引力波天文學之七

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雙緻密星併合在開闢引力波天文的道路上已經構建了如此多的美景，但這只是高頻引力波天文學的一角，精彩才剛剛開始......

特別聲明：本系列科普文章都是相關學者基於他們將要申請、正在執行、或者已經結題的國家自然科學基金委支持的《國家自然科學基金項目》發展出來的，版權歸作者所有。

7.1 偏心率的作用

韓文標上海天文台

目前LIGO看到的引力波源都是雙星在圓軌道上繞轉形成的。不過，這並不是巧合。宇宙中天體的軌道，可以是任意的，往往帶有偏心率。我們太陽系內大部分大行星偏心率都很小，軌道很接近圓，不過水星的偏心率達到0.2，是一個比較明顯的橢圓軌道。這個偏心率0.2什麼概念呢，就是軌道的遠日點離太陽的距離比近日點的距離大1.5倍。太陽系內有個很著名的天體叫哈雷彗星，它的偏心率就非常大。銀河系中心圍繞超大質量黑洞的恆星一般都具有很大的偏心率。（如圖）

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人們相信在星團這種大量天體扎堆湊熱鬧的體系裡面也有大量的有偏心率的雙星系統。

星團

但是為什麼LIGO目前主要關心的雙星繞轉都是圓軌道呢，這是因為引力輻射會讓軌道圓化。隨著引力波帶走的不僅僅是能量，還可以讓軌道的偏心率變小，從一個大橢圓軌道，逐漸收縮到一個圓軌道。所以到最後能發出強引力波信號的時候，軌道已經很圓了。

不過任何事情都有例外。上面的結論其實是對兩個質量差不多的雙星併合而言的。如果兩個雙星質量相差懸殊，則結果就不一樣了。大質量比的雙星，由於形成機制和引力輻射相對系統能量較小等原因，即使到併合階段，軌道的偏心率一般仍然較大。特別有意思的是，引力輻射雖然仍可以將軌道圓化，但在接近併合前，卻反而導致偏心率會上升。帶有偏心率的引力波的計算遠比圓軌道複雜，但研究這個問題並非吃力不討好。偏心率在引力波天文學上有很重要的用途。這裡我主要根據國內學者的一些研究，講兩個偏心率的作用。還有一個很有意思的用途，這裡先賣個關子，以後有機會再說。

大質量比雙星的軌道演化。從一個偏心率為0.8的軌道（左上）經過5年多的演化，在併合前一天仍然殘留較大的偏心率（右下）。來源：Osburn et al.，PRD 93 064024，2016

LIGO探測的是高頻引力波，它對低於10Hz的引力波信號無感。而引力波的頻率和引力系統的質量是成反比的。質量越大的雙星系統，輻射的引力波頻率就越低。所以當質量大到一定程度時，其輻射的引力波LIGO就看不到了。正常情況下，這個質量上限在1000個太陽質量左右。這樣的黑洞稱為中等質量黑洞，是天文學很感興趣的一個對象。所謂「正常情況」，是指圓軌道。所謂「不正常」呢，就是有大的偏心率。對兩個質量相當的雙星系統，大偏心率的可能性很小。但正如前面所說，對質量比較大的情形，則是很可能發生的事情。上海天文台、北師大和中山大學的科研人員最近發現，對中等質量比雙星系統（即一個恆星級的緻密天體繞轉中等質量黑洞），如果偏心率較大，可以激發出高頻的引力波，從而有效擴展LIGO能看到的黑洞質量上限。根據他們的研究結果，偏心率能夠使得探測質量上限提升接近兩倍。

偏心率的另外一個用處在於它還可以幫助定位。目前引力波的定位用的是時延方法，即測量引力波到達不同的探測器的時間差來定位。LIGO的對源的定位是比較差的，因為只有兩個探測器，加入Virgo後，定位精度大大改善。不過，最近清華、北師大的一些研究人員發現，偏心率也能夠幫助提高定位精度。他們還發現，精度提升和雙星的質量有關。質量越大，偏心率改善的精度越好。比如，對總質量100個太陽質量雙星，偏心率能將定位精度提高2倍；而對65個太陽質量的系統，只能提高1.3倍。如果質量只有22個太陽質量，則幾乎沒有改善。

帶偏心率的軌道定位精度更高。上圖是圓軌道的定位精度，下圖是一個偏心率為0.4的源的定位精度。偏心率讓定位精度改善了約2倍。來源：arXiv:1710.02965, 2017

