什麼是波？

科技 06-09

什麼是波？

編者按

不同材料的不同性質從何而來？我們知道材料的內部運動和形變對應於廣義的波。由於每種材料有不同的內部結構，這些波可以滿足不同的波動方程。而不同的波動方程就是材料不同性質的起源。凝聚態物理學家尋找打造具備各種各樣不同性質的材料，其本質上就是在尋找打造各種各樣不同的波動方程。而不同的波動方程，則起源於材料中不同的內部結構（這些內部結構，有個學名叫做序）。所以說凝聚態物理學家是波的工程師。

真空中也有各種各樣的波，滿足不同的波動方程。比如滿足麥克斯韋方程的光波，和滿足狄拉克方程的電子波。由於量子力學的波粒等同，真空中的波又對應於我們所謂的基本粒子。所以說，真空中波的起源對應於基本粒子的起源，也就是對應於物質的起源。那麼是不是和通常的材料一樣，真空中的波也是起源於真空中的內部結構（也就是真空中的序）？那麼真空到底是由什麼構成的？其中什麼樣的序可以給出麥克斯韋方程和狄拉克方程？找到這樣的序就相當於找到了光和電子的起源。這些都是近代理論物理的前沿問題。

——文小剛

曹則賢（中國科學院物理所研究員，博士生導師）

1 引子

宋朝王安石作《字說》，謂「坡者，土之皮也」，蘇東坡以「滑者，水之骨乎？」相譏。2007年夏在威海灘頭，某與同事們提起這樁機鋒，當時我的同事竇碩星研究員在場，忽大呼，曰：「曹，『滑是水中骨』是有道理的。」彼時我們都赤腳站在水下長著青苔的礁石上，頓悟古人造字之科學。滑，發生在液固界面上，果然『乃水中骨也！』參照『坡』字和『滑』字，容易理解『波者，水之皮也』。

地球與其它已知星球之最大區別在於地球的表面上存在大量的水。水是生命發生的前提，自然也是物理學發生的前提。水給物理學打上了深深的特徵烙印，波(wave)、漲落(fluctuation)、鏡像(mirror image)、渦旋(vortex)等關鍵物理學概念都來自於水。水表面處的分子密度大於體內，其表面張力在20℃時~72.75 mN/m，可以說水有一張彈性適中的皮，極易表現出水面的波動(圖1)。因此，水波也就成為了一個人類也許在有文明之前就爛熟於胸的概念。水波隨處可見，深入人心，也就深入了物理學！

圖1. 水面上的水黽。水皮可以輕易地托起水黽；水黽雖小，其運動也能造成可觀的水面波動。

在物理學中，取決於具體的語境，波被用來表示一種運動的形式，也被當作存在的形式，甚至有時不過只是一個空洞抽象的數學表達式。在機械波、電磁波（光波）、物質波（量子力學波函數）以及引力波這些概念中出現的波，以及在傅里葉分析和信號探測理論與實踐中也許是隱性地提及的波，可能多有可檢討的內容。認真分析一下這些波的含義，其所依託概念的來源，其所由來的原初約束與限制，以及其下所依賴的數學，也許可以為對相應的物理學的深刻理解有些許的幫助。

2 機械振動與機械波

固體經歷微小形變時，形變與應力成正比，此即為胡克定律，泰勒展開保證了這個公式的普適性。考察彈簧上一質量為m的振子的振動問題，引入，則振子的運動方程為

， (1)

此方程解的形式為

，(2)

這是一個單變數的三角函數。這即是說，振動在數學上被表示為位置關於時間的三角函數。與此同時，勻速圓周運動可表示為參數方程

， (3)

可見勻速轉動在任一方向上的投影是(2)式表述的簡單振動。這說明，振動和轉動實質上有某種一致性。振動與轉動之間的轉換是工業文明的基礎。一個顯見的例子是，縫紉機上踏板的來回振動會轉化為傳動輪的轉動，傳動輪的轉動又轉化為縫紉針的上下振動(圖2)。若作簡諧振動(harmonic oscillation)的振子再疊加上勻速直線運動，定點振動將轉化為振動，則會留下周期性、波浪形的空間圖案（圖2）。織毛衣的和用掃描隧道顯微鏡的都熟悉這個情景。

