「引力助推」和「三體」問題

科技 07-28

「引力助推」和「三體」問題

以經典力學中的「三體問題」為主要設定的科幻小說《三體》

導讀：

從萊特兄弟發明飛機飛上天空，到蘇聯發射第一顆人造地球衛星進入太空，不過短短數十年。如今，人類航天器已經飛向太陽系深處，去探索那些遙遠的神秘星球。然而，太空中沒有空氣，飛行器的飛行原理與飛機大不相同，那麼人類又是如何解決這些問題的呢？

撰文張天蓉（美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）

審校張雙南（中國科學院高能物理研究所研究員）

如果有人問你，人類飛向太空的第一阻力是什麼？大多數人會不約而同地回答：是引力。的確如此，人類實現飛天夢的最艱難歷程就是克服地球的引力。我們從中學物理中就學到了如何計算幾個宇宙速度，那是人類擺脫地球或太陽引力的束縛沖向太空的幾道門檻：如果達到第一宇宙速度（7.9km/s）能讓物體圍繞地球旋轉；如果達到第二宇宙速度（11.2km/s）便可以克服地球引力，繞著太陽轉；第三宇宙速度（16.7km/s）標誌著能夠擺脫太陽的引力羈跘。

「旅行者」計劃

「引力助推」和「三體」問題

圖1：「新視野號」和「旅行者號」

以上問題的答案也是：引力。也就是說，對人類發射的航天飛行器而言，引力有時是阻力，有時又可能成為「推力」，我們可以利用太陽系中各大行星與飛行器間的引力作用，來加速飛行器。換個通俗的說法，讓飛行器從高速運動的行星旁邊掠過，順便讓自己得到加速度，從行星身上「揩點油」！

這種方法叫做「引力助推」，航天技術中經常用來改變飛行器的軌道和速度，以此節省燃料、時間和成本，這種方法既可用於加速飛行器，也可用於在一定的情況下降低飛行器速度。

如圖1a中的紅色曲線所示，便是「旅行者2號」的速度在飛行過程中的變化情形。注意圖中的速度是相對於太陽系坐標而言，因而與我們提及的相對於地球坐標而言的「宇宙速度」值有所區別，其差值是地球的公轉速度，大約30km/s。紅色曲線上的四個尖峰分別代表該飛行器在經過土星、木星、天王星、海王星時因為「引力助推」而產生的速度變化。圖中也畫出2006年1月發射的「新視野號」的速度曲線（綠色），與「旅行者號」的速度曲線相比較，明顯地看出在四個行星附近，「引力助推」對「旅行者2號」的加速作用。圖1b則顯示了兩個「旅行者號」探測器的行程。

不過，引力助推的機會可遇不可求，要碰上一定的時機。1964年夏天，美國宇航局噴氣推進實驗室的Flandro，負責研究外太陽系行星任務。Flandro研究了木星、土星、天王星和海王星的運動規律，發現了一個176年才有一次的最好時機，那段時間（大約12年）以內，木星、土星、天王星和海王星都將位於太陽的同一側，運行至實現「引力助推」的理想地點，形成一個特別的行星幾何排陣。基於這點，專家們促使NASA啟動了「旅行者號」探測計劃。

1977年8月20日和9月5日，「旅行者2號」和「旅行者1號」從佛羅里達州的航天中心發射【注1】，這是兩個幾乎一模一樣的「雙胞胎姐妹」航天器，攜帶著鐫刻了人類的消息和錄音的金唱片，計算機的內存只有64KB（40年前的老古董電子設備，諸位可想而知是什麼模樣！）。「旅行者2號」，比她「姐姐」的速度稍慢一點，但她豐富多產，成果不菲，順利完成了造訪4顆外行星的任務。這對「姊妹花」都曾經探測過土衛六的地貌，雖然不很成功，但也為後來的探索提供了許多有用的信息。土衛六是土星最大的衛星，有可能存在生命！「旅行者2號」在旅途中經過四次「引力助推」，將原來需要40年完成的4顆行星探索任務，用10年左右的時間內就提前完成了！「旅行者1號」快速訪問了木星和土星後，繼續高速飛行，如今已經越過太陽風的日球層邊界，到達恆星際空間，成為了飛的最遠的人類使者。兩顆「旅行者號」雖然早已完成為預訂任務，卻並未「退休」，至今仍然每天向人類發回旅途日記。由於距離地球十分遙遠，以光速傳回的這些信息需要歷時17小時才能抵達地球。

