小徑分叉的花園——數學推演下人類社會的混沌未來
在阿西莫夫的《基地》系列中，當人口達到百兆數量級後，就可以依據統計學計算，來預測整個社會的發展，給未來的各種可能性加上一個明確的數值。這種龐大而複雜的學科體系，在《基地》系列中被稱為「心靈史學」（又譯作「心理史學」）。
這個學科也許能解釋，為什麼在整體財富增長後，人類社會中的大多數依舊不幸福。
現實社會裡，為什麼有那麼多負面情緒？為什麼人類社會的總體生產力不斷發展，貧富差距卻越來越大？我們的未來究竟是一片光明，還是一個走向覆滅的反烏托邦？答案或許就藏在這些神秘的數學公式里。
在所有科幻小說的那些酷炫的idea中，如果要選一個最讓我感到激動的話，那應該就是阿西莫夫於《基地》系列中所提出的「心靈史學」了。
以物理的思路、數學的手段來獲得關於社會的可操作的預測性理論，這樣的工作就如圓桌騎士的聖杯一般讓人無法按捺下心中起伏的洪荒之力，希望可以一窺其中的奧義。
那麼，現實世界中到底是否存在這種神一般的公式？社會的發展究竟是否有可能通過數學的手段來預測呢？
這是一個非常讓人激動的話題。
阿西莫夫：「神一般的公式在看著你。」
先預設一些數學邏輯
所謂預測，就是當我們知道一個系統在當下的狀態後，可以通過一定的手段，來分析其在未來某一段時間的狀態，或者至少是這種狀態的可能分布情況。
說得通俗一點，就是比如我們知道現在你想要一個橘子，他想要一個蘋果，那麼，如果我們可以通過一定的技術手段，來分析出一分鐘後，你到底有沒有拿到橘子，他到底有沒有吃到蘋果，那麼這樣的情況就是可預測的。
在自然科學，特別是物理學中，這樣的預測可以有一個更加精確的表述：
知道系統的初態後，系統在若干時間後的末態可以被唯一確定，那麼這樣的系統稱為是符合「機械決定論」的；如果系統的末態的分布可以被唯一確定，那麼這樣的系統被稱為是符合「幾率決定論」的，特別當這種分布滿足量子統計時，就稱為是符合「量子決定論」的。
比如說，我們都知道牛頓定律，那麼假定時空中有兩個剛體小球，只要我們知道了這兩個小球在初始時刻的位置和速度，以及各自的形狀，那麼我們就可以精確預言其後任意時刻這兩個小球的狀態——即它們的位置、速度和形狀。這一特性是由牛頓定律所保證的。
也比如，我們知道一個星球的質量和一個小球的質量，以及它們在初始時刻的位置與速度，那麼牛頓引力定律就告訴我們此後的任意時刻，該星球與該小球的狀態，我們也是可以唯一確定的。
這就是機械決定論。
在經典物理領域，基本世間的一切都被機械決定論所決定——即便是含有大量分子的氣體，其行為理論上也是滿足機械決定論的，只不過因為氣體分子太多，所以實際上不可能做到同時確定初始時刻的所有氣體分子的狀態罷了。
在量子的世界中，機械決定論被量子決定論取代，比如兩個帶電粒子的碰撞，在經典物理中通過牛頓定律和麥克斯韋方程，只要這兩個帶電粒子的初始狀態已知，那麼未來任意時刻的狀態就都可以計算出來。但還是兩個帶電粒子，在量子的世界中情況就變得很不同了——我們無法知道未來的確定狀態，因為未來這兩個電子的狀態是幾率分布，並不唯一，而是在很多種狀態上都有一定的分布幾率，這些幾率的模平方的和為一。
所以，在量子的世界中，我們知道初態的話，並不能唯一確定系統的末態，但至少可以確定末態在那些狀態上的分布情況。
小徑分岔的花園：走錯一個路口就通往災難
那麼，社會是否也滿足某種決定論呢？
在《基地》系列所鋪就的心靈史學的觀點中，我們大約可以認為，謝頓的理論給出了一個滿足機械決定論的社會動力學，但這點至少就目前來看是不大現實的——更現實的是，社會會如何發展是在多種可能之上的一個概率分布，也就是說：未來是在不斷分岔的，我們至多只能計算每一個分岔的可能性，但並不可能通過理論獲得社會發展的唯一路徑。
未來是在不斷分岔的
另一方面，除了理論上的預言能力，在實際操作的時候還有一個可操作性的問題。比如，最基本的問題就是，一個系統的真實狀態與你測量所得的測量值之間，未必總是對應得那麼好。
以物理實驗來說，實驗的本質是物理過程中可量化的屬性被實驗設備獲取的過程，這個過程中那些可量化的屬性的值，與我們做實驗的人最後所得到的值之間是存在差別的，這種差別一方面來自實驗過程中的各種干擾，另一方面也來源於實驗設備在獲取數值時的有限精度。
因此，這就是說，實驗值總是在真實值附近有著一定的偏離的。
