量子粒子大觀：狄拉克、外爾和馬約拉納
波粒二象性
撰文
祁曉亮（斯坦福大學教授）
許岑珂（加州大學聖塔芭芭拉分校教授）
文小剛（麻省理工學院教授）
名不正則言不順
2014年，《科技日報》報道了一個新發現：「馬約拉納費米子是一種由物質和反物質組成的神秘粒子，已經困擾了物理學家80年。美國科學家近日宣布，他們已經找到了這種神秘莫測的粒子，這不僅有助於量子計算機的研製，還有助於科學家們進一步弄清暗物質的性質。」
其實當時普林斯頓的美國科學家發現的並不是馬約拉納費米子，而是馬約拉納零能模。（到底有沒有真的發現馬約拉納零能模目前還有爭議。）馬約拉納零能模有助於量子計算，但和暗物質毫無關係。而馬約拉納所預言的那種自己就是自己的反粒子的費米子，早就在（有自旋軌道耦合的）超導體中被發現，但當時被叫做另外一個名字：玻戈留玻夫(Bogoliubov)准粒子。超導體中的馬約拉納准費米子（或玻戈留玻夫准粒子）的確和暗物質的一個候選粒子有點像（即自己是自己的反粒子）。
所有這些混淆都起源於，人們把馬約拉納所預言的費米子，和不是馬約拉納所預言的零能模這兩個完全不同的東西，叫成一個名字「馬約拉納費米子」。在這篇文章中，我們將比較詳細地介紹馬約拉納費米子和馬約拉納零能模。我們發現，馬約拉納零能模根本不是一個粒子，而是粒子的一個性質，就像質量是粒子的一個性質一樣。而馬約拉納零能模這一性質的本質，就是一個非整數的自由度（半個量子比特）。
在《賽先生》刊登的《奧妙神奇的量子世界》一文中，我們介紹了量子比特、薛定諤貓這些量子怪獸。在這篇文章中，我們將遇到一個更加不可思議的量子怪獸：半個量子比特。這些非整數的量子比特，將是拓撲量子計算的主角。
宇宙中的基本粒子：
狄拉克、外爾和馬約拉納費米子
宇宙中的物質是由各種各樣的基本粒子所組成的。這些基本粒子有各種不同的性質。有些是玻色子，有些是費米子。（玻色子和費米子的概念在《賽先生》刊登的《文小剛：世界多彩的起源》中有詳細介紹。）玻色子是傳播力的粒子，而費米子是組成物質的粒子。但費米子也不僅僅只有一種，自然界還有各種各樣的費米子。為了紀念他們的發現者，這些不同種類的費米子被稱之為狄拉克費米子、外爾費米子、馬約拉納費米子，等等。大家熟知的電子、夸克都是有質量的狄拉克費米子。以前大家認為中微子是無質量的外爾費米子，但中微子的質量被發現後，大家現在認為它有可能是有質量的狄拉克費米子，或者是有質量的馬約拉納費米子。到底是哪一種，這是目前高能粒子物理中的一個重大課題。
我們的宇宙十分豐富，但我們的材料更加豐富。同樣的電子在不同的材料中，可以表現為各種各樣不同的費米子。研究這些材料中被模擬的各種各樣的費米子是目前凝聚態物理研究的一個前沿。請注意，在材料中模擬以上各種費米子的都是電子，電子只是在這些材料中的行為像以上的各種費米子。
為什麼同樣的電子，在不同的材料中會表現為不同的費米子？這是因為在我們這個量子世界中，電子有波粒二象性。當電子這個波在不同的晶格中傳播時，其波動方程受到晶格的調製改變。由此導致的不同波動方程，就模擬了不同種類的費米子。
在這篇文章中，讓我們接著《文小剛：世界多彩的起源》的故事，通過介紹一些相關的概念：內部自由度、自旋、狄拉克費米子、外爾費米子、馬約拉納費米子，等等，一起欣賞我們這個非常豐富的量子世界。
左起：狄拉克、外爾、馬約拉納
什麼是粒子的內部自由度？
什麼是電子的自旋？