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圖2. (上) 縫紉機展現系列的振動-轉動-振動轉變；（下）作為定點振動和勻速直線運動疊加結果的空間振動圖案。

如果振動的物體有足夠大的外延，比如一根弦，其上各點的振動之間則可能會是以某種方式耦合的。一根取向沿x方向的弦的運動方程，在小振幅近似下，為

，(4)

其中是弦的質量密度，T是弦(因沿x方向被緊繃引起)的張力，x∈[0,L]，L是弦長。方程(4)可改寫為

。 (5)

方程(5)形式的關於時間-空間變數的二階微分方程是所謂的經典波動方程。注意，空間變數可以是多維的。對於一維情形，方程(5)的通解為

(6)

人們把其中形式如

(7a)

(7b)

的稱為行波解，其中的 k,ω, 滿足，反映的是振動的長度周期和時間周期（一維情形下，k,ω就是兩個數）。注意，弦上的每一點都在與弦垂直的平面內某個方向上振動，所謂的波速v反映的是點振動之間的關聯(圖3)。實際上，人們也願意把k, ω看作是實在的物理量，ω是頻率，k是波矢。波矢，表徵波傳播的方向，但實際上它是個切空間里的概念。在三維空間中定義的形如的函數，被稱為平面波，意思是波前(wave front)為與方向垂直的整個平面。平面波展開是常用的計算方法，其合理性和有效性基於傅立葉分析。

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圖3. 弦的一維振動。

(5)式的波動方程和類似 (7)式中的表示波的函數，都被當作經典物理中談論波的基礎，甚至成了波的化身，但其實它們遠遠不足以反映機械波的複雜性。比如，1834年英國人John Scott Russell發現水渠中行駛的船頭總有一個高高的浪頭。此現象涉及的淺水波概念被稱為孤立波(soliton, 見圖4)。此情景中，水面的運動滿足KdV 方程

， (8)

其解的形式為

.(9)

此解與(7)式中的解有相同的本質，是 x-vt 形式的變數的三角函數（雙曲函數是虛變數的三角函數）。這反映的是人們數學水平的局限，而非自然現象必然嚴格如此。水面上魚兒隨便打個水花，那波動就不是用三角函數能描述的。

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圖4. 水渠中行駛的船頭會出現孤立波。

注意，這裡得到的波動方程都是小振幅近似下的結果。這樣的波動方程是線性的，因此其解是可以線性疊加的，這是我們在解類似問題可以使用複函數的原因—通過線性疊加總可以使得最後的振動表示是實的。

3 光的波動說

光充滿宇宙。牛頓認為光是由顆粒(corpuscle)組成的，筆者猜測這可能是來自同雨絲的類比。光線與雨絲一起從夏日的烏雲處一起落下，都給人以ray (射線)的印象。雨絲里有一個個的小雨滴，那光線也可能是由分立的顆粒組成的，只是顆粒個頭太小不易分辨而已。荷蘭的惠更斯比較水波的形象和燭光搖曳的影子，認為光應該是水波那樣的波，此為光的波動說(圖5)。光之波動說的確立有兩個關鍵證據。1801年英國人托馬斯·楊參照水波干涉(圖6)所做的光雙縫干涉實驗，得到了如同波浪高低起伏的明暗相間條紋（圖7）。1815年法國人菲涅爾從惠更斯原理，即波前上的每一點都可以作為次級波源，出發，對楊的實驗結果給出了計算上的證實。菲涅爾的計算還預言，在光路上的圓形小物體，其所造成的陰影中心是亮的。該預言於1817年被實驗觀察證實。