而混沌理論告訴我們，對於混沌系統，兩個初態之間哪怕再微小的偏離，都可能導致有限時間後的末態之間巨大的不同。
因此，即便我們的理論可以證明社會真的是機械決定論的，由於社會必然是一個混沌系統，這就說明我們在實際使用理論來預測的過程中，幾乎必然會陷入混沌的陷阱，從而由我們從整個社會採樣來的值所給出的初態所得到的末態，必然與社會實際發展的末態存在極大的偏離。
也就是說，從實際操作的角度來說，這條路是走不通的。
這麼說來，心靈史學的未來似乎顯得很悲觀啊。
雖然精確的預測如上所說是幾乎不可能做到了，但一些初步的近似結論，或者說對於某一領域的大體預測分析，卻是可能的。
在社會學領域中，這方面最早的案例大概就要算Malthus的人口發展理論了：
後來社會學家Verhulst將其改進為一個更常見（在更廣的領域內也更重要）的形式：
我以前本科的時候以此為基礎做了一個「狼-羊-草」的模型，將上述固定出生率與死亡率（體現在參數C上）以及環境（體現在上）的情況修改為死亡率與環境是隨著捕食者（對於羊來說就是狼，對於草來說就是羊）與被捕食者（對於狼來說就是羊，對於羊來說就是草）的數量而改變的情況，非常有趣，很容易就陷入了混沌，生態災難幾乎是家常便飯……
那麼，對於更大範圍的人類社會來說，是否也可以有類似的初步理論呢？
這樣的嘗試當然是可以去做的。
數學上帝眼中的社會：動態離散的有向網路
就社會的性質來說，我們大致可以將社會上的各種問題，都歸結為一個帶有纖維叢結構的動態離散有向網路上的擴散問題。
這個說法當然過於枯燥，讓人無法接受。
用簡單的話來說，就是人類社會構成了一個網路，由於人與人之間的獨立性，所以是一個離散網路；同時，人與人的關係未必是雙向全等的，而是存在一定的方向差，比如名人可以影響到粉絲，而粉絲卻幾乎難以影響到名人，因此是一個有向網路；接著，這樣的網路的結構是時刻都在發生變化的，因此是一個動態網路。
所以人類社會是一個動態離散有向網路。
接著，可以將構成社會的每個個人的屬性，在一個線性空間中表達出來，因此上述網路的每個節點上都帶有一個多維線性空間，並且節點與節點之間的影響，取決於每個節點之間的網路連接情況，更取決於節點本身的屬性是怎麼樣的，這可以被看做是一個轉移函數，從而上述線性空間就可以看做是網路節點上的一個個纖維空間，所以整體來說，就是帶有纖維叢結構的動態離散有向網路。
最後，人與人的互動就是在上述空間中每個纖維空間中，屬性矢量彼此之間通過轉移函數相互作用的過程，可以近似看做是一個擴散過程。
有了這樣的定義後，方程自然就容易寫了，但這樣的方程意義不大，因為對於纖維叢的結構、纖維叢的轉移函數的具體細節，我們現在都一無所知，甚至於對於社會這個網路的結構，現在也知之甚少。
對我們建立一個大致的模型來說，上述模型一來太空泛，二來細節還是太多。我們可以進一步簡化。
我們假定社會的發展狀態可以簡單地用一個「財富」來衡量，而獲得財富的方式可以被歸結為「勞動」，那麼我們可以試圖來尋找財富與勞動之間的關係：
這裡P是財富，L是勞動，因此勞動決定了財富的增量。
但光有這樣的形式還是不夠的，我們還要知道勞動與財富的更加深層次的關係，比如：
人們通過完成工作來換取收入，而只有當一個人擁有超過工作所需財富資源的時候，這個人才能去完成這項工作。每項工作都有固有的完成工作所需時間，以及完成後所得到的財富，這兩大屬性。
這樣的要求很合理，能者多勞，多勞多得，說白了就是這個意思。
於是，如果我們假定，社會上不同財富需求的工作的出現概率是平等的，我們就可以建立如下方程：
這裡T是完成財富需求為p的工作所需要的時間，而Q則是完成工作後得到的凈收益。
如果這兩個都是常數，那麼顯然最後得到的解是一個冪指數函數，即P隨著時間t的增長而指數型增長。
而且，這個系統的最大特點是：無論初始財富值是多少，這個指數函數的指數係數是固定的——這也就是說，我們可以為社會整體做一個歸一化，來計算每個人所擁有的財富在社會總財富中的比例，那麼在上述系統假定下，這個比例是固定不變的，從而也就是初始財富的比。
這樣的系統雖然看上去似乎不錯，但本質上還是平庸的。
烏托邦？抱歉，未來只有更加兩極分化
我們可以假定更加複雜的形式，比如說工作完成的收益，正比於工作所要求的財富閾值；工作完成的時間又可以分為四部分：固有時間、隨工作需求財富增長的部分、固定總資源時間需求與工作者資源的比（從而是一個隨著工作者所有資源量不同而改變的時間），以及隨工作需求財富增長而變的部分。
