有沒有哪個素數可以以多種方式寫成兩個數的平方和？

知識 11-26

由費馬證明的那個4n+1的素數可以寫成兩個數的平方和想到的，試了幾個例子似乎都只有一種方式。如果有多種方式的話，種數有上限嗎？怎麼計算？

謝邀，答案是沒有。

首先，如果

，那麼顯然只有一種方法（不考慮正負），所以只需要考察奇素數即可。

實際上，我們有更強的結論：對於正整數

，其寫成平方和的方法數為：

如果

是一個奇素數，那麼整除

的奇數只有兩個，即

和

本身（不考慮正負）。

帶進去就可以發現當

時，

（如果懶得算的話，只需要注意到反正不可能超過

，因為只有兩個數相加。）

然而這個公式是把（非零的）交換的情形（如

）算兩種的，所以需要除以

，即只有一種方法。

===============這個公式是怎麼來的===============

這牽涉到一點點數論的知識：

令

，我們知道

是一個PID，即所有理想皆為主理想。

實際上

，而這是

的整數解的組數的四分之一，因為

不過我們本來就不考慮正負，所以這個沒關係。

注意到

，其中

是滿足

的理想的數量。

於是當

而我們又知道

，也就是說，

於是，

那麼就這樣=w=

您可能感興趣