光是如何知道哪條路線最快的，費馬原理是不是違背常理呢？

上方超級數學建模可加關注

傳播數學乾貨，學會理性的方式去思考問題

《你一生的故事》里提到費馬原理（Fermat s principle）。又名「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。

作者：特德·姜（Ted Chiang）

書中舉的例子是，光線從空氣到水會發生折射，是因為水中的光速比較慢，所以光為了走最快的路徑，就在空氣里多走了一段，在水裡少走了一段，也就是光能選擇最優路徑到達。

如果是人做決策倒是好理解。但是光是沒有意識的，也不能感知，光是怎麼知道那條路最快的？光又沒走過這條路，甚至不知道目的地在哪裡，光怎麼就走最短路徑了？就好比一個瞎子，自動選擇一條最快的路走過去一樣，這是不是有點荒謬呢？

難不成光有一種能超光速的辦法，一次性把前方所有的路探究了一遍，通過全局分析找到最快的路之後，然後再傳過去？光豈不是太神奇了，一切計算機都弱爆了！什麼線性規、最優演算法都不如光的超光速掐指一算？

那麼如何解釋這個問題才恰當呢？以下解釋結合了費曼定理和波動光學。

在體會到費曼的精髓後，我們試著用波動光學解釋下為什麼光總能找到用時最短的路徑從A到B吧。

其實光線並不是真實存在的。

無論是波動理論還是光子的理論，光從光源出發到被照亮的區域其實並非沿某一路徑經過。那麼A點照亮B點是怎樣的一個過程呢？

根據惠更斯原理我們可以認為是A點發出的電磁波到全空間，而B點的電磁場是受到了空間各處電磁場的影響。或者說A點發出的空間其他地方的光場，成了與A點無異的次波源，而B點是受這些次波源影響的。

如果把光認為是大量的光子組成，那他也不會有一個特別的路徑。光子並非我們平常看到的粒子，它是量子，按照費曼的路徑積分理論，光子從A到B的過程是經過了空間各條所有可能路徑的求和，即使是單個光子也是如此，跟波動的觀點很有異曲同工之妙（不過這也是必然的）。量子的觀點就不再後面贅述了。主要是從波動的觀點解釋。

既然光從A到B沒有一個特別的路徑，那麼費馬原理裡面所說的光線又是指什麼呢？

確實是這樣，就算沒有費馬原理，我們也會感受到光是從一條線射過來的。

假設A光源照亮了B，這時我們用一個很大的擋板將A,B隔開，B當然不會接收到A處發出的光。這時我們在擋板上開一小孔。一般情況下打開小孔後會出現兩種情況，一種小孔開在M點，B處沒反應；另外一種較少的情況，小孔開在N點，B處被照亮了。這時我們認為從A到B的光線不通過M點而通過N點。假設在空間中有許許多多這樣平行放置的擋板，那麼光線就是這些擋板所開使B點被照亮的小孔的合集。反過來我們看如果沒有擋板，如果有一不透光的小片只擋住了N點，那麼B點就不被照亮了，而只擋住了M點的情況下，B點不受影響。也就是說N點的光場不能影響到B,光線上的光場能影響到B。

圖(1)

而根據費馬原理，開小孔的位置必然使從A到B的光路運行時間最短（最長或者穩定，暫且不深究這其中細節）。或者說能影響到B的光場的路徑是使得光程最短的。這樣我們就把光路徑的問題轉化為了小孔的問題。

那麼費馬如何起作用的呢？或者說為什麼使B點照亮的小孔位置剛好在使得光程最短的路徑上。

再小的孔，它也是有大小的，如果只是開一個無窮小的孔，即使這無窮小的孔在抽象的光線上，B點也是不會亮的。B點受到的全部電磁波全部來自於小孔處。現在我們取在光線上的小孔N和不在光線上的小孔M，看這兩處的電磁波是如何影響到B點的光場的。

圖(2)

聯繫圖(1)，我們看看擋板的位置與光程的關係。

圖(3) 縱坐標表示了從A到B的光程

A點發出的場到達B點時，它振動的相位是跟光程有關係的，或者說跟光飛過來所需的時間有關係。

相較於光程最短的N點，比較不特殊的M點有一個特點，就是其中各處光程對於小孔變化有一個連續增大或減小的過程。而N點各處的光程變化是很小的。而這就是N點的光場能影響到B點的關鍵所在。也就是他的斜率才是問題的關鍵。