除了玻色性費米性之外，粒子還可以有很多其它的內在性質。其中一個就是粒子的內部自由度。有的粒子，即使我們把它的位置完全固定下來之後，它還可以處於不同的狀態。這些不同的狀態就被稱之為粒子的內部狀態。我們需要引入新的數據來描寫這些新的內部狀態。加上粒子的位置我們可以用記號來刻畫位置處於，內部狀態處於的粒子。考慮到這些狀態的量子疊加，一個有內部狀態粒子的總狀態是由下面的公式來描寫的：
也就是說一個粒子如果有兩個內部狀態，，那麼我們就需要兩個波函數（也稱之為有兩個分量的波函數），和，來描寫這個粒子的狀態。如果一個粒子有三個內部狀態，，那麼我們就需要三個波函數，、和，來描寫這個粒子的狀態。
電子就是一個帶有內部狀態的粒子。而電子的內部狀態還有一個特殊的性質：當我們把一個電子旋轉一個角度後，這個內部狀態還會改變。這樣的內部狀態像一個箭頭，或者更準確地說像一個旋轉的陀螺，有其旋轉方向。這種類型的內部狀態被稱之為自旋，我們通常用一個箭頭來描寫它。當然還有其它類型的內部狀態不受旋轉的影響，這類內部狀態更像不同的顏色。其實夸克，除了帶有自旋型的內部狀態之外，還帶有這種不受旋轉影響的3個內部狀態，我們稱其為紅綠藍（也就是說夸克總共有6個內部狀態）。
我們把一個粒子內部狀態的數目，叫做內部自由度。電子有兩個內部狀態，其內部自由度是2。夸克的內部自由度就是6，源於2個自旋態和3個顏色態的不同組合。 按照這個定義，當內部自由度為1的時候，我們說這個粒子沒有內部自由度（因為沒有變化的可能）。（當內部自由度為0時，連粒子都沒有了，更談不上其有沒有內部結構。）
其實處於不同內部狀態的粒子，也可以被認為是不同種類的粒子，這取決於我們的語境。如果一個粒子的內部狀態很難相互轉換，我們通常把處於不同內部狀態的粒子稱為不同種類的粒子。如果不同種類的粒子之間很容易相互轉換，我們就把不同的種類認為是粒子不同的內部狀態。
什麼是反粒子？
什麼是狄拉克方程？
如果兩個粒子可以相互湮滅而轉化為純能量（如環境中其它粒子的動能），那麼我們就說這兩個粒子互為反粒子。兩個光子相互碰撞可以轉化為純能量，所以光子就是自己的反粒子。兩個電子不論如何碰撞都不能轉化為純能量，所以電子不是自己的反粒子。但電子和正電子碰撞可以轉化為純能量，所以電子和正電子互為反粒子。
我們知道電子帶有自旋，像一個旋轉的陀螺，其內部自由度是2，對應於不同的自旋狀態。根據上節的描述，電子的量子狀態是由兩個波函數來描寫的。正電子也帶有自旋，其內部自由度也是2。正電子的量子狀態也是由兩個波函數描寫的。我們可以把電子和正電子放在一起，將其認為是一個內部自由度為四的粒子。我們需要用四個波函數來描寫這個粒子的量子狀態。
我們為什麼要把正反電子放在一起呢？這是因為在極高的能量下，電子正電子波函數的時間演化會有相互影響。我們必須同時考慮四個波函數的時間演化。這樣我們得到一個漂亮精簡的方程——這就是有名的狄拉克方程：
上面是狄拉克方程的矩陣形式。是狄拉克矩陣。是四個波函數的縮寫。這裡是粒子的質量。由這個狄拉克方程所描寫的粒子總是費米子，總有2個內部自旋態，正反粒子也總不相同。這種粒子也被叫做四分量狄拉克費米子（由四個波函數描寫）。一個速度為的四分量狄拉克費米子，會有四個內部狀態：正粒子態「+」、反粒子態「-」、自旋平行於速度的右手態「R」和自旋反平行於速度的左手態「L」。所以合起來這四個內部狀態可以由「R+」、「L+」、「R-」、「L-」，來描寫。