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圖5. 石子在池塘水面引起的水波和搖曳的燭光（影）

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圖6. 自兩個中心發出的水波的干涉

對雙縫干涉實驗的所謂計算解釋，其關鍵詞就是三角函數之和。對函數求模平方，可得周期函數，干涉條紋的明暗相間就是用這個函數解釋的。當然了，對這個公式不可過於當真，即便計入狹縫的衍射效應所得到的強度分布公式也不能嚴格擬合實驗得到的強度分布，而所謂的干涉花樣強度分布的實驗測量，本身就是個有趣的、困難的話題。

圖7. 用現代儀器得到的雙縫干涉條紋

不管怎樣，光的波動說建立起來了。基於波的概念，或者說基於三角函數表示的振蕩及一些其它信念，許多光的現象可以被解釋得相當令人滿意。此時的光是一種波，是某種物質的振動(vibration)。

4 麥克斯韋方程組與電磁波

在1861-1862年間，英國人麥克斯韋在總結前人電磁學研究的基礎上，得到了一組方程

(10)

其中第四個方程中的項被稱為位移電流，是麥克斯韋添加上去的[1]。1865年，麥克斯韋得到了關於電磁場的波動方程

(11)

其中的波速具有和當時測得的光速大抵相近的值。這自然導致兩個具有重要物理意義的問題：

1) 電磁場可以是波?

2) 電磁波的波速等於光速？如果是，這意味著光是電磁波？[2]

記住，對於此時的麥克斯韋，方程(11)描述的電磁波依然是個機械的概念。

1887年，德國人赫茲用圖8所示的裝置在電路旁邊的用一根導線連著的兩個鋅球之間引起了電火花，這說明電磁場從線路中溢出來了。這個實驗被看作是第一次產生了電磁波，不過也許同樣重要的是，它第一次讓人們注意到了光電效應。既然實驗產生了電磁波，且速度就是光速，且還存在大量的光-電和電-光效應，認為光是電磁波就是水到渠成的了。

所謂的用電路產生電磁波，電磁波是由電子經加速後向外輻射的。向空間輻射不同花樣的電磁波，要求設計不同樣式的發射天線；當然出於接收電磁波和探測電磁波源的考慮，人們也設計了各色各樣的接收天線(圖9)。實際上，天線設計本身就是一門複雜的學問。確立電磁波的來源，從來都不是一個簡單的問題。

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圖8. 赫茲產生電磁波所用電路的示意圖。

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圖9. 雷達天線之一種。探測我們非常熟悉的電磁波從來都不是一件簡單的事情。

尋找光，現在是電磁波了，之振動實體或曰介質的過程是物理學史上的重大敘事。Michelson-Morley 實驗的無結果表明，沒有地球對光以太的相對運動。此實驗被當作否定光以太存在的證據。今天的觀點是，電磁波是場，它本身就是存在，它憑藉自身向遠處傳播。

5 光的粒子說、物質波與量子力學波函數

1900年，普朗克從熵概念出發成功擬合了黑體輻射的實驗曲線，其後順著玻爾茲曼的統計物理思路也得到了該擬合曲線。後一條思路用到了一個重要的前提，即頻率為的光，其基本能量單位是。這是1877年玻爾茲曼假設的再現。 1905年，愛因斯坦往前更進了一步，他假設如果頻率為的光之能量是被固體按照一份一份地吸收的，則光電效應的系列實驗結果就能得到完滿的解釋。此外，康普頓研究了電子對X-射線的散射，確立了光的能量量子子還對應明確的動量h/λ。到此，原先比照水波概念的光波，有理由被當作粒子(particle)了。注意，此時光是粒子（particle）的觀念同牛頓的光微粒說還是有些區別的：比如，它有明確的頻率或者波長的概念，其能量和動量則分別是固定的和h/λ。常數h被稱為普朗克常數。

光是波還是粒子的觀念激發了法國人德布羅意的靈感：如果光即是（水）波又是粒子，那麼作為粒子的電子是否也是波，或者說也會表現出波的行為？1924年，德布羅意提出了物質波的概念：電子這樣的粒子也是波，相應的波長和頻率由粒子的能量E和動量 p給出

(12)

