湍流界的九陰真經：K41理論 流體江湖風雲錄·柯老邪篇
安德雷·柯爾莫哥洛夫（1903-1987）。來源：aprender-mat.info
編者按：
桃花影落飛神劍，碧海潮生按玉簫。
東邪黃藥師，天下五絕之一，武功超凡脫俗，已臻化境。他聰明絕頂，博覽群書，兼學百家，志趣深遠。上通天文，下知地理，五行八卦、奇門遁甲、琴棋書畫、醫卜命相、術數縱橫，乃至農田水利、經濟兵略等亦無一不曉，無一不精。他薄湯武，非周孔，漠視禮法卻珍視大節，恃才傲物卻難掩溫情。他獨居東海孤島，不問世事，快意瀟洒，卻在南宋江山岌岌可危之際，義助襄陽，主持戰局。此等人物，雖有沽名之嫌，遷怒之過，仍不得不為我輩所神往也。
而在流體力學發展的長河中，也曾有過這樣一位全才大師，以神來之筆在現代湍流發展史上寫下了濃墨重彩的一章。此人之才情，比之黃老邪亦有過之而無不及。他便是蘇聯數學大師安德雷·柯爾莫哥洛夫（Andrey Kolmogorov），「柯老邪」是也。
撰文 | 潘玉林（麻省理工學院機械系博士生）
責編 | 呂浩然
上回說道：全才柯老邪聲名鵲起，概率論造詣獨步天下。而在其劍指湍流領域的過程中，一座雄壯的樓閣也隨之拔地而起。
大廈之基
如果說1905年是愛因斯坦奇蹟年，那麼1941年則稱得上湍流史上的柯老邪奇蹟年。這一年，柯老邪連續發表三篇論文，一舉奠定了其流體力學界一代宗師的地位。這三篇文章對於湍流物理規律的闡述，在江湖獲封「K41理論」之美譽。它們是柯老邪與其弟子數年之功的總結，也是湍流研究史上人類所取得的最輝煌的成就。
在具體介紹K41理論之前，我們需要先引入「尺度」這一概念。尺度者，大小、長短之衡量也，「鯤之大，不知其幾千里也」，鯤的空間尺度為幾千里；「朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋」，朝菌與蟪蛄的時間尺度，則分別小於一月和一年。
而湍流，是一個具有多尺度結構的系統。從流場中渦旋的角度而論，湍流可看做是很多不同尺度渦結構的相互作用。以大氣湍流為例，其渦結構尺度範圍可從幾毫米延伸至幾千米，可謂「大渦可通天級，小渦僅在毫釐」。
湍流射流中的渦旋結構
K41理論認為，無論一個湍流系統如何複雜，其渦旋結構都有著相似性，即渦的動能總是由外力作用施加給流場，並注入最大尺度（假設為L）的渦結構。然後，大尺度渦結構逐次瓦解併產生小型渦旋，同時也將動能由大尺度逐級傳向小尺度結構，並依此類推。但此過程並不會無限進行下去，當渦結構尺度足夠小（假設為η）時，流體粘性將佔據主導地位，動能轉化為內能在該尺度上耗散掉，繼而不會繼續傳向更小尺度的渦結構。這個過程，被稱為能級串過程。
湍流射流中的渦旋結構
K41之能級串過程
我們試舉一例將其具體化。假設有一個長度尺度為L的水桶，我們手持攪拌器在同樣的尺度L上對桶里的水進行攪拌。不難想像，桶中會出現尺度為L的最大渦旋結構。
隨著時間的推移，桶中的渦結構尺度層次會變得更為豐富，不斷有更小的渦產生。此時，系統將達到一種動態能量守衡：動能由攪拌器在大尺度L上施加給系統，系統中的動能由尺度為L的大渦一級級傳向小渦結構，最終由於粘性耗散在最小尺度的渦結構里。整個系統力作而興，力息而竭。如果我們撤去攪拌器的外力，桶中的渦旋結構將會慢慢衰減，直至被粘性消耗殆盡。
在水桶中攪拌併產生渦旋示意圖，圖片來源：physics today, 2006