紅色：右手費米子(R)；藍色：左手費米子(L)；沒鬍子：粒子(+)；有鬍子：反粒子(-)。
其實歷史上關於狄拉克方程和正電子的故事更加精彩。一開始大家是用薛定諤方程來描寫電子波函數的時間演化。但薛定諤方程沒有相對論中的洛倫茲不變性。所以用薛定諤方程來描寫電子一定是錯的。狄拉克想把薛定諤方程推廣成一個有洛倫茲不變性的方程，結果發現新的方程要求波函數有四個分量，這不僅要把電子的自旋包括進來，還要加一個莫名其妙的帶自旋的反粒子。你可以因為世界上沒有這個莫名其妙的反粒子而放棄你自己所發現的新方程。但狄拉克方程太美了，這麼美的東西不應該是錯的，所以狄拉克把這個莫名其妙的反粒子變成了一個預言，預言了正電子的存在。兩年以後正電子就在實驗中被發現了。
發現正電子的故事
關於正電子的發現，維基百科有比較詳細的描寫：德米特里·斯科別利岑（Dmitri Skobeltsyn）最早於1929年觀測到正電子。在嘗試用威爾遜雲室來偵測宇宙射線中伽馬輻射的時候，斯科別利岑探測到一種行動像電子的粒子，但它在磁場中的彎曲方向與電子相反。
同樣地，加州理工學院的一名研究生趙忠堯在1929年也注意到類似的實驗結果，顯示有一種性質像電子的粒子，但其電荷為正，不過由於實驗結果並非決定性的，所以趙忠堯並沒有繼續追查這個現象。
現在的標準說法是，卡爾·D·安德森於1932年8月2日發現正電子，亦因此於1936年獲頒諾貝爾物理學獎。「正電子」（positron）一詞是由安德森所創的。它是第一種被發現的反物質，因此當時成了反物質存在的證據。在發現時，安德森讓宇宙射線通過雲室及鉛片。儀器被磁鐵包圍，而這些磁鐵使不同電荷的粒子向不同的方向彎曲。每一粒通過照相底片的正電子，都會有一條離子軌跡，其曲率對應電子的質荷比，但軌跡方向與電子相反，意味著它的電荷也與電子相反。
後來安德森在憶述往事時寫道，假若之前趙忠堯的研究有後續的話，那麼正電子在那個時候就會被發現了。在安德森公布發現正電子的時候，巴黎的弗雷德里克·約里奧-居里與伊雷娜·約里奧-居里夫婦已經持有有正電子軌跡的老照片，不過他們當時認為那軌是屬於質子的，因此不予理會。
做實驗真的需要仔細。有人說最重要的實驗數據是在廢紙簍中的數據。那些自己不理解，覺得做錯的要被扔掉的實驗數據，有時可能是重大發現。
發現正電子的照片：照片中粒子的軌跡，在鉛板上面彎曲得比較厲害，表示其速度比較低；在鉛板下面彎曲得不厲害，表示其速度比較高。所以粒子運行的方向是從鉛板下面到鉛板上面。這時，再通過粒子是往左拐還是往右拐，就能判斷出粒子帶的電荷是和電子相同還是相反。通過粒子軌跡彎曲的程度可以算出粒子的電荷質量比。
什麼是外爾費米子？
粒子物理中的外爾費米子（Weyl fermion）是定義在3維空間中（3+1維時空中）的一種費米子。從數學公式上看，外爾費米子可以看作是無質量狄拉克費米子的「一半」：一個無質量的四分量狄拉克費米子，相當於兩個兩分量外爾費米子，這兩個兩分量的外爾費米子的自旋分別平行和反平行於其動量方向。也就是說，狄拉克費米子中「R+」、「L-」兩個狀態對應於一個外爾費米子。另兩個狀態「L+」、「R-」對應於另一個外爾費米子。
用凝聚態物理的語言來說，外爾費米子有很強的「自旋軌道耦合」：外爾費米子的哈密頓量不再有動量和自旋的各自獨立的旋轉對稱性，而只有動量和自旋共同的旋轉對稱性。也就是說，在凝聚態系統中如果要實現類似於外爾費米子的現象，這個材料必須要有很強的自旋軌道耦合。著名的外爾半金屬（Weyl semimetal）就有很強的自旋軌道耦合。
