物理諾獎解讀：拓撲學在物理研究中有哪些具體應用？
【andrewshen的回答(84票)】:
現在做的 project 就和拓撲絕緣體有關係. 不過 project 做不動, 還是先來簡單科普一下, 換換腦子. 我主要談談拓撲學在冷原子物理學中的應用.
既然說談到拓撲學在物理中的應用, 那就首先第一個問題是拓撲學是什麼? 經常聽到一個科普的說法: 拓撲學是橡皮泥的數學. 具體地說,拓撲學研究幾何物體在連續形變下保持不變的那些性質. 所謂連續形變是指變形時不撕裂, 不粘合.
我們舉一個橡皮筋的例子. 將一個橡皮筋套在一個球面上, 顯然橡皮筋可以始終保持在球面, 並且縮到一點. 將一個橡皮筋套在圓環上, 則橡皮筋沒有辦法縮到一點. 這實際上表明了: 球面上的閉合道路可以連續地形變成一點, 即球面上任何閉合的道路都和一個點等同; 圓環上的閉合道路可以不和一個點等同. 從這個角度說, 圓環和球面拓撲性質是不一樣的. 事實上, 還容易發現圓環上的閉合道路是可以通過繞圓環的圈數來分類的: 從圓環一點出發, 繞了圓環 n 圈, 最終回到那一點的任何閉合道路在拓撲上都是等同的. 上面的結論用拓撲學家的話說, 就是球面的第一同倫群是平凡群
, 圓環的第一同倫群是整數加法群
.
在拓撲學的世界裡, 沒有大小和遠近的概念.如果一個幾何物體可以連續形變成另一個, 那這兩個物體在拓撲上沒有區別. 這是拓撲學和幾何學最大的不同.
我們回到物理上來. 上面已經說到, 在拓撲學的世界裡沒有距離的概念.在物理學中, 我們就用拓撲學來刻畫那些與距離, 大小等幾何性質無關的物理性質.
比如在冷原子物理學中的超流中, 有所謂拓撲激發(或者叫拓撲缺陷). 舉兩個例子:
孤子(soliton). 想像你在太平洋東岸平靜的海面上游泳, 有人在太平洋西岸朝海里扔了塊石頭, 激起了水波, 除非這個水波傳到你面前, 你肯定是無法感受到這個水波的. 在一團超流中打一束激光, 將會引起超流局部密度減小, 激發出聲波. 這個聲波也是局域的, 它只會影響所在之處附近的波函數
, 進而影響超流密度
.
所謂孤子, 實驗上看, 還是有一個密度不均勻部分在超流中傳播, 和聲波很像. 但是孤子與聲波不同之處在於, 孤子兩邊波函數的相位總是相差
, 即波函數相差負號.無論你距離孤子中心多遠, 都可以感受到一個相位的變化. 如果在太平洋東岸有一個孤子, 你在西岸也能感受到一個
的相位(如果太平洋是一團超流的話). 這一性質和距離無關, 因此稱為拓撲激發.
從上面的圖(b)中可以看出, 孤子和聲波的波函數的模方(深藍色線)是差不多相同的. 但相位卻很不同(淺藍色線是孤子的相位, 通常的聲波應當是一條直線). 由於這一激發是非局域的, 因此想要激發出孤子, 不能簡單地在超流中打一束激光, 而是要給整個超流的一半整個打一個激光, 使其擁有一個
的相位. 這個技術叫 phase imprinting, 對應著上面的圖(a).
圖片引自這篇文章:http://www.nature.com/nphys/journal/v4/n6/full/nphys962.html
渦旋(vortex). 想像你不斷用筷子攪一杯水, 使水旋轉起來. 在杯子中心會產生一個渦旋. 如果你攪得足夠快, 在渦旋中心沒有水, 你可以看到杯底. 超流中的渦旋也是一樣的, 將一束激光在超流中不斷攪動, 超流密度會產生一些空洞, 這些空洞就是所謂渦旋.
之所以說渦旋是拓撲激發, 是因為當你繞著渦旋走一圈,無論距離渦旋多遠, 只要渦旋在圈內, 你都會發現波函數的相位改變了
的整數倍, 這個倍數在物理上稱為繞數(winding number). 從拓撲上看, 這實際上就對應著我們最開始舉的橡皮筋的例子: 圓環的第一同倫群是整數加法群
.
上圖就是實驗上觀察到的超流中的渦旋.
圖片引自這篇文章:http://www.sciencemag.org/content/292/5516/476.full孤子和渦旋對相位變化的感知都和距離無關, 因此是拓撲的. 實驗上實現孤子和渦旋這兩個拓撲激發分別發表在了 Nature 和 Science 這兩個期刊上, 可見其重要性.
再比如在凝聚態物理學中, 前段時間所謂"拓撲絕緣體"的概念很火. 所謂拓撲絕緣體, 用一句話概括, 就是固體大塊(bulk)是絕緣體, 但其邊緣或者表面為金屬. 這個邊緣/表面的金屬態的存在與否, 與拓撲學有很大關係. 有興趣可以參考一個相關的問題:受到時間反演對稱性保護，這句話應該如何理解？ - andrew shen 的回答, 涉及到所謂
不變數.
