輕鬆理解凝聚態中的拓撲

（系列文章之一）

Kosterlitz-Thouless相變：拓撲元激發導致的特殊相變

戴希

今年的諾貝爾物理學獎授予了三位理論物理學家，分別是美國華盛頓大學的David J. Thouless, 普林斯頓大學的F. Duncan M. Haldane和布朗大學的J. Michael Kosterlitz, 以表彰他們在理論上提出了凝聚物質中的拓撲相變和拓撲相。作為在這一領域工作多年的研究者，衷心地為幾位前輩的獲獎而感到高興，同時也深受鼓舞。

許多朋友來信，要求科普一下凝聚態物理學中的拓撲相，我在這裡就向大家簡單介紹一下。很多人都覺得拓撲這個數學概念很深奧，似乎很難跟生活中的物理現象發生聯繫，其實不然，生活中到處都有拓撲現象。比如說渦旋，就是一種常見的拓撲現象，我們每天清晨在洗漱台見到，在水流湍急的河邊偶遇，在每一個颱風過境的夜晚，我們懷著忐忑的心情等待。本次諾貝爾物理學獎得主Thouless先生和Kosterlitz先生髮現的二維超流／超導體中的Kosterlitz-Thouless（KT）相變，就跟其中的渦旋激發有著密切的關係。因此作為本系列文章的開篇之作，先來講講渦旋激發和KT相變。

在介紹超流／超導體中的渦旋之前，我先向大家介紹一點非常基本的場論，考慮一個二維標量場，比如一個繃緊的鼓面，考慮它的橫向振動，就是一個典型的二維標量場，它的運動可以由平面坐標(x,y)點處的振幅Z(x,y)來描寫，它的集體運動模式就是我們熟悉的聲波振動。與之類似，二維超流／超導薄膜的集體運動也可以由一個二維標量場來刻畫，即平面坐標(x,y)點處的波函數相位θ(x,y),由於超流／超導相變破缺了U(1)對稱性，當不存在集體激發時，刻畫超流／超導體的波函數相位在空間各處是固定在一個值上的，可以假設為θ(x,y)＝0。我們可以用圖二中每一點的單位矢量與x軸的夾角來形象地演示相位場θ(x,y)。

圖一：鼓面的不同振動模式由一個標量場描述

接下來，我們來討論系統的集體激發，它可以被分成兩類模式，第一類是θ(x,y)在0附近做小幅振動，這種模式跟鼓面上的聲波振動是非常類似的，如圖二（b）所示。而另一種模式則是鼓面振動問題中沒有的，也就是渦旋激發模式，為什麼會存在這種不同呢？這是因為超導／超流問題和鼓面振動中的二維標量場是很不一樣的，前者是緊緻的而後者是非緊緻的。緊緻和非緊緻是一個數學上的概念，大家別怕，它的意義很容易理解，通俗地說就是該標量的取值範圍是在一個開放的空間（像鼓膜的橫向振動），還是在一個收尾相連的封閉空間（如相位）。相位空間是一個典型的緊緻空間，它是一個定義在0到2π之間的角度，而零度則嚴格等價於2π。正因為相位場的緊緻性，導致了在超流／超導體系中另一類激發，拓撲型激發，也就是渦旋的出現。

圖二：超導／超流體波函數的相位構型

（a）基態構型（b）普通型激發（c）渦旋激發

一個典型渦旋的空間構型如圖二（c）所示，圍繞著渦旋中心，相位場θ(x,y)連續地從0變化到2π，注意由於0和2π的等價性，相位場的連續性並未被破壞。從圖二（b）和（c）的對比中，可以看出渦旋和普通聲波振動的不同，圖二（b）中的聲波激發構型可以通過對相位場施加連續形變來消除掉，而圖二（c）中的渦旋在連續形變下只能移動位置而不能消除，把渦旋消掉的唯一辦法就是通過連續形變，將一對手性相反（左旋和右旋）的渦旋挪到同一點上，讓它們互相抵消。從拓撲學的角度看，具有單個渦旋激發的相位場構型跟沒有渦旋的構型，是不能通過連續變形來互相轉化的，屬於不同的拓撲類，因此把渦旋激發稱為是「拓撲型激發」。

圖三：拓撲相變

1960年，Thouless和Kosterlitz兩位先生通過漂亮的理論工作，推導出了在二維超流／超導體系中渦旋運動的理論模型，他們發現兩種手性的渦旋（左旋和右旋）可以看成是被限制在二維平面內的正負「電荷」，互相之間存在二維「庫侖作用」。更有意思的是，他們還發現隨著溫度的變化，這一體系中還存在著一種特殊的相變。在相變溫度以上，存在著自由運動的渦旋，從而破壞了超導／超流的長程相位有序；而在相變溫度之下，不同手性的渦旋只能兩兩配對形成束縛態，這時候存在著波函數相位的「准長程序」，也就是說相位關聯隨距離按冪函數而不是指數函數衰減。這種相位無序到「准長程序」的特殊相變，是渦旋游離態到束縛態轉變所導致的，並不伴隨著對稱性的破缺，因此不能用朗道相變理論來刻畫，後來以兩位發現者的姓名命名為Kosterlitz-Thouless相變。在實驗上，Kosterlitz-Thouless相變在許多超導薄膜中被觀測到，這種由拓撲元激發導致的相變，受到了廣泛的關注。此外，前蘇聯科學家Berezinskii也幾乎完全獨立地提出了這一相變機理，由於東西方冷戰而被無情的鐵幕隔在一邊，不為許多人知曉，甚為遺憾，因此這一相變也被稱為是Berezinskii－Kosterlitz-Thouless相變。

作者簡介

戴希，男，1971年生。1993年畢業於浙江大學材料系，1999年在中國科學院理論物理研究所獲得博士學位。1999年至2005年的6年間，先後在香港、美國等國的多個高等研究機構工作。長期從事強關聯理論及計算方面的研究工作。2005年入選中科院「百人計劃」並獲擇優支持，回國在中科院物理研究所工作，現任研究員、博士生導師。2010年入選中國科學十大進展；2011年"求是傑出科技成就集體獎"；2011年獲得「國家傑出青年科學基金」；2011年獲第十二屆「中國青年科技獎」；2011年「中國科學院傑出科技成就獎」。2012年全球華人物理學會「亞洲成就獎」（OCPA AAA [Robert T. Poe Prize])。

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