梅森素數和費馬數並不孤獨

知識 08-28

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1.1梅森素數簡介

「梅森數」是能寫成「2的p次方減1」形式，且p是素數的數。如果梅森數恰好是一個素數，則是「梅森素數」。

素數是什麼?

先來複習下初中數學知識：素數也叫質數，是只能被1和自身整除的數，如2、3、5、7等等。公元前300多年，古希臘數學家歐幾里得用反證法證明了素數有無窮多個，並提出了少量素數可寫成2^P-1（其中指數P為素數）的形式,如3＝2^2-1、7＝2^3-1、31＝2^5-1等。此後許多數學家，包括數學大師費馬、笛卡爾、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等都研究過這種特殊形式的素數，而17世紀的法國數學家和音響學家馬林·梅森(Marin Mersenne）是其中成果最為卓著的一位。

就在2016年的第一個星期，美國密蘇里中央大學數學家柯蒂斯·庫珀發現了第49個「梅森素數」。

梅森素數和費馬數並不孤獨

柯蒂斯·庫珀

梅森素數和費馬數並不孤獨

1.2類似梅森數的數

式子為(x+1)^n-x^n，x和n是正整數，而且當n是質數時，此式子才可能是質數，當n取質數時，因子也一定是2kn+1的形式，和梅森素數性質一樣，這些都很容易證明。

當x=1時，就是梅森素數2^n-1的形式。

看起來很簡單，但是幾千年來都沒有人發現這個式子，因為人們固有思維里只知道2^n-1，當然我也是意外發現的。

這個網站是專門研究素數的，http://factordb.com，直接在搜索框輸入(x+1)^n-x^n搜索就行，x可以自己隨便輸入一個數字，然後點n，n就是變數。

舉幾個例子

(6+1)^2-6^2=13，(6+1)^3-6^3=127，(6+1)^7-6^7=543607，(6+1)^29-6^29=3183060102526390833854311

2.1費馬數簡介

費馬數是以數學家費馬命名一組自然數，把2^(2^n)+1記為Fn，Fn即為費馬數。

2.2類似費馬數的數

式子為(x+y)^(2^n)+x^(2^n)，x和n是正整數，y是奇數，很容易證明當x和y互質上述一般式才是質數，而且素因子也是2^(n+2) * k + 1的形式，和費馬數性質一樣。

當x和y等於1時，就是費馬數的形式2^(2^n) +1也可以在上面的網站輸入(x+y)^(2^n)+x^(2^n)，n取變數，其他為常數。

下圖是類似費馬數的幾個例子

梅森素數和費馬數並不孤獨

3.其他規律

對於(x+1)^n-x^n和(x+1)^n+x^n，當n取常數時，x取變數，還可以發現一個規律，對於每一個n，當x=a時有質因子q，那麼當x=a+kq時也肯定有質因子q，k是自然數。這樣對於(x+1)^n-x^n，n取素數，就可以用前邊項出現過的素因子篩選掉後邊不是素數的數了。對於(x+1)^n+x^n，當n取2^n，也就是(x+y)^(2^n)+x^(2^n)，同理可以篩選掉後邊不是素數的數。

下圖是 (x+1)^n-x^n，當n取3，x是變數的例子。

梅森素數和費馬數並不孤獨