用數學公式來表達的話，就是：
這個方程的積分部分可以被求出，從而有：
分析這個函數我們知道，初始值越大的個人，財富的增長速度越快。因此如果我們計算個人財富在整個系統中所佔的比例的話，那麼我們會發現這個比例的分布會越來越陡，從而這特點就是財富積累中的馬太效應，或者簡單說就是財富具有富集性。
而，上述設置並不針對任何個人，所以是一個儘可能公平的系統。因此，在一個公平競爭的系統中，富人會越來越富，而窮人則會越來越窮。這可以說是一個必然。
從這個意義上來說，社會所要做的就是修改T(p)函數，構造一個儘可能避免財富兩極分化結果與趨勢的社會，但這是相當困難的。
從上述討論我們還可以看出，在這樣的社會中，財富必須富集才能更快更高效地完成更難更有要求的任務（體現在積分上限以及T(p)中的P的作用上），所以這一模型本質上是反對「平均主義」的。
從另一個角度來說，社會所要做的事，就是通過各種政策讓上述模型中的T與Q更有利於社會從結果來說的公平，比如通過限制富人的階梯賦稅制（體現在Q上，抑制大P獲得的利益），以及在准入門檻上對窮人的扶持（體現在積分上下線上）等等。
但，就如迪特里希·德爾納在《失敗的邏輯》中所反覆強調的，對於一個足夠龐大的系統來說，為其制定的目標往往可能帶來彼此矛盾的需求，從而幾乎無法確定整個系統的優化函數。
說人話就是：對一個足夠龐大的系統來說，即便是同一個目標，從不同出發點而來的具體需求之間可能是彼此矛盾的，從而我們甚至於都無法判斷最終系統是否達成了這個目標，或者是否接近了這個目標。
貧窮與憤怒：社會發展自行孕育的毀滅力量
光是了解社會在「工作-財富」這麼一個體系下如何發展以及各種不同的政策可能給這個系統帶來怎麼樣的概念，對於我們建立如心靈史學這樣宏大的學科來說自然還是不夠的。
我們還需要知道財富的另一面——社會上的負面情緒，是如何增長的。
為此，我們可以提出一項假設：社會上的負面情緒來源於比較。即，人通過與他們的互動來認識自我與表達自我，其中負面情緒來源於比較折中互動行為。
在我們現在的這個財富社會體系中，這就表現為：一個人的鄰點的財富值與自身的差，決定了這個人負面情緒的增量。
寫成方程就是：
其中N1和N2是兩個待定函數，第一項是自己與他人在同一時刻的比較，第二項是自己現在與過去的比較。一個越來越好的生活會讓人的負面情緒降低，而一個越來越糟的生活當然會積累負面情緒。
進一步，我們可以設置一條基本生活的最低財富需求，並加上一個更加具有動力學特性的項：負面情緒在人群中是可以傳播的，且傳播方式滿足擴散的形式。
這麼一來，負面情緒的積累方程就是：
當我們將這個問題換到連續時空，並將那些待定函數都取為不變函數後，這個方程事實上就是說：擴散算符作用在N+P上後再加上P等於A，這本質上就是一個擴散方程，其中擴散算符就是熱力學中大家很熟悉的：
現在，我們已經知道社會是具有財富的富集性的，從而P的梯度必然是在變得越來越大的，從而就社會整體而言，負面情緒的積累是在逐漸增快的。
也就是說，社會的發展是一個負面情緒逐漸往財富底部的人群聚集並增長的過程。當負面情緒積累到一定程度後，變革自然就會發生。
所以社會的發展必然伴隨著劇烈的變革為其結束。
就比如說，謝頓通過心靈史學發現川陀必然走向覆滅。
也比如說，馬克思認為資本主義的發展必然以經濟大蕭條為周期性結束。
從上面的分析來看，這點似乎是必然的。
而決策者所能做的，就是通過各種政策來調整那些個參數，使得系統穩定的時間儘可能長。
當然，上面這些只是數值化社會學的最簡單最基礎的內容。
對於社會，尤其是對於互聯網上的社會形態，是這個領域最火熱的研究對象，雖然要由此研究出心靈史學目前來看是不可能的，但朝著這個目標進發，我們或許會發現很多有趣的、有用的甚至是影響深遠的結論哦！
責編：高小山
LostAbaddon
LostAbaddon，網上小名塔塔，小小名塔塔醬。
在理論物理的康庄大道上一度撒丫子狂奔，奈何腳踩碎石忿忿而退。說人話就是覺得理論與實驗的差距太遠一眼望不到頭，遂下海拾碼。現以碼符號為生，所寫符號只能在一眾全球最大同性交友平台上被人看懂。
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