1927年美國人Davidsson 和Germer用電子束照射到鎳晶體上，獲得了如同X-射線晶體衍射那樣的花樣(圖10)，算是首次驗證了電子的波動性。

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圖10. 早期的電子束晶體衍射實驗裝置。此裝置能得到的不過是電子束強度隨θ角的點狀分布。

德布羅意的物質波概念隨著他的博士論文被送到了德國和瑞士。據說愛因斯坦對物質波的概念非常欣賞。勞厄認為關於物質波總該有個波動方程，薛定諤接受了為物質波構造方程的挑戰並在1926年分四部分發表了題為《作為本徵值問題的量子力學》的論文，提出了量子力學的波動方程

(13)

其中，算符是系統的哈密頓量，而函數是粒子的波函數。波函數是關於時空的複函數，其模平方為粒子在空間某處出現的幾率密度——如果這波函數可以歸一的話。

粒子是波或者會表現出波動行為的想法，結果導致了量子力學以及波函數的概念。根據量子力學，粒子的所有物理信息都被包含在描述其狀態的波函數中了。考察如下的一維諧振子的波函數

(14)

雖然仍可見類似那樣的因子，但卻沒有這樣的因子了。這一點也不妨礙我們把(14)式中的函數稱為波函數。量子力學帶來了物理學的革命，也徹底改變了人類社會，至於其波函數中不（必然）含有這樣的描述波動的因子，那有什麼關係。波函數到底是什麼，重要嗎？嗯......，不重要嗎？

與對應(7)式那樣的經典平面波表示相比，量子力學平面波函數具有更多的內容，其中t是作為參數的時間，E是體系的能量，對應哈密頓算符；而是位置算符，是動量算符，兩者還要滿足量子化條件，h是普朗克常數，是量子力學的標籤。

量子力學帶來更多的認識。考察一維自由粒子，其哈密頓量為

(15)

相應的定態薛定諤方程為

(16)

滿足波函數要求的形式解為cos(nx)，sin(nx)，x∈(x,x+2π)。根據量子力學（的數學），此處的哈密頓量是一個自伴隨算符，其所有本徵函數構成了一個完備正交基，即是說對於任何定義在(0, 2π)上的函數 f(x)，有

(17)

這分明是傅里葉級數展開[3]。

6 傅立葉分析

傅里葉級數是法國人傅里葉在研究傳熱問題時得到的。(17)式形式的展開威力巨大，連鋸齒狀的或者平台狀的嚴重非光滑函數都可以根據(17)式展開成光滑的三角函數的級數——這個不可思議的特點最是它令人難以接受的地方(圖11)。進一步地，對於時間的函數s(t)，一般有傅里葉變換

(18)

注意，此處與時間共軛的頻率變數也是連續的。

有了傅里葉分析，一般的時空變數的函數 f(x,t) 都能表示為形式的函數對k,ω的求和或者積分。一條毫無變化的水平線經過傅里葉分析，如果只看其有限的傅里葉展開項，也能被當成波，如果波指的是形式的三角函數的話。在分析實踐中，某個時空函數f(x,t)在固定點上表現為時間序列f(x,t)，它可以按照(18)式被分析為是由具有某頻率譜的波疊加而成的。探測到一個時間序列，將之解釋為對波的探測，除了會作傅里葉分析的功夫，還要有其它的輔助性信念。

傅里葉分析容易讓人想起托勒密的epicycle-on-deferent 理論，漢譯本輪-均輪理論。圓周運動上疊加圓周運動是很容易得到各種可能不是很光滑的圖形的，包括稜角分明的三角形——這是數學的威力(圖11)。

圖11. 用三角函數級數可以得到差不多你能想到的任何函數。

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7 相對論與引力波析

在牛頓力學中，在引力質量Mg的引力場中運動的質點（慣性質量為mi，引力質量為mg）, 其運動方程為

(19a)

在伽利略變換，下, 此方程形式不變。與此同時，電磁學的波動方程(11)則是在洛倫茲變換[4]

(20)

下保持形式不變；或者說，變換(20)保持（光的）時空距離函數

(21)

