絲竹鼓罄的物理奧秘：從經典到量子

知識 08-25

絲竹鼓罄的物理奧秘：從經典到量子

作者武際可（北京大學教授）

尼采曾說：沒有音樂，生命是沒有價值的。音樂滲透了我們的生活，幾乎沒有人不喜歡聽音樂。不過，當你陶醉於動聽的樂曲時，可知道其中還蘊含著大量的科學知識？音高怎麼確定的？樂器是怎樣發聲的？音色能夠模擬嗎？……在音樂這個藝術領域裡，數學、物理、生理學、心理學、電子學、計算機科學等多種學科密切交融在一起，歷史上像畢達哥拉斯、伽利略、牛頓、亥姆霍茲、朱載堉、韋伯等大名鼎鼎的數學家、科學家、音樂家都在此留下過探索的足跡。但直到今天，音樂和音響背後的科學道理也還沒有完全弄清，比如說，研製新的音響設備，用計算機模擬歌唱，都還面臨著許多未解的難題。

音樂背後的科學問題，首先是力學問題。因為聲音的產生和傳播本身就是一個典型的力學問題，樂器的研製和改進，無論是管樂器還是弦樂器，抑或是其他樂器，都離不開深入的力學知識。我們今天著重就音高與振動頻率的關係，以及弦樂器與管樂器（即「絲」與「竹」）這兩樣最主要的樂器的發聲規律等與力學聯繫緊密的方面來談談音樂里的物理。我們還能看到，力學和科學的發展不僅滋潤了音樂，對音樂的研究也豐富了科學研究本身。

聲音與音調的高低

在弄清楚發聲的音高與頻率的關係之前，人們都是以弦的長度來度量音高的。弦長減去一半，音高升高八度。早在我國春秋時期，《管子》一書中就記載了「三分損益」的規則，即弦長縮短三分之一，音高升高五度，然後再三分後，增長三分之一，就得到比原來高二度的音。這就是五度損益各一次，如此下去，就得到一系列和諧音。這種標定不同和諧音的關係的方法稱為「五度相生」律。在西方的古希臘，大約同時代的畢達哥拉斯也得到了相同的規律。兩個相隔八度的音的頻率比例是2，律學的核心任務就是在一個八度內找到其他重要的音。人們發現，用五度相生律重複損六次、增六次，共12次，可以得到12個音，，但最後得到的第12個音仍然距離真正的那個八度音有距離，而且相鄰音符的頻率比例並不相等，給轉調造成了困難。

為了解決這個問題，中國明代音樂家朱載堉（1536—1611）於萬曆十二年（1584年）首次提出「新法密率」（見《律呂精義》、《樂律全書》）。他將一個八度之間的12個音所對應的弦長，按照將2開12次方，即=1.059463094359295264561825的比例變化，12個音中每升高一個音，就將這個數值冪次提高一次，它的12次冪正好是2。按照這種將八度音等比分為12個音的演算法，製造出了新法密率律管及新法密率弦樂器，成了世界上最早的十二平均律樂器。

宋代陳暘在他所著的《樂書》中說：「凡物動而有聲，聲變而有音。」在這裡，他已經模模糊糊地意識到聲音是和物體的運動相聯繫的。只不過把聲音和物體的運動精確聯繫在一起的第一人，是義大利的科學家伽利略（1564-1642），他準確地認識到聲音是物體的振動經由空氣傳播產生的一種波動。在其1638年出版的《關於兩門新科學的對話》中，伽利略首先討論了懸掛的單擺的擺動問題，其後討論了弦的振動以及共振問題。

