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隨機試驗與樣本空間

曾經給中學生講過一些概率問題，不過沒有系統講，今天再次給學生講了一次概率論，講授稍微抽象了一些，增加了分類的思想，也是幫助自己學習一下概率論。主要介紹了隨機試驗、樣本空間以及隨機事件這三個基本概念，讀起來可能需要耗費一點腦筋。

什麼叫隨機試驗？

符合下面三個特點的試驗就叫做隨機試驗：

「(1)一次試驗結果的隨機性——進行一次試驗之前無法確定哪一個結果會出現。

(2)全體測試結果的可知性——每次試驗的可能結果不止一個，並且能事先明確試驗的所有可能結果。

(3) 可重複性——可以在同一條件下重複進行試驗。」

「隨機實驗的一切可能基本結果組成的集合稱為該試驗的樣本空間，樣本空間的元素，即試驗每一個可能的結果，稱為樣本點。」

樣本空間的子集稱為隨機事件，樣本點構成的單點集稱為基本事件，但有時也把樣本點本身稱為基本事件。

基本概念清楚了，現在開始一點稍微「與眾不同」的闡述。

相對於同一個隨機試驗而言，樣本空間是不是唯一的？我們還是從一個古典概型開始，一個骰子的六面分別標有1，2，3，4，5，6六個數字，隨機拋擲這個骰子，這是一個隨機試驗，那麼樣本空間是什麼？估計大多數人都會說，樣本空間自然是，這當然是這個試驗的樣本空間，但這個樣本空間指的是骰子出現不同數字的所有可能結果。

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如果我問，在這個隨機試驗中，出現奇數的概率是多少？你一定會認為是一個隨機事件，其概率可以根據1，3，5出現的概率來計算，三個點的概率相加，自然是1/2，解答肯定沒錯。我們再換一種方法，將1，3，5所在的面用白色的紙粘住，2，4，6用黑色的紙粘住，這樣骰子的六個面只有黑白兩色，隨機拋擲這個骰子，可能出現的結果有哪些？換句話說，這個隨機試驗的樣本空間是什麼？你該不會說是吧？集合裡面的元素是不能重複的，也就是說，這個隨機試驗的樣本空間是，明白我想說什麼了嗎？

在一個隨機試驗中，可能出現具有多種屬性的結果，如果你關心的某種屬性沒有共性，那麼所有可能的結果都是樣本點，如果你關心的某種屬性具有共性，也可以將具有共同屬性的結果放在一起作為新的樣本點。上面的隨機試驗說的就是這回事，當你關心的是骰子的每一面出現的具體的數字，而這些數字又是互不相同的，那麼樣本空間就是可能出現的每一個數字，例如上面的。如果關心的是這些數字的某種共同屬性，例如奇偶性，那麼可以將這種共同的屬性作為可能的結果，即樣本點，具體地說，如果上面擲骰子試驗關心的是數字的奇偶性，那麼樣本空間是{，}或者。這裡蘊含著分類的思想，將同為奇數的數字放在一起看成一點，同為偶數的數字放在一起也看成一點。

對於古典概型來說，無論採用哪種方法都不會帶來歧義。歧義與悖論是不同的概念，所謂歧義是指在理解上會產生幾種可能的結果，即可以這樣理解也可以那樣理解。歧義源於語言文字的意義不明確，有兩種或幾種可能的解釋。悖論則屬於邏輯學範疇，由A可以推出非A，非A可以推出A。所以歧義帶來的不同結果與邏輯帶來的悖論是不同範疇的東西，不可混為一談。概率論中的一些問題由於隨機設定的不明確容易導致歧義的產生，所以，避免歧義產生的方法有兩種，一種方法是事先明確隨機設定，另一種方法是遵守公認的規則，例如古典概型與幾何概型遵循無差別原則，如果違背了這個原則，就不是古典概型或幾何概型了。但即使這樣仍然有可能產生歧義，即對目標的理解有差異。

目標是指你要解決什麼問題，這個問題有時會讓人一頭霧水，例如：「隨機作圓的弦，弦長大於該圓內接正三角形邊長的概率是多少？」這個問題的目標是什麼？樣本空間是什麼？語言是否有歧義？有一種觀點認為樣本空間是圓的弦，而弦由弦的中點唯一確定，所以樣本空間可以看成該圓內的任意點。另一種觀點認為，過圓上一點隨機引圓的弦，弦的位置由該弦與過其頂點處圓的切線之夾角唯一確定，所以樣本空間應該是角度。還有一種觀點認為，由於目標是計算弦長大於正三角形邊長的概率，如果以x表示弦的長度，這個問題中的隨機事件是，顯而易見，弦長是樣本點。我贊同最後一個觀點，因為該問題的目標很明確，它關心的是弦的長度，而不是具體的弦，正如前面擲骰子關心的是奇數還是偶數一樣。然而弦長一定的弦有很多，與正三角形外接圓同心的小圓上所有的切弦都是等長的，反之亦然。因此，我們需要做一個等價類，將同一個圓上的所有切弦看成一點，或者說把所有等長的弦放在一起看成一點，從而只需要考察與大圓的固定直徑垂直的弦就可以了。問題出現歧義正在於考察了弦的不同屬性，第一種情形考察的是具體的弦，即弦的位置（個性），第二種情形考察的是弦與大圓切線的夾角（既有共性也有個性，因為圓周上每個點處都可以隨機引圓的弦），第三種情形考察的是弦的長度（共性）。說白了，三種情形對應三個不同的問題，雖然最終貌似都與弦長有關，但真正只與「弦長」這個共性特徵有關的情形是第三種情形，其它兩種情形都與弦的位置這個「個性」特徵有關。從這個問題的目標看，隨機事件是，這裡並未涉及弦長之外的其它與弦有關的特徵，為什麼要人為添加上去呢？

如何確定樣本空間是理解概率問題的關鍵，我們常常著眼於問題開始時的描述（隨機試驗），試圖根據這個描述確定樣本空間，卻忽略了問題的目標，因為針對同一個隨機試驗，關注的目標不同，對應的概率問題也就不同。從這個角度說，只要一個隨機試驗包含多種屬性，就有必要根據問題的目標來確定樣本空間，因為目標才是確定隨機事件的依據。以前面所說問題的第一種解答為例，如果我們把問題改成：「隨機作圓的弦，弦的中點位於該圓內接正三角形的內切圓內的概率是多少？」這個問題的答案無疑是唯一的，即1/4。

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