群論演化史精要
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來源：Israel Kleiner（以色列·克萊納，加拿大約克大學），The Evolution of Group Theory: A Brief Survey，Mathematics Magazine Vol. 59, No. 4 (Oct., 1986), pp. 195-215
Published by: Mathematical Association of America
漢譯：薛定諤貓，丁酉年初秋於梧桐山
本文給出群論演化過程的一個概貌。這源自一個堅定的信念，即：數學史可以成為數學教學中一個有用且重要的組成部分。這裡不是詳細說明歷史在教學中的作用的場所，或許給出一段相關的引語比較合適：
儘管數學史研究有其內在的魅力，但它主要的存在目的當然是啟發數學自身。例如，積分概念從阿基米德的體積計算到牛頓和萊布尼茲的直觀積分，最後到柯西、黎曼和勒貝格的定義，這樣逐步展開必定能促進對積分現代理論的更成熟理解。
——C.H.埃德沃茲
在一篇文章中展現像群論這樣宏大的一門學科的演變，需要嚴苛的挑選和簡化。也必須省略掉那些牽涉到群論的更廣泛內容，比如抽象代數和數學整體中更大範圍的普遍存在。我們會簡短地指出這些相通內容中的一部分。我們相信，保留下來的群論演變的發展關鍵點與主線，足以給讀者提供一個可以向各種方向擴展的有益開端。對此，參考文獻列表會很有用【譯註：譯文未包含參考文獻列表】。
群論入門課程中討論的內容包括主要概念、結果和理論，例如：（抽象）群、正規子群、商群、單群、自由群、同構、同態、自同構、合成群列、直積的概念；拉格朗日、柯西、凱萊、約當-赫爾德等定理；置換群和阿貝爾群理論。本文包含了群論入門課程內容來源的概要，與此同時我們還嘗試讓技術內容和背景信息及其解釋相稱。
我們對群論演變的概述將分成如下幾個階段：
1.群論的來源。
2.群的特殊化理論的發展。
3.群論中抽象化的出現。
4.抽象群概念的整理；抽象群理論的黎明。
5.群論發展的多樣化。
在按順序處理每個階段之前，我們想提一下數學整體上、尤其是代數學內的環境，因為群論是在代數學中發展的。關於群論演變的「故事」始於1770年並延伸到20世紀，但主要還是發生在19世紀。這個世紀的一般性數學特徵有一些影響到群論的演變，它們是：（1）更加關注嚴格性；（2）抽象化的出現；（3）公理化方法的重生；（4）數學作為無需參考、也無需客觀環境動機的一種人類活動的觀點。這些條目中每一條都值得深入的詳細闡述，但這超出了本文的目標和篇幅。
直到大約18世紀末期，代數學（很大部分）都是由多項式方程求解的研究組成的。而到了20世紀，代數學變成了抽象公理系統的研究。從所謂經典的多項式方程代數到所謂現代的公理系統代數，這個轉換髮生在19世紀。除了群論，還湧現出交換環、域、非交換環和向量空間的結構。它們都在各自發展著，而且有時跟群論協同發展。因此，如伽羅瓦理論，就涉及了群和域；代數數理論除了包含有交換環理論和域論，還包含了群論的元素；群表示理論是群論、非交換代數和線性代數的混合。
1.群論的來源
群論在演化過程中有四個主要來源。它們是（附上創立者的名字和起源年份）：
·經典代數（J.L.拉格朗日，1770）
·數論（C.F.高斯，1801）
·幾何（F.克萊因，1874）
·分析（S. 李，1874；H.龐加萊和F.克萊因，1876）
我們按順序來一個一個處理。
1.1經典代數
在1770年拉格朗日寫下他的基礎回憶錄《關於方程代數解的思考》（ "Réflexions sur la résolution algébrique des équations"）那個時代，代數中的主要問題是關於多項式方程的。有處理根的存在性和本質的「理論性」問題（如，是否每個方程都有一個根？共有多少根？它們是實數、複數、正數、負數？）和處理求根方法的「實踐性」問題。在後一情形中，有精確方法和近似方法。下面我們談談精確方法。
公元前1600年的巴比倫人就已經知道怎樣求解二次方程（本質上是完成配平方）。求解3次和4次方程的代數方法也在約1540年給出。接下來兩個世紀的主要課題之一是5次方程的代數求解。這正是1770年拉格朗日在其自己的論文中為其自己設置的任務。
拉格朗日在其論文中首先分析了各種已知的求解三次與四次方程的方法（歷史上先後由F.韋達、R.笛卡爾、L.歐拉和E.貝朱修訂過）。他證明了這些方法的共同特徵是這些方程到輔助方程（所謂的預解方程）的約減。後者比原方程的度數低1。接著，拉格朗日嘗試對任意度數n的多項式方程做類似分析。對每一個這樣的方程，他像下面這樣關聯一個「預解方程」：f(x)為原始方程，具有根x1,x2,...,xn。挑選一個關於f(x)的根與係數的有理方程R(x1,x2,...,xn)。（拉格朗日描述了這樣做的方法。）在f(x)的根x1,x2,...,xn的所有n!個置換下考慮R(x1,x2,...,xn)所取的不同值。如果它們記做y1,y2,...,yk，則預解方程就由g(x)=(x-y1)(x-y2)...(x-yk)給出。例如，如果f(x)是一個具有根x1,x2,x3,x4的四次方程，則R(x1,x2,x3,x4)可以取x1x2+x3x4，而這個函數假設在x1,x2,x3,x4的24個置換下具有3個不同的取值。因此四次方程的預解方程是一個三次方程。但是在對五次方程進行這種分析時，他發現，預解方程是6次的！
