偏微分方程：宇宙客觀真理的化身

科技 07-23

作者葉高翔(浙江大學理學院物理系教授、博士生導師，浙江科技學院校長)

一般而言，人類的科學事業大致可分為兩個階段：第一階段是從公元前3000年至公元16世紀，我們把它稱為經驗科學階段；第二階段是從16世紀至今，科學發展進入了一個突飛猛進的階段，我們稱之為精確科學階段。

缺乏精確性的經驗科學

在經驗科學階段，人類的科學事業處於初級發展時期，科學發展主要依靠人的「經驗」。經驗從實踐中來，一般以定性為特徵，很少採用精確數字描述，基本不用數學，至多採用初等數學。經驗科學的一般範式可歸納如下:

因為前人操作A過程得到B結果，所以後人也可以操作A過程得到B結果，並且A過程和B結果均為定性或半定量描述，帶有主觀痕迹。

在經驗科學階段，人類在陶瓷、冶煉、火藥、造紙、古代醫術、幾何光學、靜磁學、靜電學、天文學、聲學等方面取得了許多重大突破。

在古代中國，中醫學的發展帶有鮮明的經驗科學特徵，例如戰國時期成編的《黃帝內經》、明朝時期成書的《本草綱目》等均為典型的經驗科學論著。中醫的明顯療效使人們確信此類經驗方法的有效性，並在過去幾千年的歷史長河中不斷發展和傳承。

人們到中草藥行抓藥，只見藥劑師憑藉手感，將幾兩或幾錢的某種草藥分成數堆;煎熬中草藥時，病人被告知要「溫度適中」或「文火煎藥」，但沒有被告知具體的溫度和升溫降溫曲線。中醫學用草藥治病，但不必知道草藥中的具體化學成分。當年，李時珍知道「用青蒿一把，加水二升，搗汁服」可以治療瘧疾寒熱，但他並不知道草本植物青蒿內的化學成分青蒿素的分子式及其精確含量。當老中醫將手中的狗皮膏藥放在明火上烘烤後貼在病人患處時，他並不知道此時那張狗皮膏藥的實際溫度，也不知道葯分子向皮膚內擴散的速度和濃度衰減曲線。

從精確科學的角度來看，中國古代發明的狗皮膏藥對關節炎等疾病的治療原理是現代物理學中「原子分子擴散原理」的最早應用，而擴散原理偏微分方程

(1)

的建立和精確求解則是在牛頓和萊布尼茨發明微積分理論之後完成的。

經驗科學以定性的「經驗」為基礎，直接導致以下三個問題：

(1)由於定性的「經驗」往往帶有一定的主觀性，因此以經驗為基礎的推理或判斷失誤概率較大，容易導致錯誤的結果。

例如，炎炎夏日，當我們經太陽暴晒後，來到樹蔭底下時，即刻感到涼快;但當我們從空調房間出來，來到同樣的樹蔭底下時，卻會感到很熱。這是因為人對溫度的感知不僅取決於其絕對值的大小，還要受溫度正負變化量的影響。

(2)定性的「經驗」導致精確重複實驗的難度很大，「經驗」和相關技術的傳承成為難題，導致大量優秀技術失傳。

例如，在陶瓷的燒制過程中，如果僅憑肉眼觀察爐火顏色來判斷爐溫，對整個燒制過程中的升溫、保溫和降溫只憑經驗控制，那麼，即使偶爾獲得少量精美的陶器、瓷器，也很難再次精確重複，所獲產品的成品率不高，其質量的重複性和一致性也相對較低。

(3)在經驗科學階段，定性歸納推理成為主要的推理範式。由於沒有採用精確的高等數學進行抽象概括和演繹推理，因此要揭示本質性的自然規律幾乎沒有可能。

蘊藏真理化身的精確科學

16世紀以後，人類對自然規律的揭示向縱深發展，精確科學研究範式逐漸成形。據說在1590年，義大利物理學家伽利略曾在比薩斜塔上做自由落體實驗，將兩個大小不同的鐵球從塔頂相同高度同時扔下，結果兩個鐵球同時著地，由此發現了自由落體運動的規律。此外，伽利略還發現了經典力學中的相對性原理、慣性定律和運動合成原理，發明瞭望遠鏡、溫度計，證明了「日心說」、太陽自轉等。尤其是他把數學方法與實驗測量相結合，將理論與實驗相互映證，開創了現代精確科學的研究範式：

(a) 精確實驗，總結實驗規律；

(b) 提出假說，定量解釋實驗規律；

(d) 對推論或預言進行客觀、精確定量、任意可重複的實驗檢驗；

(e) 修改理論及假說；

(f) 實驗檢驗假說和理論；

. . . . .