一般我們把自旋和動量平行的外爾費米子叫做右手費米子，而反平行的外爾費米子叫做左手費米子。但是3維空間中的左手和右手費米子的定義並沒有那麼明確，因為當我們對左手外爾費米子做一個粒子-空穴變換（particle-hole transformation），它就會變成一個右手的外爾費米子。也就是說，3維空間中外爾費米子的手性定義，只有當我們確定了粒子的電荷（或者其他的量子數）以後才能確定。假如在一個凝聚態物理的材料中，處於某個動量的電子的行為類似於左手費米子，那麼它相對應的空穴就會是右手費米子。
正是因為3維空間中外爾費米子的左右手定義的不確定性，粒子物理中對於標準模型有兩種等價的描述。在標準模型中，如果我們忽略其他所有玻色場的影響（也忽略希格斯場的凝聚），這時候所有的費米子都變成了無質量費米子。比如，我們可以說標準模型中既有左手費米子，又有右手費米子，我們也可以說標準模型中只有左手費米子（或者只有右手費米子）。在大統一理論中，一般把所有的費米子都看作是左手（或者都看作是右手）費米子。同樣，在外爾半金屬中，我們既可以說低能下看到的電子有一半是左手費米子，另一半是右手費米子（左手和右手處在不同的動量上），也可以等價地說低能下所有的費米子都是左手費米子。只不過這裡所謂的「所有的費米子」中，一半是電子，一半是空穴。
但是並不是在所有空間維度中都有這樣的手征定義不確定性。外爾費米子在任何的奇數維空間（偶數維時空）中都能定義，但是在偶數維空間（奇數維時空）中不能定義。但是不同的奇數維空間中，外爾費米子的行為也不一樣。比如，在1維空間中的外爾費米子，左手和右手的定義是完全確定的，沒有任何粒子-空穴變換可以把左手變成右手費米子；而在3維空間中的外爾費米子有這樣的手征定義的不確定性。比如，量子霍爾效應的邊界態是1維的外爾費米子，這個邊界態的手征性是完全確定的，與電荷或者空穴的描述無關；而前面提到的外爾半金屬裡面的費米子的手征性就不太確定了。
同樣，如果我們想給外爾費米子一個質量，那麼在不同的空間維度中也需要採用不同的辦法。在3維空間中，有兩種給外爾費米子質量的辦法。辦法一是保持系統整體的U(1)電荷的守恆，但是混合左手和右手費米子。這樣產生的質量就是普通的狄拉克費米子質量，在外爾半金屬中這樣的質量相當於電荷密度波（charge density wave）。這一辦法需要有兩種外爾費米子才行得通。辦法二是破壞整體的U(1)電荷守恆，這樣我們不需引入另一個手征的費米子，只需要單個的左手或者右手外爾費米子就能產生質量。這樣產生的質量在粒子物理中叫「Majorana mass」，在凝聚態物理中就是簡單的庫伯對（Cooper pair）。一個重要區別是，在1維空間中，只有辦法一能給外爾費米子質量，辦法二不能給外爾費米子質量。
綜上所述，如果不考慮規範場，那麼標準模型中的費米子在希格斯場不凝聚的時候和外爾半金屬中的物理非常類似。兩個系統都有左手和右手的外爾費米子。稍有不同的是，標準模型中沒有右手的中微子（儘管在大部分大統一理論中都引了右手中微子），所以左右手費米子的數量並不相同；而外爾半金屬中左右手費米子數量是完全相同的。
什麼是馬約拉納費米子？