儘管拉格朗日沒有成功地解決五次方程的代數可解性問題，但他的工作是一個里程碑。這是第一次在一個多項式方程的解與其根的置換之間建立關聯。事實上，對方程的根的置換研究是拉格朗日的一般代數方程理論的基石。他推測，這形成了「方程解的真正原理」。（當然這一點被伽羅瓦證明是正確的。）儘管拉格朗日談論置換時並不考慮置換的計算（例如，沒有考慮其組成或閉包），但可以說，他的工作中是有群概念的萌芽的。
埃瓦里斯特·伽羅瓦（Evariste Galois，法國，1811.10.25-1832.5.30）
1.2數論
在1801年的《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）中，高斯總結並統一了當時已有數論的很大一部分。這個工作還提出了使數學家們忙碌了整個世紀的新方向。而對群論的影響是，《算術研究》一書可以說是啟動了有限阿貝爾群的理論。事實上，高斯確立了這些群的很多重要性質，但沒有使用任何群論術語。群以四種樣子出現：整數模m加群，與m互素的整數模m乘群，二元二次型等價類群，和n次單位根群。儘管這些例子出現在數論語境中，但高斯是把它們當做阿貝爾群來處理的，其中使用了現代代數證明的清晰原型。
例如，考慮模p（p為一個素數）非零的整數，高斯證明，它們是某一單個元素的所有冪次；也就是說，這些整數的群Zp*是循環的。而且，他確定了這個群的生成子數目（他證明了該數目等於φ(p-1)，其中φ為歐拉φ函數）。給定Zp*的任意元素，他定義了元素的階（沒有使用術語）並證明，一個元素的階必是p-1的一個因子。然後他使用這個結果來證明費馬小定理，即：p不能整除a則ap-1≡1 mod p，從而使用群論思想證明了數論結果。接下來他證明了，如果t是一個整除p-1的正整數，則Zp*中存在一個階為t的元素；這本質上是關於循環群的拉格朗日定理之逆。
關於n次單位根（考慮其與分圓方程有關聯），高斯證明了它們也形成了一個循環群。與這個群相關的是，他提出並回答了跟Zp*情形中類似的很多問題。
用二元二次型表示整數的問題可以追溯到17世紀早期的費馬。（回憶下他的定理：每個形如4n+1的素數都可表示成兩個平方數之和x2+y2。）在《算術研究》中，高斯花費了很大篇幅來詳盡研究二元二次型以及用這種形式表示的整數。（一個二元二次型是形如ax2+bxy+cy2的一個表達式，其中a，b，c為整數。）他定義了關於這種形式的一個複合，並註記：如果K和K1是兩個這樣的形式，那麼可以記其複合為K+K1。隨後他證明了，這個複合是可結合的和可交換的、它存在單位元、而且每一形式有其逆，從而驗證了一個阿貝爾群的所有性質。
儘管有這些非凡的見解，但不能就此推斷說高斯已經有了抽象群概念，哪怕只是有限阿貝爾群。雖然《算術研究》一書中的論證是相當通用的。但是他所考慮的每一類型的群都是分別處理的——他沒有統一他所應用到所有情形的群論方法。
1.3幾何
在此，我們要提到的是克萊因的著名而影響深遠的演講《對幾何學近期研究的一個比較述評》（A Comparative Review of Recent Researches in Geometry），1872年他在愛爾蘭根大學的就職典禮上所做。這個所謂的愛爾蘭根綱領的宗旨是把幾何分類為在各種變換群下不變數的研究。演講中出現了諸如射影群、剛性運動群、相似群、雙曲群、橢圓群等群，以及與之相關的幾何。（仿射群沒有被克萊因提到。）現在談一下產生克萊因的愛爾蘭根綱領的一些背景。
19世紀見證了幾何學的爆炸性增長，包括範圍上和深度上。新幾何學紛紛湧現：射影幾何、非歐幾何、微分幾何、代數幾何、n維幾何和格拉斯曼的擴張幾何。各種幾何學方法為主導地位而競爭：綜合對解析，度量對射影。在19世紀中期，一個主要的問題產生了，也就是，不同幾何學與幾何方法之間的關係分類和內在聯繫。這就產生了「幾何學關係」的研究，聚焦於研究變換之下幾何圖形不變數的性質。很快焦點就轉移到研究變換本身。因此圖形幾何關係的研究變成了相關聯的變換的研究。各種變換（例如，共線變換，圓變換，逆變換，仿射變換）成為專門研究的對象。隨後變換之間的邏輯聯繫也有人研究了，而這就通往了對變換進行分類的問題、並最終產生了克萊因對幾何學的群論綜合。
菲利克斯·克萊因（Felix Klein ，德國，1849.4.25-1925.6.22）
克萊因在幾何學中使用群是把秩序引入幾何學中的最終階段。而中間有個階段是建立首個幾何學分類的主要理論，即始於1850年代的凱萊-希爾維斯特不變數理論（Cayley-Sylvester Invariant Theory）。其中的目標是研究各種「形式」在其變數變換下的不變數。這個分類理論，作為克萊因愛爾蘭根綱領的先驅，可以說是暗含著群論分類的。當然，克萊因在幾何中是明確地使用群。（對於隱式群論思考導致克萊因愛爾蘭根綱領的一份徹底分析，見於文獻[33]。）在下面的§2.3中，我們會指出克萊因的愛爾蘭根綱領（和他的其他工作）對群論演變的意義。因為該綱領提出於拉格朗日工作的一百年之後和高斯工作的八年之後，所以其對群論的意義最好是在討論了始於拉格朗日和高斯的工作而終於1870年代的群論演變之後，才能更好理解。
