亞歷山大·弗里德曼和現代宇宙學的起源

1925年英年早逝的弗里德曼堪稱大爆炸宇宙學之父.然而,他傑出的貢獻常常被誤解和低估.

90 年前,俄羅斯物理學家弗里德曼(1888—1925)首次闡述了愛因斯坦的廣義相對論存在非靜態的解.他發現這些解可以描述宇宙的膨脹、收縮、坍縮,甚至可能從奇點中誕生.

弗里德曼描述宇宙演化各種可能性的基本方程,是我們當前關於大爆炸和宇宙加速膨脹觀點的基礎.但是他的成果在一開始就遇到強烈的阻力,並且從那時開始也被廣泛的誤解.本文旨在以同時代的其他宇宙學理論,比如愛因斯坦、德西特、愛丁頓、勒梅特的理論為背景,澄清人們關於弗里德曼的宇宙學理論的一些持續存在的疑惑.

去年的諾貝爾物理學獎被三位觀測宇宙學家分享,這是因為他們發現目前的宇宙正在加速膨脹.因此,弗里德曼在1922年和1924年引入的可能情形之一對應著現實的世界.瑞典皇家科學院的關於2011年諾貝爾獎的科學背景文章引用了弗里德曼的論文.然而,令人遺憾的是它明顯曲解了弗里德曼的貢獻.

圖1 20世紀20年代初,亞歷山大·弗里德曼在蘇聯彼德格勒

早在1922年,弗里德曼就已經引入了最一般形式的度規,以及描述具有均勻質量密度氀的理想流體宇宙演化的「弗里德曼方程",從而建立了適合研究廣義相對論宇宙學的框架.他闡明了滿足廣義相對論的非靜態宇宙的全部三種情形.事實上,他引入了「膨脹宇宙"這個詞,並且估計的周期性宇宙的周期非常接近我們現在認為的宇宙大爆炸發生到今天所經過的時間.他在1924年發表了具有恆定負曲率的靜態和非靜態無限宇宙的論文,這又是一篇極具創新性的論著.

短暫的一生

弗里德曼出生於聖彼德堡,在該市的城市大學學習數學,在那裡參加過埃倫費斯特主持的物理學討論班.1910年畢業後,他主要從事應用於氣象學和空氣動力學的數學物理研究.

1914年第一次世界大戰爆發以後,弗里德曼服務於俄國空軍,在奧地利前線成為一名彈道學教官.他參加了幾次空中偵查飛行,並被授予十字勳章.1917年二月革命後,弗里德曼在烏拉爾山附近的彼爾姆獲得了他的第一個教授職位.

1920年俄國內戰結束,弗里德曼(見圖1)回到了自己的家鄉(此時已改名為彼德格勒),開始作為一位物理學家在地球物理觀測台工作.他很快成為該台的主任.他個人的主要研究方向是湍流和空氣動力學理論.但在同時,他還研究廣義相對論和量子理論.他於1925年9月因斑疹傷寒過早去世的前一個月,還進行了一次冒險的破紀錄氣球飛行,以收集高海拔的數據.

在當時的俄國,愛因斯坦1905年的狹義相對論已廣為人知.但是由於戰爭,對他1915年廣義相對論的了解被大大推遲了.不過,戰後不久,關於廣義相對論以及被愛丁頓通過1919年日食觀測證實的新聞在全俄科學界和公眾中引起了巨大轟動.1921年,歐洲科學出版物的恢複發行使得在彼德格勒的科學家可以了解到這些文獻.弗里德曼的成名之作是Zeitschrift für Physik 上的兩篇論文.在那裡他引入了現代宇宙學的基本思想———宇宙的幾何是演化的,甚至有可能源於一個奇點.

弗里德曼之前的廣義相對論

廣義相對論中基本的愛因斯坦場方程是

其中宇宙學常數λ是愛因斯坦希望找到場方程的靜態宇宙解而在1917年引進的.

為了尋找用具有均勻密度ρ和壓強P 的近似理想流體描述的均勻宇宙解,可以設T11=T22=T33=-P,T44=c2ρ,而其他非對角的元素都為零.為簡單起見,愛因斯坦考慮可以近似取P=0.