伽利略是怎樣得到這一結論的呢？他是這樣說的：

當我為了除去黃銅板上的某些污點而用一個尖銳的鐵鑿子刮它，而且使鑿子快速地在其上運動，在多次磨劃中，我曾一次或兩次聽到這塊板發出一種相當強的和清晰的哨音；更仔細地審視這塊板，我注意到一長排精細的條紋，彼此之間平行地和等距離地排列著。用鑿子一次又一次地磨刮，我注意到僅當這塊黃銅板噝噝地發出雜訊時所有的標記才都留在上面；當磨刮沒有伴隨噝噝聲時就絲毫沒有這種標記的痕迹。重複這種把戲若干次並且使磨刮的速度時而快時而慢，哨音的聲調相應地就時高時低。我還注意到當音調較高就形成的標記更緊密；而當音調較低沉時它們就分離得較遠。我還觀察到，在一次磨刮期間，速度向著極限增加時，聲音就變得較尖銳並且條紋變得更密，但總是以這種方式保持一定的尖銳程度和等距。此外一旦磨刮伴隨有噝噝聲，我就感覺到鑿子在我掌握中顫抖並且一種顫慄通過我的手。簡單地說，在鑿子的情形下我們看到、聽到的和在一種低語緊跟著高聲的情形下看到和聽到的完全一樣；因為，當沒有產生音調的呼吸進行時，與發聲時在喉和咽喉上部的感覺相比，特別是與使用又低又強的音調相比，人感覺不到喉嚨或口有任何講話的運動。

有幾次我還在小豎琴的弦中觀察到有兩根與由上述磨刮產生的兩個音調同度；並且在那些音調最不同的弦中，我找到兩根弦相差一個純五度。在測量由兩次磨刮產生的標記的距離時，我們發現一次磨刮產生標記的45格包含了另一次的30格，這正好是賦值於五度的比例。

用現在的語言來說，伽利略是利用鑿子與銅板之間的干摩擦所產生的噪音和通過鑿子的痕迹來考察振動的頻率的。這個發現是非常了不起的，因為到伽利略寫這本書的時候，力學的基本理論體系還沒有建立，那時候也還沒有彈性體的胡克定律，他完全是從單擺的類比，純粹是運動學的考查，並且經過切身體驗認識到的。

薩伐爾的實驗裝置

再後來，英國學者胡克（Robert Hooke，1635-1703）設想用一個帶齒的旋轉輪子來研究。他發現，當一張硬紙卡片擱在齒上，而輪子旋轉起來時，就會發出聲響。輪子旋轉的速度變化時，卡片的振動頻率也隨之改變，聲音的高低也因之發生變化。胡克的這個觀察後來被法國實驗物理學家薩伐爾（Félix Savart，1791-1841）準確實現。這個實驗比較直觀而令人信服地驗證了聲音的高低是取決于振動頻率的。伽利略雖然在歷史上被公認是最早把聲音同振動頻率聯繫起來的學者，但由於他是從單擺比擬，進而從刀具的磨削痕迹得到的結論，對於大眾來說，並不直觀。而胡克的想法和薩伐爾準確實現的實驗既直觀，又能夠直接計算頻率，所以才最終確立了聲音同振動的關係，並且能夠實際地確定音高和頻率的定量依從。

弦上的物理

弦樂器發聲頻率的最基本的要素，是弦長、弦的張力和弦的密度。相同張力和密度的弦，其音高就決定於弦的長度。所以小提琴手總是用手指去不斷變換弦的振動長度，以奏出美妙的旋律。不過每一樣弦樂器，都有它最合適的長度，這也就決定了空弦上的音高。例如小提琴的空弦長度（或稱有效弦長）是328毫米，中提琴的空弦長度是360毫米，大提琴是654毫米。而鋼琴上最長的有效弦長弦則有兩米多。

法國科學家梅森（Marin Mersenne，1588-1648）在1625年左右得到的弦振動頻率的經驗公式

，

於1636年發表在他的著作《和聲學大全》上，比伽利略早了兩年。不過後來人們研究認定，伽利略的實驗實際上是早於梅森的。這個公式里的T代表琴弦的張力，ρ代表琴弦的密度，L代表弦長。我們看到這個經驗公式已經包含了決定弦振動頻率的三個主要因素：長度、密度和張力。