上述精確科學研究範式由伽利略率先倡導，後人不斷完善而成，故也被稱為「伽利略科學研究範式」，它是現代一切自然科學的一般研究範式。該範式要求對實驗和理論進行客觀、精確定量、任意可重複地循環對比、修正和提高，從而不斷提升理論與實驗的精確程度和符合程度，最終揭示宇宙客觀規律(真理)。

客觀、精確定量、任意可重複

對精確科學研究範式而言，「客觀」是指科學實驗結果的客觀性，即只要實驗條件嚴格一致，實驗結果便唯一確定，與實驗操作者、實驗進行的時間或地點等均沒有關係;「精確定量」要求科學實驗必需用數字、函數或微分方程精確定量描述和演繹;「任意可重複」是指科學家在時間、體力、腦力、資金、儀器設備等允許的範圍內，可任意次重複實驗過程。請注意，這裡並沒有要求無限次可重複。

從「可重複」上升至「任意可重複」，不僅代表實驗重複次數的提升，更規定科學對實驗重複次數的選取法則;從「無限可重複」下降至「任意可重複」，表明科學實驗重複次數的有限性和相對性，體現了科學的真實意義所在，也告知了科學的局限性。

現代文明創造了一個又一個精確科學的奇蹟，如太空飛船與處於某軌道上的太空實驗室對接、高超音速導彈攔截、超大規模集成電路製備、原子分子操作、轉基因技術等。

在上述精確科學研究範式中，有一個過程十分苛刻：利用數學演繹和邏輯推理獲得推論或預言，並與更精確的實驗進行客觀、精確定量、任意可重複的反覆驗證。換言之，精確科學不僅要求實驗測量越來越精確，而且要求理論越來越能夠精確描述、計算、演繹並預測實驗規律，揭示實驗現象背後的深層宇宙規律。

16世紀以後，以微積分為代表的現代高等數學開始誕生並不斷發展，為精確科學的發展提供了強有力的支持。可以說，幾百年來，精確科學緊緊伴隨著高等數學的發展而發展。

愛因斯坦的相對論是精確科學的理論典範，其中採用的現代高等數學包括微積分、線性代數、張量分析、群論、拓撲學、微分幾何等，其所得結論的精確度令世人讚嘆不已!迄今為止，諸如「引力紅移」、「光線彎曲」等已得到極高精確實驗的驗證。此外，還有其它諸多精確的理論預言，如引力子等，由於精確度太高，實驗難度極大，迄今尚未得到實驗的直接驗證。

偏微分方程：宇宙客觀真理的化身

圖1、圖2 屹立在德國烏耳姆城中的愛因斯坦誕生紀念碑。碑文：1879年3月14日，阿爾伯特·愛因斯坦誕生於此地的房屋。

人們不禁要問：為什麼要花費如此大的代價，任意可重複地進行精確的實驗並與精確的理論循環驗證呢？事實上，精確的實驗測量數據與嚴密邏輯的高等數學演繹，兩者將實驗與理論進行客觀、精確定量、任意可重複地循環驗證;而實驗數據測量越精確，重複次數越任意，與高等數學精確演繹結果越吻合，越能揭示本質性宇宙客觀規律，由此建立的科學理論也越逼近宇宙客觀真理。

精確定量的極限

精確是相對的，不精確是絕對的。所謂精確，是一個相對的概念，並具有鮮明的時代特徵。

數學是精確的，它可無限逼近絕對精確值，然而，當採用數學這一工具(包括大型計算機)計算實際科學問題時，必需建立簡化模型，進行近似計算，不可能絕對精確。邏輯學是嚴密的，它可讓邏輯漏洞趨向於零，然而，當我們將邏輯學原理應用於實際科學問題時，邏輯漏洞不可避免。