引力助推原理

最早提出該想法的是蘇聯物理學家尤里?康德拉圖克。尤里於1897年生於烏克蘭，是航天工程的先驅和理論家，曾被蘇聯政府流放和監禁，但在艱難的環境下鑽研航天理論。後來，第二次世界大戰中，尤里自願入伍加入蘇聯紅軍，並於1943年在戰爭中陣亡。

「引力助推」和「三體」問題

圖2：理解引力助推（或稱重力彈弓）原理的直觀圖

儘管精確地計算飛行器的引力助推過程需要複雜的數學，但其物理原理卻可以用圖2中的例子，簡單地使用動量守恆定律來直觀解釋。引力助推也被稱為「重力彈弓」，因為它與彈性碰撞頗為類似。它利用飛船與行星及太陽之間的萬有引力，使行星與飛船交換軌道能量，像彈弓一樣把飛船拋出去。如圖2右圖所示，想像將一個籃球投向一列對面疾駛而來的火車。設籃球速度為V1=30mph，火車速度U=50mph，方向相反。最後結果如何？鑒於火車的質量比籃球大很多，籃球的質量可忽略不計，得到的結論是：碰撞後，籃球從火車那兒「撈了一把」，將以V2=V1+2U=130mph的速度向後方（火車的前方）飛去。火車因為質量大，速度幾乎不變，仍然以原來的速度U照常行駛。人類發射到土星軌道附近的飛船與土星相遇時的情形便與剛才描述的「籃球撞火車」情形十分類似，只是飛船與土星並未直接接觸，而是像圖2左圖所示的那樣繞行過去，引力在其中扮演著重要的角色。兩者的物理原理雖然不同，但最後效果卻是類似的：飛船得到了兩倍土星速度的速度增值。

「引力助推」和「三體」問題

圖3：研究引力助推的邁克爾

引力助推想法早已被前蘇聯物理學家提出，據說蘇聯月球3號曾應用此技術繞到月球背面拍照。但真正深入研究這項技術的是美國數學家邁克爾（見圖3）【注3】。

上世紀60年代初，邁克爾還只是加州大學洛杉磯分校的一名研究生，他因為研究「三體問題」而得到了使用當時運算速度最快的計算機的機會，在模擬「三體問題」的過程中，他發現，一艘飛船飛經繞日的行星，可以在不使用任何火箭燃料的情況下竊取行星的一點兒軌道速度，加速離開太陽，邁克爾由此而認識到重力彈弓對加速航天器的巨大潛力，並說服NASA將此思想運用於實踐。

三體問題和拉格朗日點

三體問題的歷史悠久，還得從牛頓時代說起。

牛頓創建了微積分和萬有引力定律之後，將它們用於研究天體運動問題。他用數學方法嚴格地證明了開普勒三大定律，使二體問題得到徹底的解決。所謂二體問題，只考慮兩個具有質量m1和m2的質點之間的相互作用（通常是考慮萬有引力）時，研究它們的運動情況。也就是說，像地球的自轉、形狀等等，我們是統統不考慮的。二體問題數學上可以歸結為求解如下的微分方程：