一根琴弦在弦長不同時，可以有多種振動模式。不同振動模式的頻率是基本振動模式頻率的兩倍、三倍等等。這些振動模式的不同混合可以產生不同的音高。

在給定弦長後，對弦添加張力，這個張力的大小很有講究。弦綳得不能太緊，否則像小提琴和琵琶之類的樂器，用手指壓弦到指板上或是壓弦到品上，覺得有點勒手。太松也不行，這時弦的發音太低，音量也太小。一般小提琴的每根弦的張力大約是7—9千克重力左右。四根弦的總張力約為30千克重力。至於鋼琴的弦，一共有二百多根，普通鋼琴有88個鍵，並不是每一個鍵對應一根弦，而通常是對應兩根或者三根。這麼多的弦，再加上鋼琴的弦有的很長，最長的有效弦長要超過兩米，所以單根弦的平均張力在150千克以上，鋼琴的弦的總張力大約能高達15到20噸。像小提琴、琵琶、吉他這類用木料做的琴的琴身一般能夠支持琴弦的張力，但鋼琴、豎琴那樣的由多根弦構成的弦樂器就不行了，它們起先也是用木頭製作的，後來發現需要用鋼鐵製作特殊的支架才能保證支持弦的張力。

雖然琴身和支持弦的張力的支架已經很堅硬，但在綳上了弦之後，它仍然會有微小的變形。這個變形會給調音帶來一點小麻煩。這就是，當你把一根弦的音調好了，也就是說這根弦的張力達到了標準，這時你再去調另外一根弦的張力，不管你是增加還是減少張力，都會影響支架或琴身的變形，以致使已經調好的那根弦張力不再合適，需要重新調。有經驗的小提琴手，在調四根弦的音時，並不是一根調好後再調另外一根，而是把四根弦先大致調到鬆緊程度差不多然後再細調。至於鋼琴的調音，因為弦很多，調音要複雜得多，經常需要專業的調音師來調音。

現在再說弦的密度。早期的琴弦，是用生絲或羊腸製成。後來改用金屬製造，既結實又容易大量生產。像小提琴，最細的E弦是用裸金屬製作的，其餘的A、D、G三根比較粗的弦就不能用裸線了。原因是，在弦的張力鬆緊程度大致一樣的情況下，弦的振動基頻是與弦的密度的平方根成反比例的。也就是說，空弦低八度的弦應當直徑加大一倍。另一方面，由材料力學知道，金屬桿直徑增加一倍，它的抗彎剛度就會是原來的八倍，因為抗彎剛度是與直徑的三次方成比例的。所以如果用裸弦，那麼幾根低音弦由於密度加大了，結果會使弦的抗彎剛度增加得太多。這時，弦將不再體現為柔韌的弦而變得更像一根梁了。

我們知道所有弦樂器的理論基礎是達朗貝爾提出的弦振動理論。弦與梁的本質區別是弦不能承受彎矩，即彎曲剛度近似為零。而對於梁的振動，則要複雜得多。它的頻率不僅和密度、張力、長度有關，而且還和端頭的固定狀態有關。所以為了避免低音弦變為梁，就採用纏弦的辦法。方法是在很細的裸金屬線外面纏一層細金屬絲。如下圖所示，這層纏絲只會改變弦的密度，而對弦的彎曲剛度影響很小，還是像細的裸弦一樣柔韌。各種弦樂器的低音弦採用的都是纏弦。

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纏弦

好了，我們已經有了一些合格的，有一定密度的，張力合乎要求的，也很柔韌的弦了。如果再配上一個好的共鳴體（如小提琴的音箱，二胡的琴筒，吉他、阮、琵琶和古琴等彈撥樂器的琴身，鋼琴的音板等等），就是一件理想的樂器了。