1.4分析
在1874年，李引入了他的（連續）變換群一般理論，本質上就是我們今天所稱的李群。這樣的群是通過變換來表示的
xi =fi(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an), i=1, 2, . . . ,n,
其中fi是xi和ai的解析函數（ai是參數，xi和ai都是實數或複數）。例如，如下給出的變換
x =(ax + b)/(cx + d) ,其中a,b,c,d,是實數,並且ad-bc≠0,
就定義了一個連續變換群。
馬里烏斯·索菲斯·李(Marius Sophus Lie,1842.12.17-1899.2.18)
李自認為是阿貝爾和伽羅瓦的繼承者，在微分方程上做著前輩們在代數方程上做過的事情。他的工作是由如下觀察所激發的：幾乎所有微分方程在用老方法積分時，在可輕易構造出來的連續群下都保持不變。於是他被引向考慮在給定連續群下保持不變的一般微分方程，並研究這些從給定群的已知性質（參考伽羅瓦理論）得來的這些方程中可能的簡化。儘管李沒有實現「微分方程的伽羅瓦理論」的真正構想，但他的工作對於E.皮卡和E.威少特隨後歸納出這樣一個理論是奠基性的。
大約1876年，龐加萊和克萊因開始了關於自守函數及其關聯群的工作。自守函數（圓、雙曲、橢圓和其它初等分析函數的推廣）是單復變數z的函數，在某個定義域D上解析，並且在如下變換群
z =(az+b)/(cz+d), (a, b, c, d為實數或複數，並且ad-bc≠0)
或者該群的某個子群下不變。而且，問題中的群必定是「不連續的」（即，任何緊緻定義域只包含任一點的有限多個變換）。這種群的例子有關聯於橢圓模函數（其中a,b,c,d是整數，且ad-bc=1）的模群（modular group），和關聯於富克斯自守函數（其中a,b,c,d是整數，且ad-bc=1）的富克斯群（Fuchsian groups）。跟克萊因的愛爾蘭根綱領的情形一樣，我們將在§2.3中探索這些工作對群論的後果。
2.群的「特殊化」理論的發展
在§1中我們列出了群論演化的四個主要來源。第一個來源，經典代數，產生了置換群理論；第二個來源，數論，產生了阿貝爾群理論；第三和第四個來源，幾何與分析，產生了變換群的理論。我們現在來概述這些特殊化理論裡面的一些進展。
2.1置換群
如前所述，拉格朗日在1770年的工作啟動了置換的研究連同方程解的研究。這很可能是數學中隱式群論思考的首個清晰實例。它直接導致了P.魯菲尼、阿貝爾和伽羅瓦在19世紀頭三分之一時間的工作，以及置換群的概念。
魯菲尼和阿貝爾基於拉格朗日的預解式思想證明了五次方程的不可解性。拉格朗日證明了，一般n階多項式方程可解的必要條件是存在度數低於n的預解式。魯菲尼和阿貝爾證明了，這種預解式對於n>4都是不存在的。在這個過程中他們發展出相當大量的置換理論。但是，是伽羅瓦做出了根本性的概念進展，並且被很多人認為是（置換）群論的奠基者。
伽羅瓦的目的遠遠超出了找出方程可解性的一種方法這個問題範圍。他關心從一般原理中獲得見解，不滿足於使用前輩們的方法：「從本世紀初開始，」他寫道，「計算過程變得如此複雜，使得用這種方式取得任何進展都變得不可能」。
伽羅瓦認識到伽羅瓦理論（也就是，域和群之間的對應）與其對方程解的應用之間的分離，因為他寫道，他正在提出這個理論的「一般原理和僅僅一個應用」。「很多伽羅瓦理論的早期評論者沒能認識到這個區分，而這導致了以犧牲理論為代價來強調應用」（Kiernan）。
伽羅瓦第一個在技術意義上使用「群」這個術語，對他來說這代表著乘法封閉的置換集合：「如果一個群里有替換S和T，那麼必然有替換ST」。他意識到，一個代數方程最重要的性質反映在唯一關聯到這個方程的群的某些性質中，這個群稱為「方程的群」。為了描述這些性質，他發明了正規子群的基本概念並用它發揮了巨大作用。當預解方程問題佔據著拉格朗日、魯菲尼和阿貝爾的時候，伽羅瓦的基本思想是忽略他們，因為預解式的構造需要巨大的精力並且不是基於清晰的方法學。相反，伽羅瓦指出預解式的存在等價於方程的群中素數指數正規子群的存在。這個見解將對預解方程的考慮轉移到了方程的群及其子群上。
伽羅瓦定義一個方程的群如下：
令給定方程及其m個根為a,b,c,...。那麼就存在字母a,b,c,...的一個置換群，它具有如下性質：1）每個根的函數，只要在群的替換下不變，就是有理已知的[也就是，是係數及其毗連量的有理函數]。2）反過來，每一個根的函數，只要能表達為有理式，就是這些替換下的不變數。
定義是說，本質上，方程的群是由方程根的這些置換組成，這些置換使方程係數域上根之間的關係不變；基本上就是我們當今給出的定義。當然定義不能保證這樣一個群的存在，所以伽羅瓦進一步做了論證。伽羅瓦接著研究了，將新元素加入到「基礎域」F時群怎樣變化。對此，他的處理驚人地接近在近世代數教材中的標準處理。
