譜寫了一部數學發展史

上方超級數學建模可加關注

傳播數學乾貨，學會理性的方式去思考問題

如何證明π>3.05？

其實π的計算歷史也是一部數學發展史。

?

π的定義

小學數學書上說，圓周率π是（歐幾里得）平面上圓周長和直徑的比。

這個定義有兩個問題。第一，圓周是曲線，曲線的長與直線的長是不同的；第二，任何圓的周長和直徑的比都一樣么。對於學了數列和極限的人，證明並不困難。

從圓的任一內接正多邊形出發，用任何方法，使他的邊數無限增加，那麼這些正多邊形的周長也有一個極限，這個極限是圓周長。

同理，我們還可以用面積定義π，原則上任何含π的公式都可以用來定義π，球的體積公式

，實際上這是單位元的面積

π的計算

（1）自古時至17世紀中期，此時代大都是求一個多邊形等於一個已知圓的努力，或用目前的初等教科書中所述的那樣純粹幾何的方法，求π的近似值，這種方法大家都知道（略）。

值得一提的是題目中的3.05，明末「四公子」之一的著名哲學家方以智，在通雅一書中有「徑十七周五十二率」的記載，由此他的π=52/17=3.0588

（2）自發明微積分起，解析幾何方法代替了古代的幾何法。

1671年，蘇格蘭數學家詹姆斯格雷戈里公開了他發現的公式：

但遺憾的是他當時始終沒有意識到這個公式為π的計算開闢了一個新的時代，令x=1得

1673年，萊布里茨發現了這個式子，後人稱之為「萊布里茨公式」，它標誌著用分析法中的反切式算π的開始。但是這個公式算π太慢，要求出3.14需要628項。不過用來證明也是可以的。

對各項絕對值單調減少的收斂交錯級數，只用到前面一些項計算它的和，會產生截斷誤差，不會超過被捨棄的第一項的值。

所以，

（π≥3.058）

這裡沒有用到泰勒展開式，因為泰勒此時還未出生。

1676年，牛頓發現了一個反正弦函數的展開式

他設式子中的x=1/2，就得到

並由此算出π至14位，要證明π＞3.05，只需要取前兩項即可

1706年，英國倫敦格雷斯漢姆大學天文學教授馬青發現了一個很重要的公式：

他分別將arctan1/5和arctan1/239用格雷戈里公式展開，由此計算到π的100位小數。他的公式被長期用於算π的優秀公式之一，以至於1949年人類第一次用電子計算機計算π時，也用到這個公式。

1755年，歐拉發現了

奧地利數學家喬治威加，用這兩個公式將π算到了143位小數，但只有前126位正確

歐拉還得到了

取前11項可得到π≥3.05，同理還有

利用第一項即得

1874年，中國清代數學家，清朝大臣曾國潘的次子曾紀鴻，左潛，黃宗憲等人在《圓率考真圖解》中曾記有求π的兩個反正切式，分別是

其後，曾紀鴻用了一個多月，求得π的100位小數。

1844年，德國數學家達什和斯特拉斯尼茨基，利用下面的公式將π算到了205位。

1949年，美國數學家史密斯和雷恩奇算出1121位π，創造了人工計算π的最高紀錄

1961年，山克斯用計算機，利用公式

算出10萬位。

（3）「沙-波法」即相關二次演算法，這種演算法基於幾何平均值，這種演算法產生的近似值收斂速度，比任何經典公式都快，簡述如下：

設a=1，b=1/√2 ，s=0.5，k=1,2,3,...計算

然後，πk平方地收斂於π。這就是說這個演算法的每次迭代大致使正確的位數加倍，特別的，各次迭代依次產生π的1,4,9,20,42,85,173,347和697個正確數字。為了將π算到4500萬個準確的十進位數字，只要25次迭代就足夠了。

（4）「橢圓積分法」

這種方法建立在橢圓積分變換的理論上，我們稱為「橢圓積分法」。而始作俑者就是印度傳奇的數學家拉馬努金，下面是拉馬努金公式：

不過，拉馬努金沒有給出公式的證明，直到1987年才由喬納森·波爾文和彼得·波爾文給出證明。這個公式只取前兩項就得到了6位準確π值。

1985年以來，橢圓積分法為一大批計算機算π提供了一新方法。

參考書目：《好玩的數學：說不盡的π》-------陳仁政

via：張沖沖（知乎）

編輯：Jade

------這裡是數學怪才會關注的號------

「超級數學建模」（微信號supermodeling），數學乾貨、黑科學研究、科學趣史，只有你沒想過的，沒有理學派沒做過的！

投稿郵箱：supermodeling@163.com

TAG:超級數學建模 |

※蛋炒飯學派發展簡史
※追尋數學大國的歷史脈絡——數學史專家李文林談中國數學發展
※「十三五」數學學科發展目標和可能取得突破的領域
※論中國史學譜系的層累和延展——兼論中國史學史體系的發展模式
※大數據時代史學的多元發展趨勢
※儒學的發展歷程
※密碼學的發展階段介紹
※傳統命理學發展簡史
※美髮行業歷史發展規律一
※發展最迅速的大學排行榜，第一出乎意料！
※康熙那麼愛學數學，為什麼沒有迎來科學大發展
※性愛的歷史發展史
※我國發布中醫藥「一帶一路」發展規劃
※古琴譜的發展歷史
※為了發展空間科學 中國都發射了哪些科學衛星
※述說科技美學發展史
※中國哲學史大階段的發展
※醫學漫畫：一分鐘了解癌症治療發展史
※十三五「力學學科優先發展領域