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1
某中國大學生髮現的反例
用f(n)表示可以用1和任意多個加號和乘號括弧表示出n所用1的最小的個數
如4=(1+1) ×(1+1)，所以f(4)≤4，進一步可以知道f(4)=4進一步再來求出：
可見f(n)的增長很慢……
是否有f(p)=f(p-1)+1，對p為某些數，如素數？ 不難驗證對p=2,3,5,7,11均成立，事實上，對於10萬以內的素數其均成立 。
猜想：對p為素數，f(p)=f(p-1)+1
2
素數生成公式(某常見編程題)
1772 年，Euler 曾經發現，當 n 是正整數時，n2+n+41似乎總是素數。事實上，n 從 1 一直取到 39，算出來的結果分別是：
43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601
猜想： n 是正整數時，n2+n+41均是素數
反例：n = 40 時，n2+n+41=412為合數
註：有沒有可能有一個整係數多項式P(n)，使得n為正整數時，P(n)均為素數呢？
先思考一下……
例子：如果P(n)為常值多項式，那麼P就有可能滿足要求，如P(n)=3那麼有沒有非平凡的例子呢，答案是沒有，素數的分布結構哪有那麼簡單。
證：假設這樣的一個多項式P(n)存在。那麼P(1)將是一個素數p ；
由於P整係數，故P(1+kp)≡P(1)(modp)，對k為正整數；
所以 P(1+kp)是p的倍數，又是素數，只能是p，所以P(x)=p有無窮多個根，與代數基本定理矛盾！
對於Euler所見的那種多項式也是很稀有的，事實上
若整係數多項式n2+n+k對n=0，1，……，k-2均為素數，其中k不小於2
（取n=0,可以知道k必須是素數）
其成立等價於這個二次函數的判別式的絕對值
為Heegner number
但是Heegner number 由Stark–Heegner theorem 有且僅有9個：
1，2，37，11，19，43，67，163
所以k只能取2，3，5，11，17，41
也就是說只有 n2+n+k，k=2，3，5，11，17，41才能對n=0，1，……，k-2均取值為素數
3
偽素數(經典例子)
群論中的Lagrange定理確保了Fermat小定理：
對a為正整數,p為素數有
但是其逆是否成立,我們來看a=2時,下方有一組值：
猜想：
能整除，當且僅當 n 是一個素數。這個猜想對n在1-200內均是沒有問題的。
反例：
取n=341 ，341 能夠整除，但n為合數，341=11×31！ ！
註：
根據 Fermat 小定理，如果 p 是素數，那麼 p 一定能整除 2^n – 2。
不過，它的逆定理卻是不成立的，上面提到的 341 便是一例。我們把這種數叫做以 2 為底的偽素數。
4
組合幾何中的反例
Borsuk s conjecture
一直討論數論問題會讓人有些疲憊。來看這麼一個組合幾何問題:
Karol Borsuk(就是那個證明了博蘇克-烏拉姆定理的數學家)在1932年證明了：
任何一個二維歐氏空間中的球體(二維球即圓盤)可以被剖分成3部分,每一部分的直徑嚴格小於球的直徑
一般地，d維歐氏空間中的球體可以被剖分成d+1個部分,每一部分的直徑嚴格小於球的直徑，對d為正整數
於是他猜想：
對n為正整數，n維歐氏空間中的每一個有界集合E,是否均可以劃分成n+1個子集，每一個子集的直徑均嚴格小於E的直徑？已經可以證明：n=2,3時是成立的。對所有的n,E為光滑凸集時，定理均成立(利用博蘇克-烏拉姆定理)。而對於高維情形，似乎無從下手。
反例：
1993 年Gil Kalai 和 Jeff Kahn找到n= 1325時，命題不成立，對n＞2014命題也不成立
註：
博蘇克-烏拉姆定理：
via：陸ZZ（知乎）
編輯：Vivian
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