伽羅瓦的工作被理解和消化的很慢。事實上，它完成於約1830年，並在著者死後由劉維爾出版於1846年。在他的技術性成就之外，伽羅瓦「以兩種方式挑戰了數學的發展。他發現了定理但沒有證明，這就需要基於新的複雜概念和計算來證明。還有就是，填補其工作漏洞的任務需要對其方法及其群論本質從根本上澄清」（Wussing）。
在19世紀上半葉對置換理論的另一個主要貢獻者是柯西。在1815和1844年的幾篇主要論文中，柯西開創置換群理論為一個自治的學科。（在柯西之前，置換不是一個獨立的研究對象，而只是研究多項式方程解的一個有用手段。）儘管柯西很清楚拉格朗日和魯菲尼的工作（伽羅瓦的工作那時還沒發表），但是維辛（Wussing）提出，柯西「肯定沒有直接受同時代的代數方程解的群論歸納所激發」。
在這些工作中，柯西首次系統地發展了置換群學科。在1815年的論文中，柯西使用了沒有特定名稱的乘法封閉置換集。但是，他認識到其重要性並給這樣一個封閉集中的元素個數起了個名字，叫做「diviseur indicatif」。在1844年的論文中他定義了由某些元素生成的置換群的概念。
給定涉及某些或全部元素x,y,z,...的一或多個替換，我稱這些替換的乘積（自乘或他乘，以任意順序）為衍生替換。給定替換跟衍生替換一起，形成了我所稱的共軛替換系（system of conjugate substitutions）。
在這些影響深遠的工作中，柯西對置換理論的術語、概念和結果進行了一些永久的補充。例如，他引入了我們今天所用的置換概念xyzxzy，以及置換的循環概念；定義了置換的乘積，置換的度，循環置換，轉置；認識到恆等置換是一個置換；討論了我們現在稱為兩個群的直積的對象；並且深入探討了交錯群。這裡是他證明的一些結果的樣例：
（1）每個偶置換都是3-輪換之積。
（2）如果素數p是一個群的階的因子，則存在階為p的子群。（這就是現在著名的「柯西定理」，儘管它也被伽羅瓦不加證明地陳述過。）
（3）決定了S3,S4,S5,S6的所有子群（在S6中犯了一個錯誤）。
（4）與給定置換可交換的所有置換形成一個群（一個元素的中心化子）。
應該指出，所有這些結果都是在置換群的語境下給出和證明的。
這兩條發展線的圓滿成就，伽羅瓦與柯西的盛大主題交響樂，是約當在1870年的重要且有深遠影響的論文《關於替換和代數方程的論述》（Traite des substitutions et des equations algebriques）。儘管作者在前言中說「這個工作的目的是發展伽羅瓦的方法，並通過展示它能用何種手段解決方程理論的所有原理性問題，來使之成為一個真正的研究領域。」事實上群論自身形成了研究的核心對象，而不是作為方程可解性理論的一個支脈。
卡米爾·約當（Camille Jordan，1838.1.5–1922.1.22）
基於關鍵思想努力進行數學上的整合是約當以及大量同時期其他數學家（如克萊因）工作的一個顯著特徵。看來對約當而言，（置換）群的概念就提供了這樣一種關鍵思想。他用他的方法能統一展示伽羅瓦、柯西及其他人的成果。他把群概念應用到方程論、代數幾何、超越函數和理論力學上；這也是統一與綜合主題的一部分。「在他的書中，約當穿梭於代數幾何、數論和函數理論之間尋找感興趣的置換群」（Klein）。事實上，其主旨是調查所有數學領域，看哪些領域是置換群理論可以或看起來可能應用上的。「這項工作代表著……從置換論形式下群論思維發生的角度，對當代數學的整體綜述」（Wussing）。
《論述》（Traité）一文具體表達了當時約當群論文章的大多數內容（他在1860年-1880年期間寫了30多篇群論文章），並將注意力投向大量困難問題，引入很多基本概念。例如，約當明確了（置換）群的同構和同態概念，首次在技術意義上引入了術語「可解群」，引入了合成群列的概念，並證明了約當-赫爾德定理的一部分，也就是兩個合成群列中的指數是相同的（這時商群的概念並未被明確認識到）；而且他對置換群的傳遞性和本原性進行了非常徹底的研究，所得到的結果大多數至今仍未被取代。約當還給出了n>4時An是單群的證明。
論著的一個重要部分致力於研究線性群及它的一些子群。在現代術語中，這些群構成了所謂的典型群，即一般線性群、幺模群、正交群和辛群。約當只在有限域上考慮這些群，並證明了其在某些情形下的簡單性。不過應該注意到，他認為這些群是置換群而不是矩陣或線性變換群。
約當的《論述》是群論演變的一個里程碑。但他的置換論觀點很快被變換群（見下面的§2.3）的群概念所壓倒。「《論述》標誌著置換論群概念的演化與應用的一個停頓。它表明了約當深切期望影響當時數學的概念綜合。他試圖通過依賴置換群概念來達成這樣一種綜合，接著的數學發展階段證明這是不恰當的限制，這既是《論述》一文的榮耀所在，也是其局限性所在……」（Wussing）。
2.2阿貝爾群
