多少我們熟知的公式其表述是不恰當的

知識 08-22

引子

物理之學，大者有整套的理論體系如嚴謹縝密的經典力學和四面透風的量子力學，小者有單個的概念和物理量。包含多個物理量以及常數的公式居中，起著承上啟下的作用。公式是一門高度壓縮的語言，壓縮意味著信息的丟失，關於一個公式的具體的、全部的涵義可能要放到大的物理和數學語境中才能理解透徹。物理學的公式是數學表達式，但承載著更多關於我們對物理問題認識方面的內容，包括物理圖像、因果關係、量綱等等。物理公式的某個正確表達形式，其等價的數學表示卻可能是荒唐的，這一點學物理者不可不知。即便是數學裡的公式，其代表的圖像或者關切的對象可能也是物理的、現實的。我們接觸到的各種公式，其表述形式是由對數學、物理理解到不同層面的人給出的，或者是在不同的形態發展時期被固定下來的，因此難免有是否恰當的問題。恰當性是赫茲為事物之物理圖像所設立的考察標準「permissibility，correctness，and appropriateness(允許、正確、恰當)」之最後一項[1]。如果以赫茲的批判眼光考察一些我們常見的公式，會發現它們多少有些不合適的地方，如果不是錯誤的話。不恰當可能意味著物理圖像的歪曲。

這麼說並非危言聳聽。愛因斯坦的質能關係是二十世紀的符號。這個關係常見的解釋為「The mass isequivalent to energy(質量和能量是等價的)」，這和愛因斯坦所說的「The inertial mass of matter is a measure ofits energy content(物質的慣性質量是其能量內涵的測度)」，這兩種理解就很不一樣。這種對質能關係的理解歧義自然會反映到公式表述上。1989 年，Okun 教授就在一篇文章中考考讀者[2]：關於質能關係，下面四個寫法E =mc2， E =mc2， E=mc2， E=mc2中哪個表達是物理上合理的？(圖1)。首先，在現代物理體系內，慣性質量是基本粒子的特徵(character)，Poincaré群表示的特徵，因此是個內稟的參數，並不隨運動速度改變。這就是說沒有什麼靜止質量m和相對論質量m=m/√(1 - v2/c2)的區別。就一個有慣性質量m的粒子其能量內涵的測度來說，公式E=mc2是合適的。對於運動粒子，其能量滿足關係式E2- p2c2= m2c4，可得E = mc2/√(1 - v2/c2)。當人們談論質能轉化過程中的質能關係時，類似ΔE = Δmc2形式的表述可能才是合適的(詳細內容見後)。

本文將分析幾個重要的數學物理公式的表達式，包括牛頓積分公式、歐拉多面體公式、傅里葉級數表達式、狹義相對論速度相加公式和(質能轉換語境下的)質能關係，等等。這些公式的常見表達為大家所熟知，但依然可能存在一些不恰當的地方，包括信息缺失、不能推廣、容易造成歧義或者誤導，以及缺乏可操作性，等等。

多少我們熟知的公式其表述是不恰當的

圖1 關於質能關係的多種表達式

牛頓微積分

單變數積分公式常見被寫成∫abf (x)dx =∫abdF =F(b) -F(a)的形式。筆者會把等式右側念成F(b)減去F(a)，甚至會認為這個減號是積分公式內稟的內容，但這是對此公式所要表達之思想的曲解。這個公式正確的表達是∫abf (x)dx =∫abdF = ∫-∪{ } b+F = F(b) + (-F(a))，即等式右側是兩項帶方向的量之和。積分符號就是summation(求和、加法)一詞的首字母。加法，才是積分的本意。此積分公式是說1-形式的函數f(x)在區間［a，b］上的積分等於其母函數F在兩端點，上的積分，因為有方向的分別，所以結果為F(b) + (-F(a))的形式。只考慮值的計算，F(b) + (-F(a))就被寫成了F(b) - F(a)。