這些研究表明，偏心率可能會在引力天文學有很重要的意義。如何高精度並且快速地計算偏心率軌道輻射的引力波，仍然是一個有挑戰性的工作。最近，北師大和上海天文台的學者，提出了一個橢圓軌道引力波計算模型，能夠對偏心率不是特別大的系統，進行高精度高效率的計算。

參考文獻：

Wen-Biao Han, Zhoujian Cao, Yi-Ming Hu, arXiv:1710.00147, Classical Quantum Gravity, in press, 2017;

Sizheng Ma, Zhoujian Cao et al., arXiv:1710.02965, 2017

Zhoujian Cao, Wen-Biao Han, Physical Review D 96, 044028 (2017)

7.2 連續引力波

張淵皞，明鏡德國馬克思普朗克引力研究所

迄今為止公布的LIGO和Virgo發現的引力波信號都來源於雙黑洞併合。與雙黑洞併合產生的不到幾秒的的引力波相比，連續引力波對應的是一種長期穩定存在的引力波。這裡所謂的「長期穩定存在」是以探測器觀測時間的長度（幾個月到幾年）作為度量的，換而言之，連續引力波在探測器的天文觀測周期內始終存在。引力波本身是一種微弱的時空擾動，可以被探測的引力波主要由極度緻密的星體產生，單個旋轉的黑洞由於其「無毛」的特性不會產生引力波，我們進而將目光投向宇宙第二緻密的星體中子星上。

對於地面引力波探測器靈敏的波段而言，銀河系內快速旋轉的中子星是潛在產生連續引力波的候選者。中子星是大質量恆星演化的一種終極產物，質量略大於太陽，半徑大約十公里。（揭開「宇宙燈塔」的神秘面紗 – 從中國的FAST說開｜引力波天文學之三）一個不完全軸對稱的旋轉中子星將會產生引力波輻射。這種不對稱的程度可以用一個參數橢率量化，可以將其簡單地理解成其赤道上高度為半徑乘以橢率的小「山丘」。對於一個大約在銀河系中心（10 kpc，pc即秒差距，1 pc = 3.26 光年）以500Hz頻率旋轉的中子星如果假設其橢率為10^(-6)，在地球上接收到的引力波的應變強度在10^(-25)的數量級，如果與首次發現的引力波事件GW150914的峰值強度10^(-21)[1]作對比，可以注意到中子星發出的連續引力波遠弱於雙黑洞併合產生的引力波。儘管如此，藉助於信號長期存在的特點，我們可以利用長時間的觀測數據有效地增加信號的信噪比以期獲得統計學上顯著的觀測結果，因此快速旋轉中子星是地面引力波觀測最有希望的波源之一。

對於幾個月到一年長度的觀測而言，地球的自轉，公轉都會產生周期性的多普勒效應從而對接收到的連續引力波的頻率發生調製（這同時也是引力波信號不同於雜訊的一個特徵）。與傳統的天文望遠鏡不同，LIGO收集數據時並沒有特定的指向性，任何方向傳來的引力波經過探測器都會改變探測器附近的時空幾何，從而表現在數據中。我們需要一個基於信號模型的匹配濾波器來與探測器的數據進行匹配，從而尋找數據中存在引力波信號的證據。信號源的空間位置，地球運動，中子星頻率變化都必須被考慮進去。由於連續引力波信號強度微弱再加上對於波形信息有限的了解，我們必須謹慎地處理數據並將面對龐大的計算開支，這也是目前尋找連續引力波最大的挑戰。為了尋找這種微小的波動，對應不同種類的波源也發展出了獨特的數據處理方法。地面引力波探測器例如LIGO，Virgo搜索連續引力波的主要努力可以被歸納為三類，目標搜索(targeted search)，定向搜索(directed search) 和巡天搜索(all-sky search)。

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脈衝星示意圖，credit: Joeri van Leeuwen, License: CC-BY-AS

目標搜索主要是指對已知脈衝星的引力波搜索。通過天文觀測（射電，X射線等）我們已掌握了這些中子星旋轉頻率的確切演化方式。對於最簡單的模型而言，引力波的信號的頻率是物體旋轉頻率的兩倍，由此我們也獲得了一個確切的引力波波形。對於已知的脈衝星，我們只需要將所有的數據相干疊加，搜索一個狹窄的頻率範圍來涵蓋天文觀測的誤差即可。初代LIGO的觀測結果自從2008就突破了蟹狀星雲脈衝星（Crab pulsar）的純引力波輻射（spin down limit）的上限。隨後精度不斷提高，在最近的觀測和分析結果表明，蟹狀星雲脈衝星只有不到0.2%的旋轉動能的減少是通過引力波釋放的，而橢率上限已經限制到少於10^(-5)[2]。