前面已經提到，阿貝爾群理論的主要來源是數論，始於高斯的《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）。相比於置換論，數論中的群論模式仍是隱含的，這樣一直到大約19世紀後三分之一時期。在那之前沒有顯式使用過術語「群」，更沒有聯繫到當時繁榮的置換群理論。下面給出數論特別是代數數論中某種程度上蘊含群論工作的一個樣例。
代數數論產生於費馬有關方程xn+yn=zn的猜想、高斯的二元二次型理論和高次互反律。代數數域及其算術性質是主要研究對象。在1846年，G.L.狄利克雷研究了一個代數數域中的單位，並確立了（用我們的術語來說）這些單位構成的群是一個有限循環群和一個有限秩的自由阿貝爾群的直積。大約就在同時，E.庫默爾引入了他的「理想數」，在上面定義了一個等價關係，並為分圓域導出了等價類數目的某些特殊性質（所謂分圓域的類數；在我們的術語中即，分圓域的理想類群的階數）。狄利克雷更早還做出了二次域的類似研究。
在1869年，高斯曾經的學生謝林，研究了高斯的二元二次型等價類（群）的結構。他發現了某些基本類，從中可以複合得到所有形式的類。用群論術語來講，謝林發現了二元二次型等價類阿貝爾群的一個基。
克羅內克將庫默爾在分圓域上的工作推廣到了任意代數數域。在1870年的一篇名為《理想類特性的統一論述》（Auseinandersetzung einiger Eigenschaften der Klassenzahl idealer complexer Zahlen）的代數數論論文中，他採用一種非常抽象的觀點來開始：他考慮任意「元素」構成的有限集，並在上面定義了一個滿足特定規律的抽象運算，這些規律我們在今天來看就是有限阿貝爾群的公理：
令θ",θ ,θ ,…為有限多個元素，滿足用任意兩個可以以一定的過程來關聯到第三個元素。因此，如果記這個過程為f並且θ ,θ 為兩個（可能相等）的元素，則存在θ" 等於f(θ ,θ )。進一步，f(θ ,θ )=f(θ ,θ )，f(θ ,f(θ ,θ ))=f(f(θ ,θ ),θ )，並且如果θ ≠θ ，則f(θ ,θ )≠f(θ ,θ )。這樣，我們就可以用乘法θ ·θ 來替換f(θ ,θ )，只要我們用等價來替代相等。因此使用通常的等價符號「~」，我們定義等價θ"·θ ~θ 為等式f(θ ,θ )=θ 。
在給定一個有限阿貝爾群的隱式定義的過程中，克羅內克旨在得出「批量」的組合律。從上述抽象考慮中，克羅內克推導出如下結果：
1）如果θ是所討論集合的任一「元素」，則θk=1，對於某個正整數k。如果k是滿足該條件的最小數則稱θ為「屬於k的」。如果θ屬於k且θm=1，則km。
2）如果一個元素θ屬於k，則對k的任一因子都有元素屬於該因子。
3）如果θ和θ分別屬於k和k ，並且k與k 互素，則θθ 屬於kk 。
4）存在元素θ1,θ2,θ3,…的一個「基礎系統」，滿足：表達式θ1h1θ2h2θ3h3…(hi=1,2,3,……,ni)正好表示出給定集合的每個元素各一次。n1,n2,n3,…分別是θ1,θ2,θ3,…所屬的正整數，並且每一個都被其後繼整除。乘積n1n2n3…等於集合元素總數。
當然，上述可解釋為有限阿貝爾群的著名結果；特別是4）可認為是這種群的基本定理。一建立起這種通用框架，克羅內克就把它應用到二元二次型等價類和理想類的特殊情形。他指出應用4）到前者上即可得到謝林的結果。
儘管克羅內克並未把他對有限阿貝爾群的隱含定義關聯到他很清楚的、（那時）已經確立的置換群概念，但他明顯認識到了他所採用的抽象觀點的好處：
極簡原則……不僅用於這裡的語境，而且頻繁用在其他地方——甚至在數論的基礎部分。這表明，而且也容易看出，這些原則屬於一個更一般且更抽象的思想境界。因此恰當的做法是把其發展從所有非必要的限制中解放出來，因此使得將之應用到不同情形時不必重複相同的論證。而且，當進行儘可能容納的一般性陳述時，陳述得到了簡化，因為在解說中只要透明地放入真正關鍵的特徵。
上述發展線被弗羅貝紐斯（G.Frobenius）和斯蒂克爾貝格（L.Stickelberger）在1879年的一篇名為《關於可交換元素的群》（on groups of commuting elements）的重要論文所涵蓋。儘管建立在克羅內克工作的基礎上，但他們顯式使用了阿貝爾群的概念，而且進一步做出了重要推進，認識到了：抽象群概念包括了同餘和高斯的二次型複合，還有伽羅瓦的替換群。（他們還在腳註中提到無限階群，即數域的單位群和所有單位根的群。）他們的主要結果之一是證明了有限阿貝爾群基本定理，包括分解惟一性證明。很有意思的是，把他們對定理的顯式「現代」歸納跟克羅內克上面的結果做個比較：
一個群，如果不是不可約的（不可分解的），則可純粹地分解為不可約因子。作為一個規則，這樣一種分解可以用多種方式完成。但是，不管以何種方式進行，不可約因子的數目總是相同的，而且兩個分解中的因子可以配對，使得對應因子有相同的階。
他們繼續確定了不可約因子為素冪次階數的循環群。他們應用這個結果到代數數域中的整數模m群、二元二次型群和理想類群。他們的論文是「一個非凡的工作片段，在其自身的根基上以接近現代觀點的方式建立起了獨立的有限阿貝爾群理論」。
2.3變換群
