你真的理解積分結果的本質嗎？

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傳播數學乾貨，學會理性的方式去思考問題

第一天

小明在課堂上學習了定積分。老師告訴他，定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積。

小明很失望：定積分就只能算個面積？而且還只是這種特殊的形狀。他把這個疑問告訴了他的好朋友數模君，數模君笑著說：「明天旅行的時候跟你講吧！」。帶著這個問題和對旅行的憧憬，小明進入了夢鄉。

第二天

小明興高采烈地和幾個哥們坐上了大巴車，幾個小時之後，他們到了目的地。這時數模君問小明：「你知道我們的汽車行駛了多遠嗎？」

「知道啊，我記得西安到青海是XX公里……」「不對！那是直線距離。我問你怎麼計算汽車行駛的路程。」「……不知道。」

「哈哈，當然是定積分了。」數模君得意地說，「不妨設我們是A時刻出發，B時刻到達，A到B之間汽車每一時刻的速度記為一個函數,這個函數在A到B上的定積分就是路程啊!」

「原來定積分還可以算路程！」小明驚訝地說。

下了車，小明拉著旅行箱跟著大部隊往賓館走去，這時數模君又說話了：

「你知道你拉箱子做多少功嗎？」

「看我晚飯吃多少唄。晚飯吃得多，說明我做的功多。」小明疲憊地說。

「你這孩子！」數模君氣樂了。「你在每個位置拉箱子都有一個力,這個力和底面還有一個夾角。我們假設車站到賓館近似為直線，車站的位置為a，賓館的位置為b，那麼你做的功就是在a到b上的定積分。」

「哦哦。」小明附和了兩聲，就沉沉的睡去了，因為他確實做了不少功。

第三天

大部隊早早地出發，去參觀青海湖。這時有一個年齡比較小的孩子問了一句：「哥哥姐姐們，你們知道青海湖有多大啊？」

「4500多平方千米。」一個學地質的學生脫口而出。

「好厲害！」小孩和幾個女生都發出了驚呼，這時一個戴眼鏡的男生又發問了：「那是你知道。我問你，隨便在地上畫一個湖的圖形，你會算它的面積嗎？」

「我會算，定積分！」小明搶著說道。

「定積分算的是曲邊梯形的面積，我這樣的圖形你怎麼算？」男生很快隨手畫了一個不是曲邊梯形的圖形。

「這個這個這個這個這個……」小明結巴了。好在這時，數模君走出來替小明解圍了。

「這個當然可以用定積分做，只是不是一般直角坐標系的定積分，而是極坐標系的定積分。」數模君耐心地解釋道，「我們建立一個極坐標系，極點就是這個紅色的點，極軸就是極點向右的這條射線。這樣這個圖形與原點連線和極軸的夾角範圍就是,而每個角度對應的圖形上的點到極點的距離就是……」

「我知道了！」小明做出一副恍然大悟的樣子，「開始的角度是0，結束的角度是,所以這個面積就是在這個區間上的定積分，對不對？」

「對你大爺。」一個瘦高的男生走了出來，「這是利用極坐標計算面積，要對在整個角度範圍內積分才行。」

「soga」小明為自己又長了姿勢而高興。

第四天

旅行結束了，五一假期也結束了。回來的路上，小明問數模君：「定積分確實不止可以算面積，它好像還可以干很多事。可是它到底能解決什麼問題呢？」

數模君想了一下說：「你記著定積分的定義是什麼嗎？」「曲邊梯形的面積……啊不是。老師好像說了個四部曲：分割、取點、求和和取極限。」

「對，定積分就是無限細分和無限求和。把區間等分為n份，認為每一個小區間都是不變的，這樣每一個區間內的面積就可以看成一個矩形了。用矩形的面積和來近似曲邊梯形，再讓最大區間長度的極限為0，就可以準確地計算面積了。」

「說來說去還是算面積啊？」小明扣著鼻子問。

「這是從函數圖像上說的面積，但事實未必是面積。比如說你畫一個速度和時間的圖像，那麼所謂的面積就是路程；你畫一個力和位置的圖像，如果力和運動方向一致的話，面積就是做的功；你畫一個線密度和位置的圖像，面積就是質量……」

「好厲害啊！可是如何知道定積分表達的意義呢？」讚歎之餘，小明又拋出了一個問題。

「剛才說的又忘了。」數模君無奈地說，「定積分其實就是無限細分和無限求和，它求的還是一個乘積。比如說初中時候學的，勻速直線運動的路程等於時間乘速度，那麼速度與時間的函數對時間做積分，本質上是把時間分成非常多的區間，認為每一段上都是勻速直線運動，然後套公式，最後把每一段的路程加起來。其他你能想到的乘積有關的公式，定積分都有類似的意義。」

「我懂了！」小明的思路也打開了，「比如說我喜歡小芳。我每時每刻對她的好如果用一個函數表示，那麼我喜歡她以來對她的好的總和就是這個函數在這段時間上的定積分，對吧？」

「對。」雖然對這個例子有些無語，但是數模君還是點了點頭。

「還有我被胖虎打，他對我的傷害和時間的關係用一個函數表示，那麼他對我的傷害就是這個函數在打我的時候的定積分……」

「停停停！」數模君怕他舉出更奇葩的例子，趕緊轉移話題：「你好像知道二重積分可以算體積，那我問你三重積分算啥？」「算質量啊！」「哦？那為啥二重積分不能算質量？」

「也可以算，」小明說，「如果你把函數值看成高度，就是面積；看成面密度，就是質量。」

「挺聰明啊，你都回答倆問題了！」數模君贊道，「可是三重積分就只能看成密度，不能看成高度嗎？」「別逗了，空間滿共三維，到哪還有個高度？」

「2333333」數模君笑慘了，「三維是我們生存的空間，對於數學來說，幾維空間都是可以的，三重積分完全可以得到一個『四維體』的體積。」

「原來如此。」小明瞪大了眼睛。「看來積分很厲害啊，數學也很奇妙。」

「是啊，」數模君開始總結了，「數學是抽象的，不受我們所在空間的局限。而積分的意義無論是在工程實踐還是在純數學領域都有非常大的作用，要講的話三天三夜也講不了十分之一。總之你只要知道，積分的意義遠遠遠遠遠遠遠不止算面積那麼簡單就是了。你跟我說了我可以耐心地跟你講，你要放到知乎上去問估計會被鄙視的。」

「是是是，我知道了。」小明趕緊說。

via：王希（知乎）

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