簡單地說，Ettore Majorana在1937年預言的馬約拉納費米子，是滿足狄拉克方程再加上一個額外條件的粒子，這個額外的條件就是它是它自己的反粒子。也就說把一個狄拉克費子米粒子的四個內部狀態「R+」、「L+」、「R-」、「L-」中的「R+」、「R-」看作一個狀態，把「L+」、「L-」看作一個狀態。這樣只有兩個內部狀態「R」、「L」的費米子就是馬約拉納費米子。
為了進一步解釋什麼是馬約拉納費米子，我們先用圖像解釋一下什麼是反粒子。狄拉克方程跟之前提出的薛定諤方程的重要區別就是存在著負能量的解。比如說對於一個沒有質量的費米子，如果它動量是, 狄拉克方程預言它的能量是。負能量初看起來是狄拉克方程的一個「毛病」，因為它意味著一個電子可以通過躍遷到負能量的能級上而釋放出任意大的能量。美妙的是費米子的泡利不相容原理正好解決了這個問題：我們可以聲稱在真空中，所有負能量的狀態都已經被電子佔據了，所以新加入的電子不得不呆在正能量狀態上。這些被佔據的負能量狀態就像一個負能量粒子的海洋，通常被叫做費米-狄拉克海，或費米海。這就是為什麼狄拉克方程只有對於費米子才是有意義的，而不能描述玻色子。這個負能海不是簡單地把負能狀態從理論中消除了，而是預言了一類新的正能量粒子，就是負能海中的空穴，也叫反粒子。如果把費米-狄拉克海想像成我們地球上的海洋，那麼電子就像處于海平面以上的水滴（比如一場雨），而空穴就是海洋中的氣泡。繼續應用這個比喻，如果我們把海平面當成重力勢能的零點，那麼海平面以下的一滴水的重力勢能就是負的。而產生一個氣泡相當於在海平面下拿走了一滴水，需要克服的重力勢能是正的。因此反粒子是具有正能量的粒子，比如電子的反粒子是正電子。產生一個動量為的正電子，意味著在費米-狄拉克海中拿掉一個動量為的電子。同樣動量的電子和正電子具有同樣的能量，但具有相反的電荷。
明白了什麼是反粒子，我們繼續說馬約拉納費米子。從費米-狄拉克海的圖像中我們很難理解為什麼會有一種粒子是它自己的反粒子。這就好像說海平面以上的雨滴和海平面以下的氣泡是同一種東西。當一場雨落在海面的時候，總會有跟雨滴等量的氣泡沿著鏡像對稱的軌跡向上走，在海平面上跟雨滴湮沒掉，從而保持海平面的位置一直不變。任何觀測雨滴的人都無法判斷它是空氣中下落的雨滴，還是海水中上升的氣泡……這聽起來簡直是天方夜譚，但我們的世界總是比我們最離奇的想像還要離奇。雖然我們迄今仍然不確定馬約拉納的預言是否是正確的（他預言中微子是一種馬約拉納費米子），但在凝聚態物理中，我們已經可以很確信地說，馬約拉納費米子是存在的，它就存在於一大類材料——超導體中。超導體發現於1911年，直到1957年才被Bardeen、Cooper和Schrieffer的BCS理論成功解釋。BCS理論的核心概念是庫伯對（Cooper pair），粗略地說就是兩個電子配成對一起在材料中運動。因為兩個電子放在一起看就變成了玻色子，而玻色子喜歡很「團結」地聚集到同一個狀態上，結果是體系中大量的電子配成對集體行動，使得電流可以完全無阻尼地傳播。大量玻色子聚集到同一個狀態上的相稱為玻色-愛因斯坦凝聚，所以超導體可以用一句話來描述，就是庫伯對的玻色-愛因斯坦凝聚態。