亥姆霍茲

無論東方還是西方，弦樂器最早都是撥弦樂器，用馬尾和琴弦摩擦發聲是比較晚的事了。要弄清楚在弓弦摩擦條件下的弦的運動規律並不是一件容易的事。其中最早比較仔細地考察這個問題的人是德國物理學家、心理學家、哲學家亥姆霍茲（Hermann von Helmholtz,1821－1894）。他是能量守恆定律的發現者，他最早測定神經脈衝的傳播速度，重新提出托馬斯?楊的三原色視覺說，研究了音色、聽覺和共鳴理論，他發明了驗目鏡、角膜計、立體望遠鏡。他對黎曼創立的非歐幾何學也有研究。他在1862年出版了《關於作為音樂理論生理基礎的音調感覺》（英文譯名為On the Sensations of Tone as a Physiological Basis for the Theory of Music）[1]，這本書是現代音樂心理學的奠基之作。在書中，他描述了弓子在弦上拉動時，弦被拉的地方形成一個折角，這個折角以一定的速度向弦的一端運動，然後再返回的現象，後人把它稱為「亥姆霍茨運動」。

拉曼

在探索弓弦運動機理上邁出第一步的是印度科學家拉曼（Chandrasekhara Venkata Raman, 1888–1970) 。就是那位發現了光通過介質時由於入射光與物質的分子運動相互作用而引起頻率變化的印度人，這種散射被後人稱為「拉曼散射」，其結果稱為「拉曼效應」，他因此獲得了1930年諾貝爾物理學獎。在1918年拉曼發表的長篇論文《弓拉弦振動的力學理論》[2]中，他給出了一個簡化模型：弦是柔而不可伸長的，由兩端的張力拉緊，弓子作用點距琴馬的距離為弦長的若干分之一，摩擦係數假定是弓弦相互滑動速度的函數。他用手算給出了弦的一些周期運動，包括亥姆霍茲得到的運動。由於這種模型是非線性的，所以實際上它是關於用非線性理論研究樂器發聲的最早的文獻之一。

律管與管口矯正

在一首樂曲中，各音的音高是相對的，並不存在一個標準音高。實際上在一個樂隊里，有管樂器，也有弦樂器，要合奏，就要相互之間發聲是和諧的。弦樂器音高比較容易調，只要調一下弦的張力大小，或者說弦的鬆緊程度就可以了。而管樂器要改變音高就沒有那樣容易了。何況樂隊中還有鍾、鑼這樣更不容易變音的樂器。所以要規定一個標準音高。

用弦樂器來確定各音的相對高度，可以很準確，這是弦樂器的優點。因為人們早就知道，在均勻的各處張力相同的一根弦上，音高（或者用後來人們的話說是弦振動的頻率）是準確地和弦長成反比的。只不過，當年的弦是用生絲製作的，那種弦最大的缺點是，對調好的音不容易保持。因為它受天氣、濕度和溫度的影響太大。今天定好的音，明天一下雨，天氣潮濕了，音高就變了。於是，在製造音律標準時，人們便想到制定一種有標準音高的管子，稱為律管。

這就是晉代楊泉在他的《物理論》中所說的「以弦定律，以管定音」。就是說，確定各音之間音高的比例是需要藉助於弦的，而要制定標準的音高，就要藉助於管了。

在一個相當長的時期里，人們把律管的長度與音高的關係也像弦那樣看待，即也像五度相生對於弦那樣，當長度減小三分之一，音高升五度。律管長度減半，升高八度。後來發現無論如何都無法弄准。在東漢之前的大學問家都一直堅持這種錯誤的認識，直到西漢的京房才認識到「竹聲不可以度調」。

實際上，律管就是兩端開口的一根一定長度的直管子，律管開口端的條件是十分複雜的，就是說在開口端外部也會有一部分空氣和管中的空氣一同振動，所以要計算管長與頻率的關係是很困難的。即使現今有強有力的計算機作為計算工具，也會有相當的難度。所以我國古代聰明的學者是用一個管口校正的辦法來處理這個問題的，即把管外參與振動的空氣摺合一個管的長度對管長進行修正，這就是管口校正的真諦。