可以看到斜率為0的附近，其光程的變化是非常緩慢的，那麼傳到B處的光振動的相位也基本相差無幾，這些光的振動互相之間加強，使得B點總體有了電磁波的振動。而有斜率的M點附近，他各處都有著不同光程，即使小孔很小，但由於光波長更小，所以這光程對光波振動具有較大相位偏移。這樣從M點來的光振動相位是連續變化的過程。

圖(4)

相位連續的變化使得對B點有的讓他向上振動，有的讓他向下振動，最後總的效果就消失了。

關於相位變化造成的影響有更適合的數學工具（矢量箭頭）更嚴密地分析，不過大概也就上面這個意思。

到這裡事實已經很明白了，使得光程斜率為0的附近位置的光對接受點的影響是最大的，因此它被認為是光線通過的位置。而斜率為0位置影響最大的原因，正是其附近的光到接受點的相位都差不多，使得振動沒有被削弱。這便是費馬原理的作用方式。而有一定光程-路徑斜率的地方附近的光總是在互相削弱，使得最後這些地方的場對接受點沒有影響。（其實並非完全沒有，有的地方通過積分可以遺留出一點加強的振動，因此在一定條件下我們開孔不在N點而在某個特別的位置仍然能照亮B點，在波動光學上B點可以看做是這個特別位置的次級衍射斑，它不符合費馬原理）。

為了讓更多的非相關專業人士讀懂此文，小編總結了以下6點：

我們看到上面的N點的特殊在於其光程在附近路徑中的變化率為0，而費馬原理也提到的是光程最短、最長或穩定，而不僅僅是光程最短，兩者剛好符合。

光程不等於路徑長度，而等於路徑長度乘以折射率，因此它跟光傳播的時間成正比。

從上面的解釋也可以看出為什麼波長越短粒子性越好，而聲音具有較長的波長，它的傳播不滿足費馬原理（經常可以拐彎）。

費曼的路徑積分原理試圖解釋了一些量子力學的現象，實際上路徑積分跟上面的解釋已經是很接近了。費馬原理是最小作用量原理，量子的最小作用量原理可能跟費馬原理有著深刻的聯繫，甚至連經典力學中的哈密頓原理我猜他們都有可能有著本質上的聯繫。

總地來說，從A到B的光是可以有無數種可能路徑的，只是那些不符合費馬原理的路徑來的光對B是沒有效果的，原因在於跟旁邊的路徑的光互相抵消了。

上面說明幾何光學中的光線是什麼，以及用小孔的位置標明光線的路徑的過程並非多餘。當我們伸出手放在某個合適的位置時，光會被擋住，這會讓我們認為光是沿某一路徑過來的。但事實要比我們認為的要複雜一點。激光束或者電筒束照亮的區域也可以代表光線，但本質用小孔位置來代表是一樣的。起初我想用泛函與變分解釋這個問題，突然想到這樣不能很好地說明問題，因為那時光線是什麼還沒搞清楚，才想到用小孔的位置來標示的。

via：裴冪許（知乎）

編輯：vivian

-----END------

「超級數學建模」（微信號supermodeling），數學乾貨、黑科學研究、科學趣史，只有你沒想過的，沒有理學派沒做過的！

投稿郵箱：supermodeling@163.com

TAG:超級數學建模 |

※光是如何知道哪條路線最短的？
※線條也是很瘋狂，有的是你不知道
※為什麼乾隆明知道和珅是巨貪，卻不處理他？
※你以為的「易烊千璽」是這樣的？只是你不知道而已！
※這些居然不是零食而是葯，你知道嗎？
※不知道鍋放哪？看看整理癖們是怎麼做的！
※秭歸，你知道是哪裡嗎？
※驚！這些居然不是零食而是葯，你知道嗎？
※他是不是真愛？作一下就知道了
※太不可思議啦，您知道這是怎麼回事嗎？
※我們唯一知道的，是不知道
※家暴不是缺少愛，是不知道如何愛！
※你知道，狗狗是怎麼理解離別的嗎？
※管理糖尿病的這些細節，你未必知道！
※刷牙也是有很多学问的，不知道你知道否？
※胃不舒服，怎么知道是不是胃癌？
※衣櫥竟然可以這樣打理，後悔沒早知道！
※你是否也知道？
※你一定要知道的文玩是盤而不是揉