那麼這一切跟馬約拉納費米子有什麼關係呢？在超導體中的電子，當然還是具有守恆的電荷。他們的反粒子還是正電子，所以直觀來看似乎沒有可能存在馬約拉納費米子。使得電子變成了馬約拉那費米子——或者更確切地說是使得電子在低能量下看起來像是馬約拉那費米子——的關鍵原因，就是庫伯對的玻色凝聚。在玻色凝聚態中的玻色子，因為有大量粒子處於同一個狀態，如果在體系中某一點忽然拿走其中一個粒子的話，體系的狀態幾乎是沒有變化的（聯想一下濫竽充數的故事）。當然，如果仔細地數一下整個體系的粒子數，就會發現有一個粒子被拿走了，但是在被拿走粒子的地方附近做局部的測量，卻看不出任何區別。這就有點像電梯里進去一個人，電梯門再開的時候卻消失了，我們知道他其實是去了其他樓層，但在局部看起來好像是人可以憑空消失一樣。超導體就像是這樣一架電梯，但是一定要成對的電子才可以乘坐。
那麼如果現在我們在超導體里加上一個單個的電子會發生什麼呢？這個電子可以從費米-狄拉克海中「捕獲」一個負能量的電子，形成一個庫伯對，然後消失在庫伯對的凝聚體中。這樣的過程發生了之後，唯一剩下來的就是那個負能海中的電子被帶走留下來的空穴。因為看不到已經處於凝聚狀態的庫伯對，整個過程看起來就好像是一個電子直接「變成」了空穴，也就是它的反粒子。既然電子可以變成空穴，空穴也可以再變回電子，所以超導體中電子和空穴都不再是真正的「粒子」了，因為你不能說有一個電子處於某某單粒子狀態上（因為它隨時可能變成一個帶正電荷的空穴），把它叫做粒子就沒有意義了。取代了電子和空穴的，是他們的量子疊加態，稱為玻戈留玻夫(Bogoliubov)准粒子。既然已經沒有確定的電荷，玻戈留玻夫准粒子就有可能是它自己的反粒子了。但並非所有的玻戈留玻夫准粒子都是馬約拉納費米子。在大部分超導體中，自旋向上的電子只和自旋向下的電子配成庫伯對。因此一個自旋向上的電子捕獲一個自旋向下的負能電子之後得到的是一個自旋向上的空穴，由此生成的准粒子雖然沒有確定的電荷，但還是具有確定的自旋。在這樣的超導體中，是自旋向上和向下的准粒子互為反粒子，因此它們都不是馬約拉納費米子。只有當庫伯對可以發生在相同自旋之間，或者自旋在這個系統中根本就不守恆的時候，馬約拉納費米子才可能存在。最常見的這樣的超導體稱為p波超導體，更多的細節在這裡就不解釋了。順便說一下，在氦3的超流體中，氦原子處於跟p波超導體中的電子一樣的狀態，但因為氦原子是不帶電荷的，我們叫它超流體而不是超導體。在低能下氦3超流體中也有馬約拉納費米子的激發。
什麼是馬約拉納零能模？
講完什麼是馬約拉納費米子，我們說說它有什麼有趣的性質。回到海平面的雨滴和氣泡的比喻，對於狄拉克費米子來說，海平面以上和以下的自由度是獨立的；而對馬約拉納費米子來說，它們是上下嚴格地鏡像對稱。因此比起狄拉克費米子，馬約拉納費米子只有一半的自由度。可以說，一個馬約拉納費米子等於半個狄拉克費米子。當我們用量子場論描述這兩種費米子的時候，他們的關係很像實數和複數。狄拉克費米子就像一個複數，而馬約拉納費米子像一個實數。在任何電子組成的系統中，儘管我們可以通過超導庫伯對來實現馬約拉納費米子，總的自由度的數目卻不會變。所以N個電子的體系，馬約拉納費米子的數目一定是偶數2N。