1922年前,已知僅有兩個簡單的解,一個由愛因斯坦給出,另一個由德西特給出.愛因斯坦的解中本來獨立的λ和ρ通過宇宙半徑r 聯繫起來.它要求λ=c2/r2並且ρ=2/(kr2).1917 年,德西特根據宇宙的平均質量密度為2×10-27g/cm3的估計得到r=8×108光年.愛因斯坦一度似乎已經實現了他的目標:尋找一個有限的靜態宇宙,其大小直接由它的質量密度來確定.然而,德西特找到的另外一個解給愛因斯坦潑了冷水.德西特的解代表一種不同的靜態宇宙,其質量密度為零,並且空間曲率是負的.在愛因斯坦的解中,所有空間中的點是等價的,但是德西特的空間有一個獨特的中心.

對愛因斯坦來說,德西特的解無法接受,因為它違背了「沒有物質慣性不能存在"的馬赫原理.但是這個解可以解釋天文學家1912年以來就發現的遙遠星系的光譜發生紅移的現象.

弗里德曼的宇宙

弗里德曼1922年的文章引用了愛因斯坦和德西特的原始論文,以及愛丁頓1920年的書Space,Time and Gravitation.弗里德曼沒有在愛因斯坦和德西特的解之間取捨,而是從更廣泛的角度來討論宇宙學解的問題.

弗里德曼強調,物理上所需要的空間均勻性並不要求宇宙必須是靜態的.對於均勻和各向同性的宇宙,他著眼於廣義相對論度規的最一般形式,發現場方程除了靜態解外,還存在一類新的非靜態的解.像愛因斯坦的解一樣,弗里德曼的解也具有空間是三維超球面這一特徵.但是球的曲率隨著超球面的半徑r(t)隨時間的變化而改變.r(t)滿足的常微分方程(現稱弗里德曼方程)

決定了宇宙的動力學.弗里德曼發現積分常數A=kρr3/3.這樣,它就正比於常數的宇宙總質量.

弗里德曼1922年文章的其餘部分是專門分析方程(2)的演化含義,將方程(2)對宇宙的半徑積分得到

如果取r是今天的數值,那麼t用弗里德曼的話來說就代表「從宇宙產生到現在的時間".

三種宇宙情形

方程(3)的右邊部分只有當三次項的分母

大於零時才有物理意義.這個條件定義了三種不同的宇宙演化情形:

(1)第一種圖像是如果C(x)沒有正根,這樣對於所有正的x,C(x)都是正的.這種情況發生在λ>4c2/9A2,也就是說,當宇宙學常數毸超過某些依賴於宇宙密度氀的臨界值時.在這種情形下,宇宙在t=0時刻從一個奇點r=0開始演化,並且宇宙的膨脹速率在拐點tf處從減速變為加速,在此時,rf=(3c2A/2λ)1/3.經過這個時刻,r 將以et√λ/3的漸近形式增長.弗里德曼稱這種圖像為「第一類單調(演化)的世界".

(2)第二種情形發生在0

(3)弗里德曼稱第三種圖像為「周期性世界".它源於2a情形或者λ≤0.這時C(x)只有一個正根x1,並且從0到x1之間C(x)是正值.宇宙從一個奇點開始,以遞減的速率膨脹,到達最大的半徑x1 處,然後收縮到零點.宇宙的壽命是有限的,以大坍縮的方式結束.假設宇宙的總質量是5×1021倍太陽質量,弗里德曼發現在他的周期世界裡宇宙的壽命將是1010年(大約是πA/c).

除了這三種主要的圖像外,弗里德曼還考慮了兩種特殊的極限情形,即當λ具有精確的臨界值λc=4c2/9A2時.此時C(x)就在x=3A/2處有兩個正根.在一種極限情況下,周期世界的膨脹周期變為無限長,逐漸地接近愛因斯坦解的靜態半徑.在另外一種情形下,弗里德曼的世界在λc時需要一個無限長的過去,漸近地從愛因斯坦的靜態半徑ri變化而來.這些極限情形下,像愛因斯坦的解一樣,λ的取值和ρ的取值綁定在一起,而在弗里德曼的更一般的情形下,這是兩個獨立的自由參數.