到了明代，朱載堉採用實驗的辦法得到一個結論：「是以黃鐘折半之音不能復與黃鐘相應，而下黃鐘一律也，他律亦然。」（朱載堉：《律呂精義》）意思是說，把黃鐘的律管折半，比高八度的黃鐘要低半個音。這是一個很重要的發現。

要說明的一點是，管口校正問題一直是中國學者的討論，在西方的文獻中沒有有關的記載。英國著名物理學家丁鐸爾（John Tyndall,1820－1893年）曾有著作《Sound》（《聲學》，根據1869年第二版英文版翻譯，於1874年出版中文版），該書由當時在江南製造局編譯館任職的英國人傅蘭雅與徐建寅(1845-1901)合譯。這是第一本用中文系統介紹西方聲學的著作，它全面、系統，文字生動，影響中國達數十年之久，直到20世紀初還沒有能取代的讀物。

徐壽

徐建寅的父親徐壽(1818-1884)在翻譯過程中，經常與傅蘭雅討論書中涉及的問題。徐壽是熟悉我國古代音律學的。在中國古代樂律中，在討論管口校正之前，即東漢之前有一種說法，說弦樂器或管樂器的弦或管增長一倍或縮短一半，則所發的聲會降低或升高八度。而《聲學》在卷五中也說：「有底管、無底管生音之動數（即頻率），皆與管長有反比例。」這兩種說法是一致的。可見直到《聲學》出版之前，西方一直還沒有管口校正的概念。徐壽用銅管做實驗，發現只在管長比為4：9時，所吹出的音才相差八度。

徐壽的這個發現與中國古代的認識和《聲學》中所述的都不同。不過它與朱載堉的實驗結論是相近的。傅蘭雅把徐壽的實驗結果寫信告訴了《聲學》的作者丁鐸爾，同時將信的復件寄給了英國的《自然》雜誌。《自然》雜誌請人答覆，說徐壽的結果是正確的。《自然》雜誌還以《聲學在中國》為題發表了傅蘭雅的來信，同時加了按語說：「我們看到，一個古老的定律的現代的科學修正，已由中國人獨立解決了，而且是用那麼簡單的原始的器材證明的。」[3]

1762年（乾隆27年），嶺南醫生何夢瑤（1693—1764）綜合康熙皇帝所著《律呂正義》與曹廷棟所著《琴書》而成書為《賡和錄》上、下兩卷，該書說到律管時，稱：「蓋徑同，則無論長短，但取九分之四，則聲相應，與弦之全半相應不同也。」這句話，就是徐壽文章的意思，說明徐壽的這個結果早就在何夢瑤時期就已經被發現了。另外，朱載堉從實驗中得出了「黃鐘折半之音不能復與黃鐘相應，而下黃鐘一律也」的結論，根據參考文獻[3]，朱載堉從他所列的36根律管的尺寸，推算得知，1尺長度律管正黃鐘管與0.4719尺的高八度的黃鐘相和，這個比例是9:4.2471，是和何夢瑤與徐壽的結果相近的。話又說回來，律管是兩頭開口的管子，要從一頭吹響，那麼在吹響的這頭，嘴唇遮擋多大，遮擋的大小又會影響管口補償的長度。所以一般說來，在當時定義不夠嚴格的條件下來說，朱載堉和何夢瑤所得到的數據，應當認為是相同的，這種差別是難以避免的。

當律管發聲的長度和管口校正弄清楚了之後，對於一般管樂器的音準就不再是困難的問題了。

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圓形鼓面的各種振動模式。不同振動模式的頻率是基本振動模式頻率的1.59倍、2.14倍，等等。

從認識樂器走向現代科學

1746年，法國科學家達朗貝爾在研究弦的振動的基礎上發表了論文《張緊的弦振動時形成的曲線研究》，這是現代偏微分方程的經典文獻。迄今大部分偏微分方程的教程都是由弦振動方程開篇的。