由於受儀器設備精確度極限、周圍環境變化、人為因素等影響，人類所進行的一切實際科學實驗均存在誤差，從來沒有絕對精確而無誤差的科學實驗。科學的任務並不是消除誤差，而是減小誤差，將誤差減小至實際應用的允許範圍之內。現在如此，將來也必然如此。當然，隨著人類文明的不斷進步，各種實際應用所允許的誤差範圍也必將越來越小。因此，物理學、化學、材料科學、地球科學、生命科學等自然科學必然是近似的，是相對真理。

20世紀20年代，量子力學誕生，其中的「海森堡不確定原理」告訴我們：對於某一微觀粒子，假如其坐標為x，動量為p，能量為E，壽命為t,它們的不確定範圍分別為x，p，E和t，則滿足不確定關係

x·p ≥ h

t·E ≥ h ,

(2)

其中h為普朗克常數。上式的文字表達如下：微觀粒子的坐標和動量不可能同時被確定；微觀粒子的能量和壽命不可能同時被確定。兩個不確定量的乘積要大於一個常數，我們永遠無法讓其中某一個量的不確定範圍等於零。由於上式中的能量和動量均具有不確定範圍，所以在此精確度之下，能量和動量均是不守恆的。當然，由於h值很小，因此這個所謂的「不確定性」是很小的，但它是客觀存在的，我們無法通過提高儀器測量的精確度或提高觀察者的素質加以克服。由此我們看到，在不斷精確認識客觀世界的道路上，人類第一次觸及到了宇宙的一個極限，一個不可逾越的極限!

20世紀70年代建立的非線性科學理論告知我們：線性是相對的，而非線性則是絕對的。非線性效應可導致結果對原因微小變化的極其敏感性，其敏感程度是目前任何辦法(包括高靈敏探測器、超大型高速計算機等)都無法精確預測的。

現代人類終於明白了：生活於天地之間的我們，並不可以「為所欲為」，我們對宇宙客觀規律及真理的描述和揭示，其精確度是有極限的。「精確科學」中所謂的「精確」是相對的，由此獲得的「宇宙客觀真理」也是相對真理。

宇宙客觀真理的化身

隨著精確科學的不斷發展，一個又一個宇宙客觀真理相繼被揭示。人們發現，在實空間中，宇宙客觀真理一般由偏微分方程描述。

例如，宇宙中一切宏觀低速的機械運動均可由牛頓方程

(3)

描述。

經典電磁場運動規律由麥克斯韋方程組

(4)

描述，它揭示並統一了宏觀的電、磁、光的運動規律。

量子力學中的薛定諤方程是描述微觀、低速情況下物質運動普遍規律的二階線性偏微分方程，如下式所示：

(5)

其中Ψ為波函數，r為空間坐標向量，x、y、z為三維空間坐標，t為時間，m為微觀粒子的質量，V為勢能，虛數單位i =，約化普朗克常數焦耳·秒。薛定諤方程在量子力學中的地位如同牛頓方程在經典力學中的地位一樣。

圖3 維也納大學校園內的薛定諤雕像，碑文即著名的薛定諤方程。

類似的例子還有很多，如高能物理中描寫自旋為零的基本粒子(如π介子等)運動規律的克萊因-戈登方程為二階偏微分方程；描寫自旋為的基本粒子(如電子、中微子等)運動規律的狄拉克方程為一階偏微分方程;廣義相對論中描述空間物質能量、動量分布與空間彎曲關聯的愛因斯坦場方程為二階張量方程(其實它是一個二階非線性偏微分方程組)等。

此外，還有一些其它情況：

(a) 類似牛頓萬有引力定律，即兩個天體之間的吸引力與它們之間的距離平方成反比，與它們的質量乘積成正比，G為引力常數。)那樣的宇宙真理，僅僅是未知函數、變數和常量之間的函數關係式，不能算是偏微分方程。事實上，此類定律只是更精確理論的近似表述，例如牛頓萬有引力定律是廣義相對論中愛因斯坦場方程在特殊情況(距離較近、引力較弱和速度較慢)下的近似而已。