拓撲絕緣體中另外一個重要的拓撲不變數是所謂陳數(Chern number), 和相空間中的 Berry curvature 有關. 這嚴格來說其實已經超出了拓撲學的範疇, 因為曲率是幾何學中的概念, 但Gauss-Bonnet theorem又顯示出兩者有緊密聯繫. 限於篇幅這裡不打算繼續介紹. 有興趣可以參考 Wikipedia: Berry connection and curvature及其上面給出的 References.
類似冷原子系統, 在拓撲絕緣體中也會有拓撲激發, 最典型的例子是 Skyrmion. 由於這種激發很小, 遠小於磁疇, 有人認為這種激發也許是未來硬碟發展的方向. 有興趣可以看這篇科普:http://www.nature.com/news/twisted-magnetic-fields-tie-information-in-a-knot-1.13530
【傅渥成的回答(43票)】:
我來說一些跟固體物理無關的應用，展示一些更直觀的圖像。我想講的是在軟物質和生物物理方面的一些例子。
在固體中，組成晶格的離子本身處在一定的空間位置上，一旦排錯就可能出現缺陷，有的是拓撲性的缺陷，同時固體里還有電子，電子可以有自旋的取向。而在軟物質體系里情況可以變得更有意思，構成液晶的分子不但在空間中佔據一定的位置，而且還具有一定的取向，因此在固體物理里可能出現的許多拓撲問題，都能在液晶里找到甚至更容易地觀察到。如下圖（a）-（d）中就展示了一些幾種不同的拓撲缺陷結構（圖引自Topological structure dynamics revealing collective evolution in active nematics : Nature Communications : Nature Publishing Group，中文的說明可以參考：微觀拓撲缺陷與宏觀大尺度動力學）。
液晶的取向性質很好玩，但是不是還可以更好玩些？於是有了 Active matter: Playful topology （http://www.nature.com/nmat/journal/v13/n11/full/nmat4123.html），在生物體系的集體行為中里，我們也能看到像液晶一樣的現象，例如形成集群在空中飛行（或者盤旋）的鳥，水中的魚群，又或者細胞內的分子馬達和微管，如果在空間上相互靠近，為了避免碰撞，也會保持相近的取向。更有意思的是，這些「分子」還是能自己驅動的。與電子體系相比，這些體系中的「缺陷」和「渦旋」都是大家在生活中非常常見的。
因為考慮到取向問題，我們還可以來想一些更有意思的裝配問題，如果在一個球面上排上液晶分子，那麼會怎樣？首先不難想像，肯定會出現缺陷，如下圖（圖來自：Morphology of nematic and smectic vesicles），在病毒的裝配時，也會遇到類似的問題。而囊泡的情況還更為複雜，如果發生變形，那麼變形過程中可能出現更有意思的一些過程，Morphology transition in lipid vesicles due to in-plane order and topological defects。中文說明請參考：囊泡液晶序和囊泡形狀。
再生物一些，我們還可以想到DNA在形成螺旋和解螺旋過程中的「拓撲異構酶」，當然我們知道這種酶並不是真的去解開螺旋，而是通過切開和重新封口而形成的。從這種原理中我們其實可以得到啟發，更複雜地通過多條鏈之間的配對關係，可以幫助我們用 DNA 組裝出各種有意思的結構，例如 Mbius 環，我們甚至還可以剪開它看看是不是跟用紙帶做出來的實驗結果一致（圖片來自：Folding and cutting DNA into reconfigurable topological nanostructures : Nature Nanotechnology : Nature Publishing Group）。
另一個與拓撲有關的基本問題就是扭結（Knot）。在扭結理論方面，生物分子也不甘示弱， 不但有贗結（Pseudoknot），還可以真的打結，例如傳說中的打結蛋白（Knotted protein）。最初研究發現打結蛋白的科學家其實是從拓撲學得到了啟發，想要在他們的計算中避免打結的情況，因為他們認為一旦出現打結，那麼摺疊過程可能更長，在自然選擇中很可能會被淘汰，於是他們寫了個程序可以判斷蛋白質摺疊過程中是否打結——然而他們用他們的程序去測試蛋白質的 PDB 資料庫里的結構時，卻發現打結蛋白並不少，如圖（圖來自：Chemical & Engineering News: Latest News）。現在，打結蛋白的有關研究也已經成為一個比較熱點的問題。
【AmandaLynn的回答(8票)】:
【杜紙錢的回答(3票)】:
感謝知友的糾正，這裡用到的是幾何屬性，比拓撲屬性條件更多。
拓撲絕緣體不懂。但是要深入理論物理的任何領域，拓撲都會出現。它太基本了。
場論里拉格朗日量的對稱群，緊的，局部緊的，和局部非緊的有很大不同。局部非緊的是gauge symmetry，比局部緊的複雜很多。
因果律是洛倫茲群不連通的直接結果。
非整數自旋的出現，是由於SO3群不單連通, 旋轉奇數圈不能變回自身。
聽說維騰研究的超對稱和弦論，拓撲是很重要的話題。
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