上述積分公式是Stokes 定理∫Ωdω = ∮?Ωω 的特例。Stokes 定理表述如下，如果ω 是個(n－1)-形式，其緊緻支撐(compact support)為Ω是一有取向的流形，且?Ω 為該支撐的邊界，則有∫Ωdω = ∮?Ωω 。明面上的意思是，外微分dω 在域Ω上的積分等於ω 在域Ω之邊界?Ω 上的積分。顯然這裡只涉及求和，而不涉及差。作為對照，巴爾莫線系的頻率公式v ∝ 1/22- 1/n2中的減號才是真實的減號，由它引出了能級躍遷的概念。最初的Stokes定理聯繫面積分與線積分， ∫S×F?dσ = ∮?SF?d? ，即矢量場F之旋量在面S上的積分等於該矢量場在面S 之邊界?S上的線積分，這個分用於建立麥克斯韋方程組中法拉第感應定律和安培定律之積分形式和微分形式之間的聯繫。而高斯積分公式∫Ω ?FdV = ∮?ΩF?dS 見於麥克斯韋方程組中兩個高斯定理之積分形式和微分形式之間的聯繫。這四個公式的兩兩分組，正好一組是內積問題，一組是外積問題。

歐拉多面體公式

歐拉多面體公式V - E + F = 2 是諸多源自歐拉的偉大公式之一，曾被評為最優美公式排行榜次席，稍遜歐拉的另一公式eiπ+ 1 = 0 。歐拉公式V - E + F = 2 是關於三維空間中凸多面體一個性質的表述。對於凸多面體，其頂點數V(vertex)，邊數E(edge)，和面數F(face)滿足關係V - E + F = 2 。圖2 中是五種所謂的柏拉圖多面體(Platonic solids)，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，容易驗證它們都滿足歐拉公式。

這個公式的表述形式有什麼問題嗎？有，而且問題很大！注意公式V - E + F = 2 中的重要信息，頂點、邊和面都是幾何對象，其維度分別是0，1 和2。這三個幾何對象的個數V，E 和F，隨著維度的增加，在公式中是以正負號交替的形式出現的。可是，我們在談論的是三維凸多面體的性質，怎可忽略掉三維的結構呢？歐拉公式應該還包含三維幾何對象的數目，且其符號應為負號。實際上，歐拉公式的正確寫法應該是V - E + F - S = 1 ，其中S(solid)是體的數目。由於論及三維空間中的某個凸多面體有S ≡ 1 ，因此歐拉公式才被寫成了V - E + F = 2 的樣子。

把歐拉公式寫成正確形式V - E + F - S = 1 的好處是，你可以正確理解它的真正含義。歐拉公式告訴我們，對於一個凸多面體，其各個維度上的幾何對象的數目，按照從零維開始正負交替的形式賦予正負號，則其和總為1。注意，此時我們談論的凸多面體就不局限於三維情形了，它可以推廣到任意維的空間。比如，對於二維情形，二維凸多面體即凸多邊形，其包含的幾何對象為頂點、邊和面，且面的數目F ≡ 1 ，因此其歐拉公式應為V - E + F = 1 ，進一步地可寫為V - E = 0 ，即頂點數與邊數同，這是一個我們容易驗證的、平凡的結論。對於四維情形，四維凸多面體包含的幾何對象包括頂點、邊、面、體和四維polytope，且polytope 的數目P ≡ 1 ，因此其歐拉公式應為V - E + F - S + P = 1 ，進一步地可寫為V - E + F - S = 0 。

重複一遍，我們熟知的歐拉公式V - E + F = 2 是關於三維凸多面體的一個幾何性質的描述，其正確形式應該是V - E + F - S = 1 ，其中S ≡ 1 是體的個數。知道三維情形歐拉公式所代表的幾何意義及其正確表述，容易將之推廣到其它維度。

