一個垂直的磁場，由於電場和磁場的共同作用，電子偏離原來的電壓方向，並在導體邊緣累積，從而在垂直於電流的方向形成新的電壓，叫做霍爾電壓。
量子霍爾效應自從1980年被發現後，一直是凝聚態物理的重要課題，曾兩次獲諾貝爾獎青睞。量子霍爾效應是二維電子氣的行為。二維電子氣在兩種不同的半導體的界面形成，電子局限在這個二維平面上運動。在低溫下，二維電子氣的霍爾效應出現量子化，也就是說，電流與霍爾電壓的比值總是某個常數的整數倍。這個整數非常精確，精確度達到10億分之一，而且在一定範圍內改變實驗參數時保持不變。如果磁場改變達到一定程度，量子化的整數跳到下一個整數。而那個常數的倒數以量子霍爾效應的發現者命名為馮·克里青（Klaus von Klitzing）常數，已成為電阻的標準。
1980年代，索利斯與合作者提出，量子霍爾效應的量子化起源於拓撲，對應的整數是所謂陳省身數。這是華人數學家陳省身先生很多年前發現的一個表徵拓撲性質的數，是一種特殊的纏繞數，代表了空間的彎曲程度。但是對於量子霍爾效應來說，這個空間不是實際的空間，而是電子的各種可能速度構成的抽象的二維數學空間（在平面上，電子的速度也是二維的）。
這就是索利斯獲得諾貝爾獎的另一部分成就。
索利斯用拓撲解釋量子霍爾效應，將這裡的整數歸結為陳數。
霍爾丹與反常量子霍爾效應
今年獲得諾貝爾獎的另外一位科學家霍爾丹也是英國人，1951年生於英國倫敦，在聖保羅學校（St Paul』s School）上學。這是英國最好的學校之一，牛津劍橋錄取率最高。1970年，進入劍橋大學基督學院（Christ s College）。1978年又在劍橋大學獲博士學位。導師就是當時從貝爾實驗室到劍橋兼職的安德森，在本文前面已出現過幾次。安德森1984年成為普林斯頓大學教授，1996年榮休。霍爾丹取得博士學位後，也來到美國，現在也是普林斯頓大學教授。
鄧肯·霍爾丹。來源：Princeton University
在索利斯等人提出量子霍爾效應的拓撲本質後，1988年，霍爾丹提出一個模型，其中沒有磁場，但是也能實現量子霍爾效應，因為用另外的方法實現了所需要的拓撲性質。這是霍爾丹的一部分獲獎成就。 無磁場的量子霍爾效應現在稱作反常量子霍爾效應。
霍爾丹的另一部分獲獎成就是他1982年關於量子一維海森堡反鐵磁體的結論。按前面的介紹，一維海森堡反鐵磁體就是說，每個原子與相鄰原子磁性方向相反時，這對鄰居的耦合能量最低。但是前面討論的模型中沒有量子力學，霍爾丹研究的是量子力學起作用時的模型，計算各種可能的能量取值。
量子力學使得問題複雜化，因為量子力學裡有個著名的海森堡不確定關係，使得原子磁性方向不確定。不過，對於一維鐵磁體，最低能量狀態仍然是所有原子磁性方向一致。在此基礎上的激發類似於聲波，也就是說無論多小的能量都能激發一個磁性波在原子間傳播。簡單的近似計算給出，對於一維反鐵磁，最低能量狀態是所有原子的磁性方向犬牙交錯，在此基礎上也能激發能量可以任意小的磁性波。
刻畫原子磁性的特徵量要麼是某個常數的整數倍，要麼是半整數倍，這個倍數叫作自旋。所以磁性波也叫自旋波。索利斯的導師貝特在1931年嚴格地解出了自旋等於1/2的情況。從楊振寧和楊振平1966年的一篇文章開始，貝特的方法被稱作貝特假設。嚴格的最低能量態並不是犬牙交錯態，但是確實可以激發能量可以任意小的自旋波。
那麼對於自旋是其他整數或半整數的情況，以上自旋波結論是否正確呢？霍爾丹發現，對於自旋是半整數的情況（1/2，3/2，5/2，等等），結論與1/2類似。但是對於自旋是整數的情況（1，2，3，等等），結論則截然不同，能量必須大於某個非零值，才能有激發。霍爾丹的結論後來得到實驗證實。
他的論證用到一維時間與一維空間組成的抽象二維空間里的一個拓撲纏繞數。對於整數自旋情況，各種纏繞數的拓撲效應都不起作用（後來人們發現對於磁體的邊界有影響），結果量子力學不確定關係導致磁體的最低能量態和激發態之間有一個不等於零的差別，所以不能有能量任意小的自旋波。對於半整數情況，偶數纏繞數和奇數纏繞數帶來的效應互相抵消，結果導致有能量可以任意小的自旋波。
霍爾丹的兩個獲獎工作都與目前的熱門領域拓撲絕緣體關係密切。
纏繞數為1時的形態
榮譽、意義與啟示
索利斯是個謙虛的紳士。他的一位英國老同事說，索利斯對於關係網毫無興趣，而這可能推遲了他受到足夠的重視，人們慢慢才認識到他的天才和他對物理的深刻理解。