公式中的F12和F21是兩個質量之間的作用力，在天體運動情況下是萬有引力，在微觀世界中可以是其它的力，比如電磁作用之類的。不過我們以後在談及二體、三體或N體問題時，只考慮萬有引力。牛頓時代就已經得到了上述二體問題微分方程的精確解，凡是學過中學物理的人都知道，這時的兩個質點在一個平面上繞著共同質心作圓錐曲線運動，軌道可以是圓、橢圓、拋物線或者雙曲線。不過，在大多數實用情況下，人們通常感興趣的是橢圓軌道類型的問題，因為對其它兩種情況，天體逃之夭夭，不知跑到哪裡去了，也許有了新的同伴，那就是另外的新問題了。因此，之後考慮三體問題時，大多數情況，我們也只討論互相作繞圈運動的情形。

二體問題的成功解決給牛頓以希望，他開始研究三體問題，沒想到從2加到3之後的問題使牛頓頭痛不已。豈止是牛頓，之後的一些數學家，即使幾百年之後的今天，三體問題仍然未能圓滿地解決，大於3的N體問題自然就更為困難了。如此困難的三體問題卻是天體運動中非常常見的情況。比如考慮太陽、地球、月亮三者，或者如上所述，研究飛船、行星、太陽的運動規律時，就是典型的三體問題。

從數學方法來說，解二體和三體問題都是解微分方程組，但二體問題可以通過求積分就簡單解決了，同樣的方法卻無法對付三體問題。但數學家們總有他們的辦法，問題解不出來時就將其簡化。既然二體問題之解令人十分滿意，那就在二體問題解的基礎上做文章。首先可以假設，3個天體中兩個的質量m1和m2比第3個質量m要大得多。所以，第3個小天體對兩個大天體的影響完全可以忽略，這樣就可以將兩個大天體的運動作為二體問題解出來。然後，再將第3個天體看作是在前兩個天體的引力勢場中運動的粒子而求解其運動方程。這樣簡化後的問題被稱之為「限制性三體問題」。但實際情況令人很不愉快，即使是簡化到了這種地步，小質點m的運動方程仍然無法求解。

於是，又進一步簡化成「平面限制性三體問題」，就是要求三個質點都在同一個平面上運動，但似乎還是得不出方程的通解。

得不到通解便研究一些近似解和特殊解，這兩方面倒是有點成效。頗為成功的近似方法是「攝動理論」，實質上就是一種微擾法。考慮兩個物體的運動，將第三個物體的作用作為對前兩者的微擾。這種方法在解決和預測太陽系中的一些現象時卓有成效。

對「平面限制性三體問題」，18世紀的歐拉和拉格朗日則求到了小質量運動方程的幾個特解【注4】，見圖4。

「引力助推」和「三體」問題

圖4：小質量天體在二體系統中的拉格朗日點

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圖5：木星的特洛伊群小行星

從圖4a所示，拉格朗日點中的三個：L1、L2、L3位於兩個大天體的連線上，L4和L5則分別位於連線的上方和下方與大天體距離相等並組成一個正三角形的兩個對稱點上。可以從數學上證明，在連線上的三個拉格朗日點不是真正「穩定」的點，它們對應於「鞍點」類型的極值點。只有L4和L5是對應於最小值的穩定點。也就是說，當小質量位於L4和L5時，即使受到一些外界引力的擾動，它仍然有保持在原來位置的傾向。圖4b顯示了在L4點對小天體的3個作用力（地球引力、太陽引力、離心力）是如何平衡的。有趣的是，我們都知道力學結構中的三角形與穩定性有關，當小質量位於L4和L5時，三個質點正好構成一個等邊三角形，這是否暗藏了某種穩定性原理呢？L4和L5有時也被稱為「三角拉格朗日點」或「特洛伊點」。