跟數論中一樣，在幾何與分析中，群論思想還是隱含的，直到19世紀後三分之一時期。同時，克萊因（和李）在幾何中顯式使用群，在概念上而不是技術上影響了群論的演變，因為它標誌著該理論發展中的一次真正的轉移，從專註於置換群轉移到研究變換群。（當然這並不意味著，置換群就不再研究了。）在指出有限群到無限群的轉變這一點上，這種轉移也是重要的。
格奧爾格·弗羅貝紐斯（Ferdinand Georg Frobenius，德國，1849.10.26–1917.8.3）
克萊因指出了他的工作跟置換群的聯繫，還意識到他正在踏上新征程。他說道，伽羅瓦理論和他的綱領的共同點在於對「變化的群（groups of changes）」的研究，但補充說道「當然，變化所應用的對象是不同的：那裡[伽羅瓦理論]處理的是有限多個離散元素，而這裡處理的是一個連續流形的無窮多元素」。為了繼續類比，克萊因指出，正如那裡有置換群論，「我們強調變換理論，研究給定類型變換生成的群」。
克萊因避開了群論的抽象觀點，而且甚至他的（變換）群技術定義也是有缺陷的：「現在令給定變換序列A,B,C,……如果該序列具有如下性質：任意兩個變換的複合產生一個也屬於該序列的變換，則後者也稱為一個變換群」。但是他的工作大大擴展了群的概念和在其它數學領域中的應用。克萊因做了很多工作來推動群論思想在數學中是基礎性的這一觀點：「群論是貫穿所有現代數學的一個獨特學科。它作為一個排序和分類原理滲透到各種領域」。
還有另一種語境下，群也關聯到幾何學，即，使用幾何對象的運動或變換作為群元素。在1856年哈密爾頓已經（隱含地）考慮過常規固體的群。約當在1868年處理了三維歐氏空間運動群的所有子群的分類。而1884年克萊因在其《關於二十面體的講座》（Lectures on the Icosuhedrotz）中通過二十面體對稱群的手段「解出了」五次方程。從而他發現了常規固體旋轉群、多項式方程和複變函數論之間的深刻聯繫。（在這些講座中還出現了「Klein 4-group」。）
在1860年代晚期，克萊因和李已經開始聯合「研究被變化之群[groups of changes]變換到其自身的幾何或分析對象」。（這是克萊因在1894年對其計劃的回顧性描述。）雖然克萊因集中於離散群，但是李研究了連續變換群。李意識到了連續變換群的理論是集合與微分方程中的一個非常強有力的工具，並且它給自己設定了「決定所有這些[連續]變換群的任務」。他在1880年代早期完成了對這些群分類的目標。早前幾年龐加萊和克萊因獲得了不連續變換群的分類。
在不連續與連續變換群領域的技術成就之外（兩個領域都發展出恢弘的理論，而且直到今天都仍是活躍的研究領域），在這些理論建立的意義在於：
（1）它們大大擴展了群概念的範圍——從置換群和阿貝爾群擴展到變換群；
（2）它們提供了無限群的重要例子——之前研究對象只有有限群；
（3）它們大大擴展了群概念應用的範圍，包括數論、代數方程論、微分方程論（常和偏）以及函數論（自守函數，複函數）。
所有這些都發生在抽象群概念出現之前。事實上，這些發展促進了抽象群概念的出現，下面我們就來描述。
3.抽象群論的出現
群論抽象觀點出現得很緩慢。從1770年拉格朗日隱蔽的群論工作算起，抽象群概念演化花費了100年。貝爾（E.T.Bell）將這個向抽象化與公理化演進的過程辨析為幾個階段：
整個發展花費了大約一個世紀。其進展過程是近代任何主要數學學科演化的典型情況；首先孤立現象的發現，然後某些共有特徵的認識，接著尋找進一步的實例、其詳細計算和分類；而後出現進一步計算的通用原理，除非一些固定的應用所需，否則深入計算是多餘的；而最後是公設的歸納，以抽象形式結晶出所研究系統的結構。
儘管有某種程度的過度簡化（跟所有這些推廣所傾向的一樣），但這是一個有用的框架。事實上，在群論的案例中，首先是孤立的現象——例如，置換、二元二次型、單位根；然後認識到普遍特徵——有限群的概念，包羅了置換群和有限阿貝爾群（參考§2.2引用的弗羅貝紐斯和斯蒂克爾貝格的論文）；接著尋找"其他實例」——該情形中是變換群（見§2.3）；而最後「公設」歸納——該情形中就是群公設，包括了有限和無限情形。現在考慮這個抽象過程的中間和最後階段是何時、怎樣發生的。
阿瑟·凱萊（Arthur Cayley，英國，1821.8.16—1895.1.26）
在1854年，凱萊在一篇名為《依賴符號方程θn=1的群理論》（On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn=1）的論文中，給出了有限群的首個抽象定義。（1858年，戴德金在哥廷根的伽羅瓦理論講座中給出了另一個。）下面是凱萊的定義：
符號1,α,β,…的集合，所有符號各不相同，並滿足任意兩元素的乘積（不論其何種順序），或者其自身乘積，都屬於該集合，則稱該集合為一個群（group）。
凱萊繼續說道
這些符號一般不是可交換的(convertible[commutative])，但是是可結合的。
並且
它服從：如果整個群被符號中任一個所相乘，不管是更遠還是更近的因子（即，左或右），效果只是複製了群。