多少我們熟知的公式其表述是不恰當的

圖2 五種規則多面體

傅里葉級數

傅里葉級數是法國人傅里葉(Jean-Baptiste JosephFourier， 1768—1830) 在研究熱傳導問題時引入的。一般教科書中，傅里葉級數被表示為 f(x) = a/2 +Σn=1(ancosnx + bnsinnx) ，其中 f(x)是定義在[-π，π]上的函數，係數為an= 1/π ∫-ππf (x)cos(nx)dx ， bn= 1/π ∫-ππf (x)sin(nx)dx。許多人在初學時就注意到，此級數表達式中有a項但沒有b項。當然了，即便有b項， bsin(0?x)也沒有貢獻。但問題是，到底有沒有bsin(0?x)這一項呢？一般教科書幾乎懶得理會這個問題。

為了回答這個問題，我們來考察二階微分算符d2/dx2(在量子力學中，此算符d2/dx2對應粒子的動能)的本徵值問題，d2ψ(x)/dx2+n2ψ = 0 。此方程的形式解為cos(nx)，sin(nx) ，其中 x∈(x，x+2π) 。因為算符d2/dx2是一個自伴隨算符，其所有本徵函數構成一個完備正交集，即是說對於任何定義區間(x，x+2π) 上的函數f(x)，有 f(x) =Σn = 0(ancosnx+bnsinnx) ，此處的a= 1/2π ∫-ππf (x)cos(0?x)dx 。與此同時， b是不確定的；且對於任意有限的b， bsin(0?x)這一項為零，這也是為什麼一般介紹傅里葉級數時不包括這一項的原因。不過，筆者以為在適當的地方把它加入還是有意義的：sin(0?x)雖然恆為零，但它也代表一個完備函數空間的一個維度。再說了，即是對具體問題的計算沒用，它也是講解退化(簡併)概念的好例子。

速度相加公式

狹義相對論的速度相加公式是洛倫茲變換的結果，洛倫茲變換x′= (x - vt)/√(1 - v2/c2)， t′= (t - xv/c2)/√(1 - v2/c2)是使得麥克斯韋波動方程?2φ/?x2= ?2φ/c2?t2形式不變的變換，是由Woldemar Voigt 於1887 年率先提出來的。洛倫茲變換是關於時空的線性變換，變換中的參數為v(或者說是v/c)。以參數v1表徵的變換接著以v2為參數的變換相當於一次性地以v =(v1+ v2)/(1 + v1v2/c2)為參數的變換。這個速度相加公式中各項的關係不清爽，僅從這個形式來看似乎損失了不少內容。相當多的修習者會死記這個速度相加公式，它背後的幾何意義——相對論是關於時空幾何的變換——卻被忽略了。

回到問題的原點，即麥克斯韋波動方程?2φ/?x2=?2φ/c2?t2形式不變的變換問題，這等價於找到dx2- (c dt)2不變的變換。先看看大家熟悉的使得x2+ y2不變的變換。在二維平面幾何中， x2+ y2對應從原點到點(x，y)之矢量的模平方。坐標系轉動θ 引起的變換x′=xcosθ + ysinθ ， y′= -xsinθ + ycosθ 滿足要求，連續變換參數之間有關係 tan(θ1+ θ2) =tan θ1tan θ2/(1 - tan θ1tan θ2)。相應地，欲使dx2- (c dt)2形式不變，考慮相對原點的情形其等價於考察x2- c2t2。顯然，線性變換x′=xcoshθ + ctsinhθ，(ct)′ = xsinhθ + ctcoshθ 滿足這個要求。變換參數θ 是個無量綱數，且tanhθ 取值在[-1，+ 1] 之間。記tanhθ = v/c ，由關係 tanh(θ1+ θ2) =tanh θ1tanh θ2/(1 + tanh θ1tanh θ2)可得速度相加公式。這麼做的好處是，可把狹義相對論的洛倫茲變換當成時空間距定義為dx2- (c dt)2的時空中的轉動處理，變換的參數由轉動角給出。熟悉了對具有不同距離定義的空間中的等距映射，可以很容易由狹義相對論進入廣義相對論。此外，由tanh θ = v/c 和函數tanh θ 的性質，無需從相加公式就可推知光速c 是速度上限——光速c 是速度上限隱含在麥克斯韋波動方程中，它不是速度相加公式的推論。此外，這個相對論時空的轉動與平常歐幾里得空間中的轉動從形式上可以放到一起理解， tanh θ = i tan(iθ)，而公式 tan(θ1+ θ2) =(tan θ1+ tan θ2)/(1 - tan θ1tan θ2)可是我們初中時就學了的，它可以讓我們容易地記住速度相加公式。