既然這樣，那麼說一個馬約拉納費米子具有半個自由度不就沒有任何意義了嗎？反正他們總是成對出現。事實並非如此。前面說的玻色凝聚體中，局部看起來玻色子（庫伯對）好像可以憑空產生或者消失，只有看整個系統才會發現總的玻色子數是守恆的。跟這個邏輯非常類似，馬約拉納費米子的數目在整個系統中一定是偶數，但局部卻可以出現奇數。為了實現這個單個的馬約拉納費米子，我們需要把它的波函數限制在一個局域的地方。一個最簡單的實現是下圖裡的模型（稱為Kitaev chain，或者Kitaev Majorana chain，由Alexei Kitaev在2001年提出）。考慮一個簡單的體系，每個原子周圍只有一個電子態能級，所有原子排成一列。每個電子能級可以被看成是兩個馬約拉納零能模。粗略地講，這兩個馬約拉納零能模是能級的佔據態（）和非佔據態（）的兩種疊加和，在圖中用紅點和藍點來代表。（準確地說，這裡的「態」實際上是「算符」。)下一步是通過一個合適的超導配對，可以把每個原子上的藍色馬約拉納零模和臨近的紅色馬約拉納零模耦合起來。這樣做的結果是被耦合的馬約拉納零模變成了一個具有非零能量的能級，而在原子鏈兩端的馬約拉納非零模被孤立了。這樣如果只看這個原子鏈的左半邊，我們就會看到一個孤立的馬約拉納零模，一個只有半個自由度的奇怪東西。
說一個東西只有半個自由度似乎很難理解，但如果我們回到整個系統，把左邊和右邊端點的孤立的馬約拉納費零模合起來看就比較容易理解了。左右兩個馬約拉納非零模合起來等價於一個能級，具有一個自由度。也就是說，左右合起來一共有兩個狀態或，即這個能級中的佔據數可以是0或者是1。那麼為什麼說這兩個狀態是左右兩邊各半個自由度，而不是，比如說，左邊有一個自由度右邊沒有呢？因為如果對左邊端點的馬約拉納零能模做任何操作（比如在那裡加上一個外來的電子），造成的唯一可能效果是把變成或者把變成。同樣，對右邊端點做任何操作也是把這兩個狀態變來變去。這就好像樓上樓下各有一個開關，控制的是同一盞電燈，所以說左右兩端點各有半個自由度。如果左右兩端點離得很遠，沒法耦合起來的話，他們共同擁有的這兩個狀態就必須是0能量的（因為給他們能量的唯一方式是把他們耦合起來，把原子鏈彎成一個環）。如果我們把其中一個態看成體系的基態，另外一個態可以看成一個具有0能量的激發態。這一零能量的激發態導致了實驗中觀測到的處於零電壓的電導尖峰。
馬約拉納零能模不僅可以在一維原子鏈中實現，也可以存在於二維超導體的渦旋中。如果一個超導體中有很多渦旋（渦旋的數目是可以通過磁場來簡單調節的），每個渦旋的中心有一個孤立的馬約拉納費米子，則每兩個渦旋有兩個能量為0的內部狀態。值得注意的是，在量子體系中狀態數目是相乘而不是相加的，所以2N個渦旋就有個能量為0的狀態。整個超導體可以處於這些狀態的任意量子疊加態上。這就是為什麼人們對馬約拉納零能模如此感興趣的原因——因為這些0能量狀態是量子計算機的一個很好的候選者。這些狀態對於外界的擾動非常不敏感，而唯獨對渦旋之間的相對運動很敏感，這正是量子計算機所需要的。我們希望計算機存儲的數據平時很穩定，但我們要去讀寫的時候就可以很容易改變它。在渦旋中具有馬約拉納零能模的超導體中，只要把渦旋相互繞轉，就可以操控這個狀態的一個量子疊加態，實現量子計算。（值得指出的是僅僅移動渦旋得到的量子計算操作是有限制的，必須加上一些其他的量子操作才能成為「通用的」量子計算機。）
一個帶有馬約拉納零能模的粒子，既不是玻色子也不是費米子，而是一種全新的粒子，叫做非阿貝爾統計粒子。這些名字實在是繞口，但我們現在遇到的都是一些全新的概念，這些概念還沒有一個好的簡單的名字。非阿貝爾統計粒子只存在於固體材料中，而不存在於我們的空間中。所以說固體材料比我們宇宙中的空間還要豐富得多。
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