初一看，五個拉格朗日點的存在似乎沒有多大的實際意義，只像是個趣味數學遊戲。但是，沒想到它們還真有一定的實際用途，自然界的實例也證明，穩定解在太陽系裡就存在。1906年，天文學家首次發現木星的第588號小行星和太陽正好等距離，它同木星幾乎在同一軌道上超前60°運動，三者一起構成等邊三角形。同年發現的第617號小行星則在木星軌道上落後60°左右，構成第2個正三角形。之後進一步證實，木星軌道上有小行星群（特洛伊群和希臘群）是分別位於木星和太陽的拉格朗日點L4和L5上。有時將這類小行星群統稱為特洛伊群，到2007年9月為止，已經確認的特洛伊小行星有2239顆，其中1192顆在L4點，1047顆在L5點。

此外，在土星-太陽系統及火星-太陽系統的L4和L5點上也都發現有小衛星存在。還曾經在地球-太陽系統的L4和L5點上發現存在塵埃群，2010 TK7是首顆被發現的地球的特洛伊小行星。對微觀世界的研究也發現拉格朗日穩定點的存在。

在發射人造衛星及其它人造天體時，科學家和工程師們也考慮和利用這些拉格朗日點的存在。以太陽和地球加小星體的系統為例來考察一下這些特殊點。比如，L1、L2、L3都在日地連線上，L1在日地之間，小星體在這個位置時，軌道周期恰好等於地球的軌道周期。日光探測儀即可圍繞日地系統的L1點運行。L2點偏向地球一側，通常用於放置空間天文台，如此可以保持天文台背向太陽和地球的方位，易於衛星的溫度控制、保護和校準。L3在日地連線上偏向太陽一側，像是與地球對稱，一些科幻小說中稱之為「反地球」。

所以，18世紀時拉格朗日研究三體問題找到的特解還是有點用處的。但是如果回到三體問題微分方程的通解問題，數學家們至今仍然是一籌莫展，只能用計算機數字求解來探討這類問題。

法國數學家龐加萊（1854-1912）對三體問題的研究導致和催生了「混沌」這個嶄新的數學概念。在1887年，瑞典國王奧斯卡二世為了祝賀他自己的60歲壽誕，贊助了一項現金獎勵的競賽，徵求太陽系的穩定性問題的解答，這實際上是三體問題的一個變種。儘管當時龐加萊沒有真正解決這個問題，但他對此問題超凡的分析方法使他贏得了獎金。龐加萊提出的實際上就是後來被稱之為「蝴蝶效應」【注5】的概念，即如果初始值有一個小的擾動，後來的結果就可能會有極大的不同，以至於我們不能完全預測系統的最終狀態。

「引力助推」和「三體」問題

圖6：從二體問題的精確解到三體問題的混沌解

龐加萊發現即使在簡單的三體問題中，方程的解的狀況也會非常地複雜，以至於對於給定的初始條件，幾乎是沒有辦法預測當時間趨於無窮時，這個軌道的最終命運。事實上，這正是後來物理學上發現的著名的混沌概念之萌芽。

在將飛行器送入太空之前，人類就已經將望遠鏡對向我們頭頂的天空，嘗試著解開它的種種奧秘。下一期，我們將目光投向太陽系之外，去了解兩個神秘的天體——白矮星和中子星。

注釋：

【注1】所謂太陽系邊界的定義大致有兩種，一種是太陽風的邊界稱為heliosphere，位置比較確定。旅行者1號實際上是穿越了太陽風的邊界。另一種是太陽的引力邊界，其定義比較模糊，取決於參考的天體，但是都比太陽風的邊界遠得多。

【注2】維基百科：航海家計劃

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%88%AA%E6%B5%B7%E5%AE%B6%E8%A8%88%E7%95%AB

【注3】參考文獻：Minovitch, Michael (July 11, 1961). "An Alternative Method forDetermination of Elliptic and Hyperbolic Trajectories" (PDF). JetPropulsion Laboratory Technical Memos (TM-312-118).

【注4】參考文獻：John E.Prussing, Bruce A.Conway, Orbital Mechanics, 1993, OxfordUniv.Press

【注5】參考文獻：《蝴蝶效應之謎-走近分形與混沌》，張天蓉，清華大學出版社，2013年7月。

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