索利斯1979年當選為皇家科學院院士，1995年當選為美國科學院院士。1990年，索利斯因為無序和低維繫統的研究成就獲得沃爾夫獎（Wolf Prize），這是僅次於諾貝爾獎的物理學獎項。2000年他「因為拓撲相變以及對理解無序系統和自旋玻璃的貢獻」獲得美國物理學會的翁薩格獎（Lars Onsager Prize），這是統計物理學的大獎。
科斯特里茲「因為拓撲相變以及對它的重整化群分析」，也於2000年獲得美國物理學會的翁薩格獎。
霍爾丹1996年當選為英國皇家學會會員。1993年因為對低維量子系統理論的貢獻而獲得美國物理學會的巴克利獎（Oliver E.Buckley Condensed Matter Prize），這是凝聚態物理學的大獎。2012年獲得國際理論物理中心的狄拉克獎（Dirac Prize）。
三人的工作將凝聚態物理帶到了一個新的天地，帶來了革命性的新觀念，打開了組成物質的大量粒子微觀拓撲性質與物質宏觀物理性質的關係這扇大門。他們開闢的這個方向現在已經成為一個前沿和主流領域，而且對材料科學和信息科學有很大的影響，為新材料、新器件的設計帶來了新的思路。對於量子計算機的實現也很有意義，因為拓撲的性質可能帶來穩定的量子狀態，幫助克服量子計算對於環境擾動的敏感。
從這三位科學家的道路中，筆者總結了幾條啟示，與大家分享。
首先，他們的研究工作是研究本身和好奇心驅動的。值得注意的是，他們的獲獎工作都是領先於實驗的理論研究。這對於理論工作者也是一個鼓舞。
第二，這三位科學家都有特立獨行的風格。他們的研究並非為了趕時髦、追樂隊花車，但是他們的成果後來引導了主流和熱門領域。
第三，他們的道路反映了優秀的科學傳統的積累和傳承。
最後，我們看到，他們三位都是長期在美國工作的英國人，分享2003年諾貝爾物理學獎的萊格特（Anthony J. Leggett）也是英國人，1983年從英國移居美國工作，是美國伊利諾伊州立大學教授（他得獎時，筆者正是他的訪問學者）。由此可以看到那些年英國人才流失的嚴重。香港人高錕獲得2009年諾貝爾物理學獎的工作，是1966年在英國國際電話電報公司（ITT）的英國分公司標準電話電纜公司（STC）完成的，後來他去香港中文大學兼職，然後又去ITT的美國分公司任職，最後又去香港中文大學。大概1990年代開始，英國也吸引人才流入，達到一種平衡。獲得2010年諾貝爾物理學獎的蓋姆（A. Geim）和諾沃謝諾夫（K. Novoselov）在英國曼徹斯特大學工作，最初都來自俄羅斯。
祝福索利斯教授
筆者在劍橋大學工作期間，2000年曾經與來訪的索利斯教授作過比較深入的學術討論，並請他評閱我當時正在寫作的一篇論文草稿。索利斯教授後來從美國發電子郵件給筆者，說在飛機上又想了我的問題，而且仔細讀了我的草稿，並提出了重要的建議。
2007年10月31日至11月3日，在新加坡召開的慶祝楊振寧先生85歲壽辰的學術研討會上，我見到了索利斯。索利斯在會上作了個凝聚態中的拓撲量子數的綜述報告。我還記得，某位中國大陸的物理學家作報告時，索利斯是主持人，到了規定時間時，他很有原則性地要求報告人停止。會議期間我還與他聊到前一年和當年的諾貝爾獎，並預祝他得到諾貝爾獎。
索利斯夫婦現在住在故鄉劍橋。筆者前段時間發郵件給索利斯，祝賀他實至名歸、姍姍來遲獲得諾貝爾獎。以他和家人名義的回信提到索利斯目前有點健康問題，還說：「大衛獲悉得諾貝爾獎，感到感動和光榮，而且很高興與科斯特里茲和霍爾丹分享。他感激世界各地的朋友和同事的祝賀和對他對物理學的貢獻的讚美（David was moved and honored to learn of the Nobel Prize, and he was delighted to hear that he would share it with Mike Kosterlitz and Duncan Haldane. He is grateful to all his friends and colleagues around the world who have sent congratulations and made such lovely comments about his contributions to physics）。」
讓我們期待索利斯教授12月份在斯德哥爾摩從瑞典國王手中接過諾貝爾獎章的時刻。
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