不變。此為狹義相對論。顯然，經典電磁學和引力的方程遵從不同的變換規律，這表明物理學內部尚不協調。愛因斯坦決定把狹義相對論也應用於引力問題，為此要把狹義相對論加以推廣（generalized）。廣義相對論建立在兩個等價原理上。所謂的引力質量與慣性質量等價，是說方程(19a)可以約化為

(19b)

這裡方程的左邊是一個運動質點的加速度，右邊則是該質點遭遇的引力場。加上所謂的引力與加速度之間的等價性(即式(19b)可以移項)，而加速度可以從運動軌跡的曲率中得到，因此關於引力的描述就轉化成了關於彎曲時空中路徑之曲率的表述。

愛因斯坦根據以上考慮，從弱靜引力場出發，於1915年構造出了他的引力場方程

(22)

其中是時空的度規，是由得到的Ricci張量，T 動量-能量張量。方程(22)於 1916年正式發表，目前只有Schwarzschild解和Kerr解這兩個嚴格解，這可能是因為方程(22)要滿足微分同胚協變性，使用的是高度非線性的absolute differential calculus(絕對微分)語言(圖12)。與高度非線性的方程(22)相比，經典波動方程和量子力學的薛定諤方程，甚至狄拉克方程，可都是線性的，那裡得到的波，或者說(虛)變數x-vt的三角函數，作為方程的解，還是容易的。

圖12. 愛因斯坦在蘇黎世時期學習張量的筆記

對方程(22)作弱場近似，即考察遠離大質量分布的幾乎平坦的區域，將其度規寫成的形式，其中是平直時空(閔可夫斯基時空)的度規，得到近似方程

(23)

附加的規範條件為（橫波，跡為零）。顯然，（23）和方程(11)具有完全相同的形式，描述的是速度為c的橫波。此即為引力波[5]方程，此波振蕩的主體是張量[6]。或許如同量子力學波函數ψ，也是一個需要詮釋但未被正確詮釋的量。注意，所謂的引力波具有光速的說法，幾乎不具有任何特別的物理意義。愛因斯坦在構造廣義相對論時，本來就是在推廣狹義相對論，要求彎曲時空的局部滿足洛倫茲變換，因此這個參數c是從一開始被加進去的。如果真有什麼獨立的、無心插柳式的實驗，能得到與光速誤差在一兩個數量級內的時空度規振蕩的相速度或群速度，那才真是對廣義相對論的強力支持。

8 結語

本文檢討了自經典力學的機械波到廣義相對論的引力波的諸多波概念。一個事實是，在各種不同語境中出現的波概念，其關切的物理量所涉及的物理現實與數學結構，後者還包括具體方程的形式和波的函數表達，還是有許多或細微或深刻的區別的。在物理學中，波既被當作運動的形式，也被當作存在自身的形式，其實本質上也不過是一個在我們有限的數學知識內容易掌握的工具形式。在真實的物理世界中，一根金屬絲除了會象三角函數那樣來回伸縮，它還會永久變形甚至斷裂；水面上除了有貝塞爾函數那樣的圈狀波紋以及用雙曲函數描述的孤立波，也有能打翻大船的湍流；電磁場除了會優雅地振蕩著飛越真空，它還真能擊穿空氣產生閃電…… 物理的現實，不局限於形式簡單的數學解。

注釋

[1] 位移電流概念的引入，是麥克斯韋的神來之筆。但是，那又不僅僅只是神來之筆。

[2] 難免有此一問。那時候沒有其它的任何速度可以同光速相比較，哪怕是到達其千分之一的水平。

[3] 我總覺得數學課本里的傅里葉分析表示

有點問題。雖然為零，但它在物理上也代表函數空間的一個維度，省略不得。

[4] 此變換是1887年由德國人Woldemar Voigt首先得到的。

[5] Gravitational wave. 請不要同gravity wave 弄混了，gravity wave 是水波。

[6] 物理學家可以象數學家那樣隨意做個減法嗎？這個減法的物理意義是什麼？

此文簡版發表於《物理》45(5), 281-286(2016).

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