時空的樂章——引力波百年漫談：從早期猜測到弱場近似

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撰文

盧昌海

算不上先驅的先驅

在廣義相對論之前的物理學中，時空彷彿是一個舞台，物理過程像戲劇一樣千變萬化，舞台卻是不變的。廣義相對論首次將時空變成了戲劇的一部分，變成了一個動力學概念，時空不再是不變的了。而在物理學上，幾乎所有可變的東西都可以有波動式的變化，時空也不例外，從這個意義上講，引力波在概念層面上的存在幾乎是水到渠成，甚至顯而易見了。

在更具體的層面上，引力波的存在還可以這樣來理解，那就是廣義相對論既然解決了牛頓萬有引力定律與狹義相對論相互衝突的問題，那麼引力自然不會再像牛頓萬有引力定律所隱含的那樣瞬時傳播了。而引力既然不再瞬時傳播，就意味著引力源的運動對遠處的影響只能逐漸傳播開去，這「逐漸傳播」的典型形式無疑就是波動。這種相互作用的非瞬時傳播與波動之間的密切關聯物理學家們並不陌生，因為電磁波就是這樣一種波動，一種與電磁相互作用的非瞬時傳播有著密切關聯的波動。

不過，引力的非瞬時傳播雖然是由廣義相對論所確立的，相互作用非瞬時傳播的概念卻並非始於廣義相對論，甚至也並非始於狹義相對論——雖然後者對這一概念取得基礎地位具有決定性的影響。事實上，比狹義相對論早得多就有科學家猜測過引力的非瞬時傳播，並且作出過跟引力波的存在不無異曲同工之處的猜測。

比如著名法國科學家拉普拉斯( Pierre Simon de Laplace ) 早在1776年就考慮過修改牛頓萬有引力定律的若干可能性，其中之一就是放棄引力的瞬時傳播。假如引力的傳播不是瞬時的，會有什麼可觀測效應呢？拉普拉斯以地球對月球的引力為例作了具體分析[1]。他首先假定引力是通過物體之間交換某種微小粒子所產生的，方向沿那些微小粒子的運動方向[2]。對於地球與月球間的引力而言，如果引力的傳播是瞬時的，產生引力的那種微小粒子的發射方向——也就是引力的方向——無疑就是沿兩者的連線方向，從而跟牛頓萬有引力定律相一致。但假如引力的傳播不是瞬時的，那種微小粒子從地球運動到月球就需要花費時間，而在這段時間內，月球本身會沿著公轉軌道往前運動一段距離，因此為了使那種微小粒子能與月球相遇，它們的發射方向必須稍稍偏往月球的運動方向一點。很明顯，這種發射方向上的偏角意味著地球對月球的引力將不再沿兩者的連線方向，而是——相對於月球而言——有一個沿切嚮往後拖拽的分量（感興趣的讀者可以畫一幅示意圖論證這一點）。由於這種拖拽效應的存在，月球的軌道將會慢慢「蛻化」，軌道高度將會逐漸降低，月球的最終命運——倘不考慮任何其他因素的話——將會是墜落到地球上。

拉普拉斯以引力的非瞬時傳播為前提所預言的月球軌道的「蛻化」在定性上跟引力波造成的效應是相同的。不過預言雖然相同，拉普拉斯卻並沒有提出引力波的概念。按照現代的思路，月球軌道的「蛻化」意味著軌道能量的損失，只要問一句「損失的軌道能量到哪裡去了」，引力波的概念就幾乎必然會被引出來。可惜的是，今天看來天經地義的推理在拉普拉斯時代卻並非如此，原因很簡單：能量守恆定律在拉普拉斯時代尚不存在。能量及能量守恆定律的基礎地位容易給人一個錯覺，以為這兩者都是淵源流長的概念。但其實，它們的歷史並不悠久，稍具現代意義的能量概念在拉普拉斯時代尚處於形成之中，許多形式的能量尚未被認識，能量守恆的觀念也尚未得到確立。因此對拉普拉斯來說，「損失的軌道能量到哪裡去了」的問題並不顯而易見，更不會引發他往引力波的方向去猜測[3]。也正因為如此，他的猜測只能被稱為「跟引力波的存在不無異曲同工之處的猜測」，這種猜測相對於引力波研究來說只在很邊緣的意義上具有先驅性[4]。