也就是說我們已經有能力找到蟹狀星雲脈衝星上10厘米小「山」產生的引力波。隨著精度的提升和更長時間的累計，我們將不斷地逼近微小信號的極限。在最近的高新LIGO首次觀測運行中，LIGO搜索了200顆已知的脈衝星。當然在茫茫宇宙中還有許多尚未發現的脈衝星，我國自主研發的FAST望遠鏡作為世界最大單面口徑球面射電望遠鏡是尋找脈衝星的射星利器，在早先（揭開「宇宙燈塔」的神秘面紗 – 從中國的FAST說開｜引力波天文學之三）公布的首批結果中已經展現了它卓越的性能一舉找到了六顆新的脈衝星。除了天文儀器的投入，引力波數據處理也給天文學的數據帶來了革新，德國馬克思普朗克引力科學研究所借鑒引力波數據處理的技術主持了搜索gamma射線和射電脈衝星的項目，這項研究藉助大量志願者貢獻的計算資源的Einstein@Home平台，從已有的數據中找到了數十顆新脈衝星[3][4]。在未來隨著觀測技術和數據處理技術的推進，更多新發現的脈衝星必將豐富引力波搜索候選目標，光學天文的觀測將幫助科學家鎖定這些微小的時空漣漪。對於200顆已知脈衝星，如果我們不問到底哪一顆脈衝星發射引力波，而問這堆脈衝星有沒有發射引力波。那麼，原則上應該第二個問題的答案應該更容易獲得。畢竟團結的力量大嘛！做個類比：經過池塘，如果只有一隻青蛙，我們就很難聽到這它的歌聲。但是實際情況是我們很容易知道池塘里有青蛙，因為大家的合唱比較容易聽到，雖然不知道到底是哪一隻在唱歌。所以我們應該更容易的判斷200顆已知脈衝星有沒有聯合起來發射引力波。這個探測技術概念是陳雁北，范錫龍和英國合作者一起發展出來的[5]。

圖例：聽青蛙唱歌類比探測已知脈衝星發射引力波。

Cas A，copyright@NASA/JPL-Caltech

定向搜索指的是尋找已知位置但不了解其引力波相位演化的中子星。Cas A, Vela Jr., SNR1987A, Sco X-1是其中的代表。Cas A, Vela Jr., SNR1987A都屬於超新星遺迹，但由於未能找到脈衝信號，無法從光學上確認它們的中子星殘留。此時我們轉而向穿透能力極強的引力波尋求幫助，希望能夠「看到」這些中子星存在的證據。Sco X-1是一個低質量X射線雙星，其中的中子星不斷吸積其伴星的質量，由於吸積過程產生的「熱點」使中子星內核產生溫度梯度從而造成密度的不均勻，這種非軸對稱性會發出引力波輻射。而吸積產生的加速旋轉被引力波輻射所平衡，最終達到了一個穩定的狀態。其引力波強度與X射線強度正相關，Sco X-1作為全天除了太陽外最亮的X射線源成為了一個有望被探測到的引力波源。

由於對引力波頻率缺乏了解，定向搜索必須涵蓋一個廣泛的頻率範圍，很多時候需要搜索整個LIGO的靈敏範圍（～10 - 2000 Hz）。對於類似於Cas A這樣的單個中子星而言，由於引力波或者電磁輻射損失角動量，中子星也以未知的速度不斷減緩旋轉頻率，因此為了不與信號失之交臂，也必須搜索頻率的導數，二階導，乃至更高項來模擬可能的信號模型。對於類似Sco X-1這樣的雙星系統中的中子星，雖然其未知的旋轉頻率被認為達到了一個穩定狀態，但由於雙星的軌道運動必須將這份額外的多普勒效應考慮在內。同時天文學家對Sco X-1的軌道參數給出的估計值存在誤差，我們因此必須搜索更多軌道參數以保證涵蓋了正確的信號模板。

對於完全相干搜索而言由於長時間的觀測導致模板與真實的信號的差別必須很小才不至於造成顯著的信號損失，因此模板庫必須細密地涵蓋整個可能的參數空間，大量的數據與海量的模板作比較帶來了計算資源的嚴峻挑戰。此時與目標搜索那樣將手頭的所有數據相干疊加將不再適用。數據分析專家於是發展出了一些半相干的方法來應對這個難題，他們將長時間的數據分成幾小塊，每一部分用完全相干的方法搜索後再不相干地將每部分結果結合，或者可以通過調整探測器數據的互相關範圍從而以犧牲部分靈敏度的代價利用有限的計算資源完成搜索。由於定向搜索的難度也催生了一些其他的快速演算法，這些快速方法的設計思想保證了計算的高效性但同時也因此損失了相當的搜索精度。