正所謂，大渦生小渦，小渦生小小渦，而子子孫孫有窮盡也。
如果柯老邪的發現僅僅是這樣一個有著些許詩意的湍流物理模型，K41理論的江湖地位難免會大打折扣。事實上，K41理論之所以成為湍流界的至尊，是由於其在物理模型之上引入了對於湍流的定量描述。而數學，是描述自然規律唯一有效的語言。
由於人類在納維-斯托克斯方程面前的無力，引入數學描述並非易事。為此，柯老邪以其深刻的物理直覺引入了一個大膽的假設，將整個問題抽絲剝繭，直至其本質完全暴露，再輔以初等數學的量綱分析便得到了描述湍流場渦結構動能的最有效的一個公式：
S2(l)=Cε2/3l2/3
式中，l為湍流場中兩點間距離，ε為由大尺度向小尺度的動能傳遞率，亦等同於小尺度動能耗散率，C為無量綱的柯爾莫哥洛夫常數。S2(l)為二階結構函數，其定義為S2(l)=〈δu(l)2〉，即湍流場中相距為l兩點間速度差δu(l)平方的（空間或時間）平均值。此結構函數乃柯老邪獨創之統計量，它度量了尺度小於等於l的所有渦結構之動能。
此公式為K41理論的最核心部分，被稱為「柯爾莫哥洛夫之2/3標度律」。正如許多偉大的物理公式一樣，柯老邪的2/3律形式優美，結構簡單。而在這令人為之傾倒的美感背後，卻隱藏著非凡的物理含義。
原來，湍流場中不同尺度l上的渦結構動能並非任意分布，而是要服從l2/3的冪函數形式。因此，渦動能從大尺度到小尺度以冪函數形式衰減。而由於柯老邪引入的假設，2/3律只在一定尺度範圍η
所謂實踐是檢驗真理的唯一標準，在柯老邪如此天馬行空的物理假設下，K41理論的正確與否似乎只能通過物理實驗來檢驗。這也的確成為了K41理論問世之後各學派爭相實驗的主題。這些實驗尺度大小有別，流動形態各異，而萬變中的不變卻是所測得的湍流2/3標度律 – 柯老邪公式中 2/3這個數字被無數實驗所證實。其中最驚人的當屬卡爾·吉布森（Carl Gibson）教授1991年所測得的星系湍流，其結構函數在近十個數量級的尺度範圍內與湍流標度律相符。柯老邪一念之力，竟至於斯。
「武林交通部」
為了更清晰地展示柯老邪鬼斧神工般的K41理論，我們試以「武林交通部」系統（如下圖）與湍流場做一類比。某日，武林交通部高層人士通過了「二十三省江湖人士不得闖黃燈」的江湖禁令，並將其下達至省交通廳；各省交通廳將此禁令分解為「各市江湖人士不得闖黃燈」並繼續向下級傳遞；依此類推，這條禁令又經過市，區兩級交通局分解並最終傳達至各地江湖人士。在此例中，武林交通部是系統中最大尺度L的渦結構，省市區各級交通單位是稍小尺度的渦結構，而各地江湖人士是最小尺度η的渦結構。江湖禁令的傳遞則類比湍流場中的動能傳遞。
為加強宣傳力度，武林交通部三令五申，不厭其煩地將此江湖禁令傳達給下級機構。而隨著各級交通部門的傳遞，這條江湖禁令也三番五次地傳到各地江湖人士耳中。江湖人士們不勝其擾，只得聽而不聞，任消息隨風消散。在這段描述中，武林交通部的三令五申相當於大尺度渦為湍流系統提供的源源不斷的動能，而消息的隨風消散則相當於小尺度渦動能的粘性耗散。
在任意交通部門中，其所接受和傳出的信息量相等。例如，山東省交通廳所接受的信息為「山東省江湖人士不得闖黃燈」，而其分解後傳出的信息為「煙台市江湖人士不得闖黃燈」，「青島市江湖人士不得闖黃燈」，等等。此兩者均作用于山東省每一名江湖人士，因此其信息量相等。而對於整個交通系統而言，每一級之間所傳遞的信息均作用於所有江湖人士，因而各級間傳遞的信息總量亦相同。這時的信息傳遞效率，即單位時間內各級間的信息傳遞量，對應於柯老邪公式中的ε。如果各級間ε不同，會造成整個系統效率低下，信息阻滯。