拉普拉斯

等到英國物理學家麥克斯韋 (James Clerk Maxwell) 建立了完整的經典電磁理論以及愛因斯坦提出了狹義相對論之後，有關引力波的猜測才真正問世了。這種猜測有兩個主要誘因：一個是牛頓萬有引力定律與描述靜電相互作用的庫侖定律(Coulomb s Law)具有表觀上的相似性，這種相似性啟示人們猜測相對論性的引力理論與完整的經典電磁理論會有一定的相似性，從而會像電磁理論具有電磁波一樣具有引力波。另一個誘因則是前面提到過的相互作用的非瞬時傳播與波動之間的密切關聯，狹義相對論所確立的光速上限對這一誘因無疑是一種加強。在這些誘因的「引誘」下，法國科學家龐加萊(Henri Poincaré)早在1905年6月——比狹義相對論的發表還早——就對引力波的存在做出了明確猜測。這位在愛因斯坦之前就對狹義相對論的很多結果有過預期的著名科學家在一篇題為「電子的動力學」(Sur la dynamique de l électron) 的論文中不僅提出了引力場會像電磁場那樣產生以光速傳播的波，而且將這種波明確稱為了引力波。稍後，龐加萊還進一步猜測引力波造成的能量損失有可能解釋水星近日點進動(perihelion precession of Mercury) 的傳統計算與觀測值之間的偏差。

龐加萊

不過當時距離廣義相對論的創立還有10年，龐加萊對符合相對論要求的引力理論的預期只是概念性的，所提出的引力波也是概念性的，除猜對了它的傳播速度是光速外，在技術層面上對引力波的其他了解近乎於零，所猜測的引力波對水星近日點進動的影響也是完全錯誤的。從這個意義上講，龐加萊這位提出了引力波概念及名稱的先驅也是要打折扣的，姑稱為「算不上先驅的先驅」吧。

廣義相對論的弱場近似

在引力波的研究中，真正稱得上先驅及提出者的只有一個人，那就是愛因斯坦本人。

愛因斯坦的研究風格具有極強的系統性，在創立了廣義相對論之後僅僅兩年左右的時間，他就再接再厲地開闢了兩個全新的分支領域：一個是相對論宇宙學，另一個就是引力波研究。愛因斯坦開闢的這兩個領域後來都有了一些戲劇性的曲折，比如相對論宇宙學的發展在不久之後就使愛因斯坦所青睞的靜態宇宙模型遭到了觀測否決，而引力波的研究在愛因斯坦有生之年雖無觀測數據，愛因斯坦自己的觀點卻幾經變化。我們將在後文中陸續介紹愛因斯坦的觀點變化，在本節中，讓我們先上點「乾貨」，介紹一下廣義相對論的弱場近似(weak field approximation)，對於引力波研究來說這是最便利的切入點，也是愛因斯坦研究引力波時最先考慮的情形。

有讀者也許會問：討論電磁波時從來也不需要弱場近似，為什麼引力波研究要以弱場近似為切入點呢？這是因為電磁理論——確切地說是麥克斯韋的經典電磁理論——是一個線性理論，這種理論的基本特點是處理的難度與場的強弱無關，從而沒必要對後者作出限制。但廣義相對論不同，它是一個非線性理論，這種理論的一個基本特點是場具有所謂的自相互作用 (self-interaction)，即場的產生不僅取決於源，而且還取決於它自身。這種自相互作用的存在使非線性理論的處理比線性理論困難得多，而且場越強，自相互作用往往越顯著，處理的難度也就越大。那麼非線性理論——或者具體地說，廣義相對論這一非線性理論——該如何處理呢？一般來說，處理的手段有三類：一類是尋找特殊解，這類手段通常靠特定的對稱性來簡化問題，適用面比較小，但往往可以得到精確而解析的結果；另一類是數值計算，這類手段顯著依賴於計算工具，在早期研究中基本缺席，在計算機技術日益發展的今天卻有著越來越寬廣的應用領域；第三類則是線性近似，這類手段的適用條件是非線性效應可以忽略，只要這一條件得到滿足，它的適用面就是普遍的，不依賴於對稱性，同時卻往往可以得到解析結果。弱場近似下的引力波研究採用的就是第三類手段，因為弱場的自相互作用可以忽略，從而廣義相對論可以近似為線性理論。

關於廣義相對論的弱場近似，首先要問的是：什麼是弱場？由於廣義相對論將引力歸結為時空的彎曲，而沒有引力的時空是由閔科夫斯基度規ημν所描述的平直時空——也稱為閔科夫斯基時空。因此所謂弱場顯然是指時空偏離閔科夫斯基時空的幅度很小的情形。用數學語言來表示，廣義相對論的弱場指的是形如

gμν=ημν+ hμν(hμν?1) (1)

的度規所表示的引力場——其中括弧里的hμν?1 表示時空偏離閔科夫斯基時空的幅度很小。

將(1)式帶入愛因斯坦場方程(2.9)式Rμν- (1/2)gμνR = 8πTμν[5]，並且只保留hμν的線性項，可以得到

?λ?λhμν－?λ?μhλν－?λ?νhλμ+ ?μ?νhλλ= ﹣16πG(Tμν－?ημνTλλ)(2)