愛因斯坦的回應

當弗里德曼1922年的文章出現時,其主要思想被絕大多數人忽視或者拒絕了.愛因斯坦的即刻回應說明了非靜態的宇宙當時是如何不受歡迎.在他看來,合適的理論必須堅持宇宙具有明顯的靜態特性.

愛因斯坦最初認為弗里德曼的解是「可疑的".1922年的9月,愛因斯坦在Zeitschrift für Physik 上發表了一篇短文,提出弗里德曼的推導過程中可能存在一個數學錯誤.得知愛因斯坦的文章後,弗里德曼給他寫了一封長信闡述自己的推導過程.但是愛因斯坦正在進行環球的巡迴演講,直到1923年5月他返回柏林時才讀到弗里德曼的信件.那個月的晚些時候,弗里德曼的俄國同事克魯托夫在萊頓遇見了愛因斯坦,並向他澄清了誤解.因此,愛因斯坦迅速地在Zeitschrift für Physik 上發表了另一篇短文,承認弗里德曼結果的數學正確性.不過他評論說,「這個解沒有物理意義".但是,在最終校閱清樣的時刻,他明智地刪掉了這一不夠謹慎的評論.儘管如此,又經過了八年的時間,愛因斯坦才終於接受膨脹宇宙的想法.

弗里德曼第一個認識到單靠廣義相對論理論是不足以決定真實宇宙的幾何、拓撲或者運動學的.選擇其中的一種宇宙學解而不是其他的解必須根據於觀測事實.

無限的世界

不過,弗里德曼主要顧慮還在於宇宙是否有限,宇宙有限的觀念當時已根深蒂固.他堅持認為單從局域度規的特性無法解決問題.

弗里德曼發現了另外一個更令人驚嘆的論據,以破除宇宙必然是有限的的觀念.他試圖尋找廣義相對論是否允許無限體積的超雙曲面解的存在,這種解的空間曲率處處為負,由-6/r2給出.在這樣的空間中,每個點是一個鞍點.實際上,弗里德曼1924年的文章給出了肯定的答案:存在靜態和非靜態的解.

靜態解像德西特的解一樣,密度必須為零.非靜態的解有非零平均密度和負曲率,r(t)的演化與弗里德曼的正曲率解沒有區別.因此,不能簡單地通過測量密度ρ來確定宇宙的曲率.

愛因斯坦也沒有注意弗里德曼1924年的論文.1927年見到勒梅特時,他稱膨脹宇宙的想法是「令人厭惡的".但是隨著不斷增加的證據,特別是哈勃在1929年對遙遠星系的觀測,以及愛丁頓在1930年證明愛因斯坦的解即使有宇宙學常數也是不穩定的之後,他的看法才逐漸改變.

圖2 羅伯特·密立根(加州理工學院的執行理事會主席)、喬治·勒梅特和阿爾伯特·愛因斯坦於1933年在加州理工學院.勒梅特,一名神甫,是比利時魯汶天主教大學的物理學教授

1931年,愛因斯坦認識到了弗里德曼的成果,並且建議從廣義相對論中刪除自己的老冤家———宇宙學常數.愛因斯坦和德西特很快寫了一篇宣揚平直宇宙的文章,這恰恰是弗里德曼圖景的一種極限情況.現代的觀測還沒有發現宇宙尺度上偏離歐幾里德平直性的證據.事實上,這種平直性是今天被廣泛接受的暴脹理論所偏愛的.但是,未來更精細的觀測也有可能最終揭示弗里德曼所提出的正曲率或者負曲率.

勒梅特和哈勃

後人將「現代宇宙學之父暠這一頭銜主要賦予了勒梅特或者哈勃.歷史學家的爭論主要集中在勒梅特1927年的文章,在那篇文章中他引入了哈勃常數.奇怪的是,這部分內容在他1931年的英文版論文中被省略了.儘管如此,人們的共識是「哈勃"常數完全來自於勒梅特的想法.