(b) 類似量子力學中德布羅意波粒二象性假說(，即微觀粒子的波長λ和動量p成反比，h為普朗克常數。)那樣的宇宙真理，似乎也不是微分方程。但事實上，它們是建立相關偏微分方程的基礎性假說，已被包含在相應的偏微分方程之中，例如上述薛定諤方程(5)式已將德布羅意波粒二象性假說包含其中。

綜上所述，精確描述宇宙客觀真理的是一個個不同類型的偏微分方程。根據不同的邊界條件，經過嚴格且巧妙的數學求解和演繹，便可獲得一個又一個科學推論，解決一個又一個科學問題，創造一個又一個人類文明的奇蹟。因此，這些偏微分方程當之無愧被譽為「宇宙客觀真理的化身」!

那麼，為什麼宇宙間最基本的客觀真理一般由如此簡潔的偏微分方程所描述呢?換言之，為什麼此類偏微分方程可以充當宇宙真理的化身呢?根據偏微分方程的諸多性質，其原因可回答如下：

(i)宇宙是不斷運動變化的;

(ii)宇宙中的常量、變數以及變化率之間是相互精確聯繫的;

(iii)宇宙客觀真理是簡潔、統一和玄妙的。

真理化身如何來到人間?

應該指出，作為宇宙客觀真理化身的諸多偏微分方程並不是被嚴格推導而來的，而是由科學巨人們逐個「建立」的。首先，這需要大量的前期理論和實驗準備，當新實驗結果與原理論發生矛盾並日益尖銳化時，原理論的缺陷和局限性不斷顯露。待時機成熟，極少數科學巨人根據他們獨特的哲學觀、敏銳創新的思維方式、紮實的理論功底以及豐富的科研經歷，使智慧「靈感」突然被觸發，從而提出革命性的科學假說，建立全新的偏微分方程。這些方程精確、簡潔且玄妙，如此「天機」乃宇宙主宰者「事先設定」，人類可揭示而不可更改。

應該承認，提出革命性的科學假說，建立全新的偏微分方程，的確帶有某些主觀「猜測」的成分。不過，科學巨人們對客觀真理玄妙、精確和深刻的揭示絕不是一般意義上的「猜測」。事實上，這種「猜測」帶有極其苛刻的前提條件，非天才不能為之。剖析一個個成功「建立」偏微分方程的事例，可以得出如下結論：

(1) 提出革命性的科學假說，建立全新的偏微分方程，是偉大科學家智慧「靈感」的具體表述，以當時的非理性思維為特徵;

(2) 智慧「靈感」的觸發需要紮實的專業基礎、完備的知識結構、豐富的科學研究經歷以及非凡的睿智與勇氣;

(3) 智慧「靈感」的觸發還與時代、學科、環境以及其它偶然因素等相關聯。

除了上述三個必要條件外，還需要科學家集中智力和體力，長期聚焦於某一科學難題，理清該難題的前因後果、問題關鍵、難點實質、相互關聯等問題。然後，經過長期深入的形象和抽象思維思考，在某些「偶然因素」的觸發下，科學家的智慧「靈感」突然閃現。觸發「靈感」的形式多樣，如在思想交流時、在比較及聯想時、在長期深入思索後，甚至在夢幻中等。

那麼，智慧「靈感」究竟是如何被觸發的呢?類似「天才之舉」、「超感官知覺」、「天人感應」、「神人下凡」等超力量解釋當然可以暫時滿足我們的好奇心，但事實上，智慧「靈感」的觸發與科學家的非凡睿智、思維方式、知識結構、長期頑強的探索及心理素質等因素有關。此外，智慧「靈感」的觸發源自心靈深處，與科學家大腦中的腦細胞、分子、原子、離子、電磁場等運動及相互作用玄妙關聯。遺憾的是，迄今為止，人類尚無法揭示觸發智慧「靈感」的真正微觀機理，或許永遠也不可能揭示!

參考文獻

[1] 葉高翔，科學思辨二十四則，商務印書館，2015.

此文是作者應《數學與人文》編輯部之約，在《科學思辨二十四則》一書(2015年商務印書館出版)部分內容的基礎上改寫而成。

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