需要說明的是，(2)式中hμν和Tμν的所有指標都是用閔科夫斯基度規ημν來升降的，因為否則就會引進hμν的非線性項。

(2)式雖然是線性的，卻依然有相當的複雜性。幸運的是，我們還有一個「殺手鐧」尚未使用，那就是廣義相對論所具有的廣義協變性。廣義協變性使我們可以對4個時空坐標進行任意變換，而在那樣的變換下，廣義相對論中的度規、聯絡等都將發生相應的變化。利用這種變化，我們可以選擇特殊的坐標，使得度規、聯絡等具有最易於處理的形式，這是研究廣義相對論問題的重要技巧。熟悉電磁理論的讀者也許看出來了，廣義相對論所具有的廣義協變性類似於電磁理論中的規範不變性(gauge invariance)，對時空坐標的任意變換類似於電磁理論中的規範變換(gauge transformation)，而由此帶來的對度規、聯絡等的選擇則相當於在電磁理論中選擇規範條件(gauge condition)。所不同的是，電磁理論中的規範變換隻涉及一個任意函數，相應的規範條件也只有一個，而廣義相對論中的坐標變換涉及4個任意函數，從而可以導致4個類似的條件——稱為「坐標條件」(coordinate conditions)。

坐標條件的選擇不是唯一的，就像電磁理論中規範條件的選擇不是唯一的。愛因斯坦在早年的研究中——包括理論框架完成之前的階段里——往往只採用一個坐標條件，即 g = -1（其中g是度規張量 gμν的行列式）。滿足這一條件的坐標被稱為「幺模坐標」(unimodular coordinates)。不過當他對弱場近似進行更系統的研究時，很快發現幺模坐標不適合研究引力波，因而自1916年6月發表引力波研究的第一篇論文「引力場方程的近似積分」(Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation) 開始，轉而採用了荷蘭物理學家德西特 (Willemde Sitter) 提出的一組坐標條件：?μ(hμν—?ημνhλλ)= 0。這組條件共有4個，從而充分利用了廣義協變性帶來的便利，滿足這組條件的坐標被稱為「各向同性坐標」 (isotropic coordinates)。

利用各向同性坐標，愛因斯坦於1918年給出了有關弱場近似下引力波的若干重要結果。不過時隔一個世紀，我們已沒有必要重複愛因斯坦的選擇，而將採用一種更受現代研究者青睞的坐標條件：調和坐標條件(harmonic coordinate conditions，也稱為「諧和坐標條件」)。用數學語言來表示，調和坐標條件指的是：

gμνΓλμν= 0 (3)

滿足這組總計4個條件的坐標則被稱為「調和坐標」 (harmonic coordinates，也稱為「諧和坐標」)。

調和坐標是20世紀20年代由比利時數學家德唐德 (Théophile de Donder) 和匈牙利物理學家蘭佐斯 (Cornelius Lanczos) 彼此獨立地提出的[6]。調和坐標條件作為一個坐標條件，本身並不受弱場近似的限制，但我們討論的既然是弱場近似，則對調和坐標條件也需要作一個弱場近似，只保留hμν的線性項。不難證明，這種近似下的調和坐標條件(3)可以表述為：

?μhμν= ??νhμμ(4)

細心的讀者也許注意到了，(4)式跟前面提到過的各向同性坐標所滿足的條件是完全相同的。因此調和坐標與各向同性坐標在弱場近似下是相同的，不過這種相同只限於弱場近似，在普遍情形下兩者是不同的坐標。

利用(4)式可以很容易地證明——感興趣的讀者不妨自己試試——(2)式左側除第一項外的其他三項相互抵消。由此我們得到一個高度簡化了的、很漂亮的廣義相對論弱場近似：

?λ?λhμν= -16πG(Tμν- ?ημνTλλ)(5)

這一近似之所以漂亮，是因為——讀者想必認出來了——它正是所謂的波動方程 (wave equation)。這個波動方程所描述的是一種以物質——具體地說是Tμν- ?ημνTλλ——為源，以時空——具體地說是時空偏離平直的程度hμν——為波幅的波動。不僅如此，我們還可以立刻看出這種波動的一個重要特點，那就是傳播速度是光速[7]。

如果說此前有關引力波的一切都是猜測，那麼波動方程的出現改變了事情的性質。因為波動方程是波動的理論基礎，蘊含著它的定量屬性，也是定量驗證的重要基礎。對一般的物理體系來說，波動方程既然出現了，波的存在就不言而喻了，但我們將會看到，引力波跟一般的波相比有一些概念上的微妙性，一度甚至妨礙了愛因斯坦本人對它的理解和接受。