愛因斯坦質能公式

如果說歐拉公式eiπ+ 1 = 0 佔據所有公式排行榜第一位的話，公式E =mc2應該出現在物理公式排行榜第一、二位的位置上。公式E =mc2簡直成了物理學的符號，至少是相對論的符號。

為了談論公式E =mc2之不甚恰當的地方，先談論一下關於光速不變性表述的不恰當處。一般文獻中都會說光速不變性指光相對任何參照系都是恆定值。這話有問題嗎？這種表述看似沒問題，實際上卻缺乏可操作性。愛因斯坦1905 年的原文中是這樣表述的：對來自任何發射體的光，觀察者測到的光速是同樣的一個值[3，4]。基於這個認識，愛因斯坦考察了原子同時發出兩個方向相反、能量相同的光子的問題。假設原子與您作為觀察者相對靜止不動，寫出此過程的能量守恆和動量守恆；再假設原子相對您以速度v 運動，再寫出此情形下的能量守恆和動量守恆，兩種情形下得到的公式相減可得E = Δmc2。不過必須說明，其中E是兩個光子的能量，而Δm 是原子在發射前後的質量差。也就是說，這個公式兩側的物理量各有所屬。

質能關係兩邊的物理量各有所屬是這個公式應用時的普遍狀況。比如，關於正負電子對湮滅過程e++ e- 2γ ，有方程E =mc2，其中m是電子的慣性質量，因為湮滅故有Δm=m，而E (=511 MeV)是γ 光子的能量。在中子轟擊235U原子核的反應中，,質能關係的正確形式應為ΔE = Δmc2，其中ΔE 是方程右側三項動能之和與左側兩項動能之和的差，而Δm是方程左側兩項質量之和與右側三項質量之和的差。在談論質量來源的語境中，對有質量粒子結合成擁有更大質量的粒子的情形，質能關係為E = Δmc2，其中E是下一層面粒子間的結合能，而Δm是上一層面粒子質量與下一層面粒子質量和之間的差值。在終極情形，無質量粒子結合成有質量粒子，無質量粒子間的結合能表現為有質量粒子的慣性質量m，此時有質能關係E =mc2。也許此兩處的能量寫成Ecoh.以表明其結合能的身份才是更合適的。

結語

本文討論了一些人們熟知的數學物理公式，包括牛頓積分公式、歐拉多面體公式、傅里葉級數表達式、狹義相對論速度相加公式和質能關係等，其常見的表述形式所存在的不恰當處。這裡的不恰當處，包括信息缺失、不能推廣、容易造成歧義或者誤導，以及缺乏可操作性等。但是，這些不恰當處可能只不過是筆者個人學習過程中遭遇的困惑與誤解而已，不具有一般性，讀者請自行斟酌、批判。倘若有讀者朋友也曾遭遇過與我一樣的困惑與誤解，並經由此文多少得到一些澄清，那無疑會是一件令人欣慰的事。

參考文獻

[1] Hertz H. The Principle of Mechanics. Dover Publications，INC.，1956

[2] Okun LB. The Concept of Mass. Physics Today，1989，42(6)：31

[3] Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter K?rper. Annalen der Physik，1905，322(10)：891

[4] Einstein A. Ist die Tr?gheit eines K?rpers von seinem Energieinhalt abh?ngig? Annalender Physik，1905，323(13)：639

本文選自《物理》2016年第8期

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