勒梅特儘管不知道弗里德曼1922年和1924年的文章,但他擁有哈勃在1926年觀測的星系距離以及斯萊弗測量的41個旋渦星系光譜紅移的數據.

將每個星系的視向速度和哈勃估計的距離d 作圖,勒梅特假定它們相互成正比,並得到了比例常數的最佳擬合值H .他的主要貢獻是將H 和演化的非靜態的宇宙半徑r 通過rH =dr/dt聯繫起來.這當然是一個巨大的成就,然而,我認為不能因此就把他作為宇宙大爆炸之父.

事實上,勒梅特在他1927年的文章中錯過了大爆炸解.他重新發現了弗里德曼的方程,但是沒有考慮到所有可能的解.相反,他僅僅考慮了上面討論的C(x)有兩個正根的極限情形.他把那個根作為ri,即有一個有限的初始宇宙半徑,並要求λ取由宇宙總質量決定的臨界值.

在愛因斯坦於1927年將弗里德曼的文章介紹給他以後,勒梅特還有好幾年繼續堅持他的有限初始半徑的極端情形.直到1931年,他才開始考慮大爆炸的圖像.

證實和遺產

弗里德曼的三種情形中,早期人們偏愛的是周期世界.它允許宇宙多次誕生和死亡———讓人想起希臘和亞洲的輪迴哲學.但到了20世紀90年代初,宇宙學家一般認為宇宙是平坦的,其膨脹速率逐漸降低並趨於零,不存在宇宙學常數抵抗引力的作用.因此,1998年發現的宇宙加速膨脹是令人驚奇的,被認為值得在2011年獲得諾貝爾物理學獎.三位獲獎者———珀爾馬特、瑞斯和施密特領導的團隊發現了宇宙的加速膨脹,他們利用遙遠的1a型超星系作為標準燭光.但是,僅根據1998年的(超新星)結果還無法區分這是弗里德曼的哪一種情形.

判決性實驗使用了弗里德曼存在拐點的宇宙半徑rf的形式.在現代符號下,它可寫為

其中ΩM和ΩΛ毇是當前宇質和λ,都用暴脹宇宙所要求的臨界總能量密度進行了歸一化.根據近似的數值ΩM=0.3,ΩΛ=0.7,t=140億年,這些數值是通過綜合宇宙學數據得到的,方程(5)說明從減速到加速的拐點發生在約56億年以前.直到2004年,當瑞斯和他的同事通過測量宇宙減速時期的超高紅移的超新星證實了弗里德曼第一種模型的預測時,問題才得到了解決.

有一種傾向,認為弗里德曼僅僅是一名數學家,並不關心他自己發現的物理意義.但是即便弗里德曼在氣象學和空氣動力學上取得的巨大成就也足以說明這樣的觀點不符合事實.我認為,他的過早逝世使得人們低估和誤解了他對現代宇宙學的貢獻.

顯而易見,弗里德曼在勾畫大爆炸宇宙學輪廓的時候,比他的先輩們或者早期的繼任者,例如勒梅特走的更遠.他喜歡引用但丁的名言「我正在進入的海洋從未有人渡過".他是正確地將廣義相對論應用於宇宙學,引入膨脹宇宙可能誕生於一個奇點思想的第一人.而且,他最先認識到廣義相對論中存在一系列的宇宙學度規,並提醒物理學家,宇宙可能是負曲率並且無限大的.

然而,20世紀30年代以後,大爆炸理論幾乎完全被歸功于勒梅特.最終,人們聽到了俄國物理學家們為維護弗里德曼所取得成就的呼聲.雅科夫·澤爾多維奇寫道:「弗里德曼在1922—1924年發表了他的文章,那是一個非常艱難的時期.在載有弗里德曼1922年文章的同一期刊物中,就有請德國科學家們捐獻科學文獻給他們的蘇聯同行們的呼籲,後者由於革命和戰爭無法得到這些文獻.在這種艱苦條件下,弗里德曼的發現不僅是一個科學成果,更是人類的壯舉!"

本文選自《物理》2012年第10期

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