注釋

[1] 之所以以地球對月球的引力為例，是因此自牛頓時代起，月球的運動就是一個老大難問題（這其實並不意外，因為一來月球同時受太陽和地球兩大天體的引力影響，且質量與地球質量相比不算太小，其運動帶有較明顯的「三體」色彩；二來對月球的觀測相對容易，從而容易發現問題），牛頓甚至還因此而懷疑英國天文學家弗拉姆斯蒂德(John Flamsteed)沒有為他提供最好的觀測數據，兩人為此鬧僵。拉普拉斯之所以考慮修改牛頓萬有引力定律的可能性，一個很重要的原因也是因為月球的運動尚未得到滿意解決。

[2] 這一想法跟現代量子場論對相互作用的描述不無相似之處——當然純屬表觀。

[3] 值得一提的是，哪怕在廣義相對論問世之後，引力波是否真實存在以及它能否攜帶能量也依然有過爭議（我們在後文中將會提及）。以這種爭議為背景來看，拉普拉斯從引力的非瞬時傳播入手進行的分析具有額外的重要性，因為它提供了一個獨立視角。事實上，著名引力理論專家、美國物理學家惠勒在《引力與時空之旅》(A Journey into Gravity and Spacetime) 一書中曾引述過兩位現代物理學家提出的有關引力波為何能攜帶能量的通俗解釋，其實質也正是從引力的非瞬時傳播入手，從而跟拉普拉斯的分析具有完全相似的思路。從這個意義上講，拉普拉斯的分析在定性上可以說是正確的。如果進一步考慮到當時連麥克斯韋的電磁理論都尚未問世，則拉普拉斯的分析還可以視為是對「輻射阻尼」 (radiation resistance) 的最早分析。不過另一方面，在廣義相對論那樣的具體理論問世之前，拉普拉斯的分析註定只能是定性的，一旦試圖超越這一局限就不免走向謬誤。比如他依據自己的分析及月球運動的觀測數據估算出的引力的傳播速度高達光速的700萬倍，就不僅荒謬，而且幾乎對引力的非瞬時傳播構成了否定。當然，這種謬誤也有觀測方面的原因，因為月球軌道因發射引力波而產生的「蛻化」哪怕在今天也絕非觀測所能企及，以此為基礎推算任何東西都是在沙灘上建城堡，走向謬誤是不足為奇的。

[4] 拉普拉斯的這種先驅性很少被提及，因為他的猜測不僅——如前注所述——因他自己得到的引力傳播速度高達光速的700萬倍這一數值結果而顯得荒謬，而且從觀念上講也不受當時人們的親睞——因為當時天體運動具有永恆性的宗教觀念仍很頑固，月球軌道的「蛻化」是跟這種頑固觀念相衝突的。

[5]確切地說，是代入第二節

《

時空的樂章 ── 引力波百年漫談 （二）：從牛頓引力到愛因斯坦時空》所提到的愛因斯坦本人得到的與(2.9)式等價的場方程Rμν= -k(Tμν-?gμνT)，因為那一形式的左側——即時空幾何部分——相對簡單。

[6] 這種坐標之所以被稱為調和坐標是因為在這種坐標下，任何函數φ的所謂「調和算符」可以簡化為 gμν?μ?νφ= gμν?μ?νφ- gμνΓλμν?λφ= ?μ?μφ，其中最後一步使用了調和坐標條件(3)式。如果 φ 選為坐標 xα本身，則由於其相對於坐標的二階普通導數為零，則顯然有 gμν?μ?νxα= 0 。由於滿足這一方程式的函數是古典分析中「調和函數」(harmonic function)——當然一切都是在愛因斯坦時空中的推廣，相應的坐標就因此而被稱為了調和坐標。另外可以補充的是：調和坐標不僅受到現代研究者的青睞，在一定程度上甚至可以說是受到了「溺愛」，比如蘇聯物理學家福克(Vladimir Fock)試圖將調和坐標提升到優越參照系的地位上，中國物理學家周培源試圖將調和坐標條件與愛因斯坦場方程並稱為「物質的引力規律」，就都屬於「溺愛」。

[7] 在本系列中，我們採用了光速 c = 1 的單位制，因此在公式中看不到光速，感興趣的讀者可以通過簡單的量綱分析將光速恢復起來。另外可以順便說明一下，這裡得到的引力波傳播速度是光速這一特點與方向無關，或者說是各向同性的，這正是前文中由德西特所提出，被愛因斯坦所採用的坐標——它在弱場近似下與調和坐標相等價，從而具有同樣特點——被稱為「各向同性坐標」的原因。

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