隨後凱萊提出了群的若干例子，如四元數（在加法下），可逆矩陣（在乘法下），置換，高斯的二次型和橢圓函數論中產生的群。接著他證明了每一個抽象群（以我們的術語而言）都是同構於一個置換群的，這個結果現稱為「凱萊定理（Cayley s theorem）」。他看起來很清楚同構群的概念，雖然他並未顯式定義它。但是他引入了（有限）群的乘法表，並斷言：一個抽象群由其乘法表決定。隨後他繼續決定了所有的4階和6階群，通過展示乘法表證明了兩個階數上各有兩個群。而且他指出，階為n的循環群「在各方面都類似於通常的方程xn-1=0的根系統」，而且對一個給定的素數階，僅存在一個群。
凱萊的目標指向群的抽象觀點——群論演變這個時點上一個了不起的成就，這至少部分歸於對布爾（G.Boole）抽象工作的接觸。關注數學的抽象基礎在1840年代已經是布爾、凱萊和希爾維斯特這個圈子的特徵。但凱萊的成就只是個人的成功。他對群的抽象定義在那時並未引起注意，儘管凱萊已經很著名了。數學界看起來還沒準備做這種抽象：置換群是僅有的嚴肅研究下的群，而更一般意義上，數學的正式方法仍在它的襁褓期。正如M.克萊因（Morris Kline）以其獨特的方式所形容的：「早產的抽象落下了個耳聾，不管是屬於數學家還是屬於學生。」
直到25年後，抽象群概念才紮下根。而且還是凱萊在他1878年寫的4篇群論短文中回到了他在1854年採取的抽象觀點。這裡他陳述了找出給定階的所有群的一般性問題，並證明任何（有限）群同構於置換群。但是如他所標註的，這「無論如何都不是證明說，對待一般問題的最佳或最容易模式從而就是把它當做替換問題；而看來很清楚的是，更好的路線是考慮一般問題自身，並從中推導出替換群理論」。不再像1854年，凱萊的這些論文激發了大量的群論基礎工作。
安里西·馬丁·韋伯（Heinrich Martin Weber，德國，1842.3.5–1913.5.17）
另一位在群論中（和更一般的代數學中）推動了抽象觀點的數學家是韋伯（H.Weber）。有興趣來看一看他在1882年二次型的一篇論文中對抽象（有限）群的「現代」定義：
h個任意元素θ1,θ2,……,θh的系統G稱為度數為h的一個群，如果它滿足下述條件：
1）通過某些記為符合或乘法的規則，從同一系統中任兩個元素可以衍生出同一系統中的一個新元素。記為θrθs=θt。
2）總是成立：θrθsθt=θrθsθt=θrθsθt。
3）從θθr=θθs或θrθ=θsθ可得出θr=θs。
那時抽象群的韋伯定義及其他定義只應用到了有限群。因此它們囊括了置換群和（有限）阿貝爾群兩個理論，它們是分別從經典代數（多項式方程）和數論兩個來源衍生出來的。來自（不連續和連續）變換群的無限群未被包含到這些定義中。是梵戴克（W. von Dyck）在其1882年的一篇重要而有影響力的論文《群論研究》（Group-theoretic studies）中首次有意識地包含和整合了抽象群論的所有主要歷史根源——代數、數論、幾何和分析。用梵戴克自己的話說：
下述研究的目的是用抽象公式繼續研究群的性質。尤其是，這會帶來這些性質多大程度上在群的所有不同實現中具有不變特徵的問題和是什麼造成精確決定其本質群論內容的問題。
抽象群的梵戴克定義，包括了有限和無限情形，是用生成子（他稱之為「操作」）和定義關係（該定義有點長）給出的。他強調，「這樣的話所有……同構群都包含在單個群中」並且「一個群的本質不再用其運算的一種特殊表示而用其相互關係來表達」。隨後他繼續構造了n個生成子的自由群，並（在本質上，沒有使用術語）證明了每個有限生成群都是一個有限秩自由群的一個商群。從群論公設觀點看，重要的是梵戴克最先明確在其群的定義中提出逆元的存在性：「我們要求考慮，一個群包含運算Tk時必須也包含其逆元Tk-1。」在第二篇論文中（1883年）梵戴克將其對群論的抽象發展應用到了置換群、有限旋轉群（多面體的對稱）、數論群和變換群上。
儘管群的各種公設出現在接下來二十年的數學文獻中，但是群論的抽象觀點並沒有得到普遍稱頌。特別是，F.克萊因，群論發展的主要貢獻者之一，認為「抽象歸納對於得出證明是極好的，但無助於發現新思想和方法」，並補充道「一般來說，[抽象]方法的缺點是它無法鼓勵思考」。
儘管有克萊因的保留態度，但那時候（1880年代早期）的數學界對抽象歸納是接納的（參考對1854年定義的響應）。這種接納性的主要原因是：
（1）現在有若干種主要的具體群理論——置換群、阿貝爾群、不連續變換群（有限和無限情形）和連續變換群，而這樣做有助於抽象其本質特徵。
（2）群在數學的各種領域中起核心作用，如代數的不同部分、幾何、數論和分析的若干領域，而群的抽象觀點被認為能澄清什麼對這些應用是本質的，並提供進一步應用的機會。
（3）加上對數學集合論與數理邏輯的滲透，正式方法開始在其他數學領域流行，例如，幾何與分析的各種領域。下一節我們將非常簡短地追隨下群論抽象觀點的演變。
亨利·龐加萊（Jules Henri Poincaré，1854.4.29—1912.7.17）
4.抽象群概念的鞏固；抽象群論的黎明
抽象群概念在1880年代和1890年代快速傳播，儘管在置換與變換群領域仍有大量論文出現。抽象觀點以兩種方式出現：