為保政令暢通，省市區三級交通部門積極進行機構整改，剔除冥頑不靈者，招納順應時勢者，最終形成了交通部門的最優機構配置。在這個最優配置中，各級交通部門只知自己有上級下級，並將上一級下達的禁令如實傳遞給下一級，而並不知道自己位於整個系統中的哪一級。在這個各司其職的系統中，禁令的傳遞效率ε在每級達到一致，毫無阻滯的從武林交通部直達每個江湖人士。此時各級機構的最優配置正對應著柯老邪描述渦結構動能在不同尺度上分布的2/3律，即S2～l2/3。
此例中的描述，或有牽強之處，但以社會系統印證柯老邪的K41理論，卻也無傷大雅。
而令人咋舌的是，在K41理論問世之前的一些藝術作品中，也有著2/3律的影子。其中最有名的當屬1889年文森特·梵高（Vincent Van Gogh）在其精神錯亂期間留下的曠世名作「星夜」（The Starry Night）。畫中的光影星雲結構被認為是湍流渦結構很好的詮釋。最近的研究則有著更為驚人的發現：如果將畫中每一像素點的亮度看作是湍流場中速度大小的話，由此畫所計算出的結構函數與柯老邪的2/3律有著近乎完美的相符。
這一驚人的巧合，究竟僅是過分解讀，還是意味著人類精神失控時思維之湍流與自然界之湍流有著內在的聯繫，筆者也難以斷言。這個謎題或許要留待後世來解開了。
文森特·梵高的「星夜」（1889）
如果說柯老邪的概率論是集大成之作，其K41理論則可稱得上湍流結構理論之濫觴。涓涓細流，終成巨瀾滔滔。
在後世的湍流研究中，對於K41理論應用所取得的碩果璀璨絢麗，許多看似無從下手的問題由於K41理論的引入迎刃而解。柯老邪的莫斯科學派也從1946年開始組織兩周一次的研討會，精研K41理論在具體湍流體系中的運用。從這裡走出的柯老邪在湍流界的四大弟子，亞歷山大·奧布霍夫（Alexander Obukhov），米哈伊爾·米林斯奇科夫（Mikhail Millionshchikov），安德雷·莫寧（Andrei Monin）與阿奇瓦·亞格洛姆（Akiva Yaglom）將於日後在各自的領域內獨領風騷。其中的奧布霍夫與莫寧分別接管和領導了蘇聯在大氣湍流與海洋湍流上的研究。欣喜之餘，柯老邪豪言道：「我的一名弟子統御地球大氣，而另一名弟子管轄四方海域。」（One of my students rules the Earth atmosphere, another – the oceans.）
天下武功紛繁龐雜，而以內御外方為修行之正途。K41理論正如湍流界的九陰真經，它從內在上試探著湍流的根基，撩撥著湍流的心弦。如果說時至今日的湍流結構研究已漸成一座大廈，那麼K41理論正是這座大廈的地基。儘管它之後還將經歷一番波折，但它必定永載史冊，千年不朽。
欲知後事如何，且聽下回分解。
本文首發於《MIT科研范》，《知識分子》獲得作者授權刊發，內容略有修訂。
作者簡介：
潘玉林，MIT機械系博士生，在Vortical Flow Research Lab從事流體力學方面的研究工作。研究領域包括理論與計算流體力學，非線性波浪力學，弱湍流理論，螺旋槳與機翼理論。
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