英國科學家瑞利，在系統研究樂器發聲理論的基礎上利用他在埃及休養的時間寫成了巨著《聲學理論》（Theory of Sound, 1877-1878年），系統總結了他研究彈性振動的成果。這本書成為近代彈性體振動的經典著作。從研究彈性體振動和聲波開始，他後來又把興趣擴展到了水波、電磁波、光波各個方面，深入理解一切波動的本質性質。後來他發現了彈性介質的表面波；他又發現了入射光在微粒的直徑小於光波長的微粒上散射後散射光和入射光波長相同的現象；為了解釋「天空為什麼是藍色的」這個長期令人不解的問題，他導出了分子散射公式，太陽光在穿過大氣層時，各種波長的光都要受到空氣的散射，其中波長較長的波散射較小，大部分傳播到地面上。而波長較短的藍、綠光，受到空氣散射較強，天空中的藍色正是這些散射光的顏色，因此天空會呈現藍色。這個公式被稱為「瑞利散射定律」。

被樂器和聲音的現象吸引，人類在好奇心的驅使下得到的收穫，是遠遠不能用發明擺弄樂器的各種具體結果來顯示的。人們從最古老的七弦琴就開始研究樂器，根據對聲音的了解，逐漸發現，聲音是一種波，後來人們又發現了水波、電磁波、光波。酷愛音樂的開普勒追求宇宙的諧和，發現了行星運動的三定律。後來人們通過對弦振動的研究，發現在撥動一根有限的弦時，它只能產生若干個振動頻率，敲擊鼓面也只能得到若干頻率的鼓聲。同樣，電子在繞原子核轉動時也只能在若干個能級上運動。它們都是由一個二階偏微分方程的特徵值決定的，弦是一維的弦振動方程，鼓是二維膜振動方程，而後者是量子力學中的三維的薛定諤方程。

大家經常畫的電子繞著原子核轉的原子圖像是錯誤的。電子不像一個粒子，它更像一個三維鼓面。電子的不同運動模式對應於三維鼓面的不同振動模式。計算這些振動模式的頻率，就可以得出氫原子光譜。這就是量子力學的旋律。

你可曾想過，當你傾聽一首優美的樂曲時，刺激你耳鼓的，從時間上來說是由聲音以一定的頻率傳過來的一粒粒的能量，而從演奏者到你耳朵之間的空間里的傳播過程，又展現為波動。這不就是一種波粒二象性嗎。啊！原來在音樂中就包含著量子力學中的二象性原理的寓意。

沿著這個思想發展下去，到最近半個世紀，一種帶著「納須彌於芥子」氣勢的「超弦理論」在理論物理中悄然興起，它的意圖是解釋宇宙中的一切，以實現愛因斯坦生前未竟的宏願——統一場論。超弦，無非是高維空間中的一根琴弦，它固有的振動狀態，就體現了物質的各種基本粒子的形態、能量、質量以及帶電量。可見，即便是最高深的「超弦」，本質上也還是來源於對弦樂器的認知延伸和更為抽象的想像[4]。從認識樂器出發，你能觸摸到近代科學的最前緣！

參考文獻

[1] H. von Helmholtz:Lehre von den Tonempfindungen. Braunschweig,1862.English edition: On the sensations of tone, Dover,NY 1954

[2] C. V. Laman: On the Mechanical Theory of the Vibrations of Bowed Strings and of Musical Instruments of the Violin Family, with Experimental Verification of Results - Part 1, Bulletin,Indian Association for the Cultivation of Science, 1918 1-158

[3]中國科學技術史，物理學卷，戴念祖主編，科學出版社，2001年

[4] B.格林著，李泳譯，宇宙的琴弦，湖南科學技術出版社，1999

[5]武際可，音樂中的科學，高等教育出版社，2012年

本文原題為《絲竹背後話力學》，原載於《自然雜誌》。《賽先生》獲作者授權獨家首發於電子媒體，發表時經再次修訂和補充。

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