1）在「具體」群的背景中引入和證明的概念和結果現在以抽象背景來重新歸納和證明；
2）源於和基於抽象背景的研究開始出現。
前一情形的一個有趣例子是弗羅貝紐斯在抽象背景下對西羅定理的重證明，西羅定理在1872年由西羅對置換群做了證明。這是在1887年的一篇論文《西羅定理的新證明》（Neuer Beweis Sylowschen Satzes）中完成的。儘管弗羅貝紐斯承認，每個有限群都可表示為一個置換群這個事實就證明了西羅定理必定對所有有限群是成立的，不過他希望抽象地建立這個定理：「既然所有這些證明中都引入了的對稱群，而對於西羅定理的環境來說是完全不相容的，那我就嘗試來給它找出一個新的推導……」（對於西羅定理相關的群論抽象演變的一個案例研究可見[28]和[32]。）
赫爾德是抽象群論的一個重要貢獻者，並抽象地引入了大量群論概念。例如，在1889年他介紹了商群的抽象概念（「商群」首見於輔助方程的伽羅瓦群，後來作為一個同態像，而只有到了赫爾德世代才作為陪集的群），並完成了約當-赫爾德定理的證明，即合成群列中的商群在同構意義下不變（對於約當的貢獻，見§2.1）。在1893年關於階p3, pq2, pqr和p4的群的一篇論文中，他抽象地引入了群的自同構概念。赫爾德還首先抽象地研究了單群。（先前它們在具體案例中被考慮過——如置換群、變換群等等。）正如他所說，「讓人最感興趣的是能否調查所有有限操作的單群」（赫爾德的「操作（operations）」意思是元素。）隨後他繼續決定了階在200以內的單群。
另一些抽象背景下的研究案例是戴德金和米勒在1897/1898年關於哈密爾頓群的論文——哈密爾頓群是左右子群皆正規的非阿貝爾群。他們（獨立地）抽象刻畫了這類群，並在此過程中引入了兩元素的交換子概念與交換子群的概念（約當先前引入了兩個置換的交換子概念）。
群特徵理論和有限群表示論（分別由弗羅貝紐斯和伯恩賽德/弗羅貝紐斯/莫林在19世紀末創建）也屬於抽象群論的領域，因為他們用於證明關於抽象群的重要結果。
儘管抽象群概念到19世紀末時已經很成熟，但「這並不是通過論文、教科書、專著和講座中相關方法的廣泛接受來完成的。基於抽象群概念的群論專著直到20世紀初才出現。它們的出現標誌著抽象群論誕生」（Wussing）。
最早完全致力於抽象群論的專著是J.A.塞吉埃的《抽象群論基礎》（Elements of the Theory of Abstract Groups）一書。書的一開始就是基於康托爾工作的集論介紹：「塞吉埃可能是第一個注意到康托爾的不可數基數發現的代數學家」（B. Chandler and W. Magnus）。接著是介紹帶有雙邊消除律的半群概念，並證明有限半群是群。還有一個是通過反例手段證明了群公設的獨立性。塞吉埃的書還包含了對同構、同態、自同構、群分解為直積、約當-赫爾德定理、第一同構定理、阿貝爾群及其基定理、哈密爾頓群、以及最後p-群理論的討論。所有這些都是在抽象中完成的，而「具體」的群歸入附錄。「塞吉埃的風格迥異於戴克。沒有直覺性考慮……也沒有傾向於盡可能抽象和一般……」（Chandler & Magnus）。
塞吉埃的書很大程度上致力於有限群。而第一本一般地處理群論、把有限群歸為特定章節的抽象專著是O.施密特在1916年的《群的抽象理論》（Abstract Theory of Groups）。施密特是群論的俄羅斯學派的奠基者，他把其書的前四章用在有限和無限群共有的群性質上。有限群的討論被延後到第五章，而全書總共有十章。
5.群論發展的多樣化
群論從若干不同來源演變而來，產生了各種具體的理論。這些理論原本是獨立發展的，有的在匯聚到抽象群概念中（1880s早期）時已經獨立發展了超過100年（始於1770年）。抽象群論出現了並在接下來四十到五十年中固定下來。在這個時期（約1920年）的末尾，可以清晰看到群理論分化為不同的「理論」。這裡列出始於1920s（帶有貢獻者和大概日期）群論中這些進展和新方向的一些最突出的代表：
甲）有限群論。這裡的主要問題已經被凱萊（1870s）所歸納並被約當及赫爾德研究，就是找出給定階的所有有限群。這個問題實在太難了，數學家們轉向特殊情形（特別是伽羅瓦理論提出來的）：找出所有單群或所有可解群（參考1963年的費特-湯普森（Feit-Thompson）定理和1981年所有有限單群的分類）。
乙）某些結果從有限群論擴展到帶有有限性條件的無限群；例如，O.施密特在1928年對Remak-Krull-Schmidt定理的證明。
丙）群表示（組合群論），始於1882年的梵戴克，並由德恩、蒂策、尼爾森、阿廷、施雷爾等在20世紀所延續。
丁）無限阿貝爾群論（普盧福、貝爾、烏爾姆等，1920s至1930s）。
戊）群擴張的施雷爾理論（1926），稍後產生了群的同調。
己）代數群（博雷爾和謝瓦萊等，1940s）。
庚）拓撲群，包括群表示論擴展到連續群（1920s和1930s，施雷爾、嘉當、龐特里亞金、蓋爾范德、諾依曼等人）。
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