低質量X射線雙星想像圖，Credit: Fahad Sulehria

在連續引力波的數據處理領域活躍著年輕中國研究者的身影，在最近完成的Sco X-1的搜索中，美國和澳大利亞的兩個研究組分別使用兩種不同的數據分析方法處理了高新LIGO升級後的第一次天文觀測數據。其中由澳大利亞組的孫翎運行的隱馬可夫鏈的高效演算法應對Sco X-1頻率隨機漂移的問題做出了專門的研究和搜索[6]，而美國的研究組由張淵皞主持使用新開發的互相關方法給出了目前為止最佳的Sco X-1引力波強度的上限[7]。對於半相干方法而言，如何分配有限的計算資源一直沒有定量的滿意回答，直到2015年馬克思普朗克研究所的明鏡等人提出了一種對連續引力波搜索的優化方法[8]。此方法可以在有限計算資源的條件下，給出一種最優的搜索方法，將探測連續引力波的概率最大化。目前，這個優化方法已經應用在了多個連續引力波的搜索上。比如在分散式超級計算機Einstein@Home上運行的搜尋三個超新星遺迹中的中子星所釋放的引力波的項目，就經過了此方法的優化。

另外一方面，引力波科學家也急需天文學家團隊對這些星體的參數乃至於頻率變化做出限定，一旦對它們有了更加確切的了解將大大地減少數據分析的難度。例如我國6月升空的慧眼衛星如能在軟X射線波段對Sco X-1進行觀測，而給出更好的軌道參數估計甚至於找到之前未能發現的脈衝信號則將極大地幫助引力波天文學家縮小參數空間甚至進行直接的目標搜索。

所謂巡天搜索就是尋找未知的中子星發出的引力波。也就是說我們對位置和頻率演化都毫無了解，因此必須對各個方位進行搜索。參數空間除了定向搜索的那些參數以外還必須增加兩個空間維度，搜索難度也變得更大，所以必須開發出新的快速演算法尋找引力波特徵的模式。從恆星演化模型來看，最近的中子星距離地球應大約在 5 - 10 pc，但是已知的最近中子星卻遠在將近100 pc，也就是說在地球附近理論上應該存在著大量未知的中子星。由於一些未知的中子星距離較近，儘管對其波形的了解甚少，其強度仍然可能被觀察到。如果利用巡天找到這些未知的中子星，不僅對引力波領域是一個巨大的突破，也將反哺光學觀測為天文學家提供新的觀測目標，從而一同回答天體物理中懸而未決的疑問。

在實際操作中除了上述提到問題，探測器雜訊背景的統計學性質和長期存在的類似信號的人為雜訊等都為尋找的工作帶來了挑戰。由於其本身的難度並且探測器還沒有達到最佳的設計精度，使我們目前還沒有發現確信的連續引力波事件。但是緻密星體併合並不是地面引力波探測器的終點，其他種類的引力波事件乃至於出乎意料的新型波源將給人類認識宇宙帶來新的理解和證據。中子星的緻密特性為天文和物理學提供了獨特的實驗室，在觀測到連續引力波後，我們將藉助這個新的窗口觀察新的物理現象，連續引力波由於與天文學觀測的聯動自然而然成為了一種多信使天文學（弱等效原理的多信使檢驗｜引力波天文學之六），他將與光學波段互為補充填補天文學缺失的一角。連續引力波也將被用於測試引力波偏振模式從而檢驗相對論，它還可以被用來研究中子星的震動模式，中子星物理學，狀態方程，乃至於其他未知的引力波發生機制，對中長期的引力波數據處理也將做出重要的貢獻。隨著未來更多地面引力波探測器例如KAGRA，LIGO印度探測器的加入，和不斷改進的探測器靈敏度，越來越多的數據將被收集，在不久的將來自然將給我們帶來更大的驚喜。

參考文獻：

[1] B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) PRL 116, 061102 (2016)

[2] B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) ApJ, 2017, 839, 12

[3] Knispel, B et al. Science, Volume 329, Issue 5997, pp. 1305- (2010)

[4] Clark, C. J et al. APJ, 2017, Volume 834, Issue 2, article id. 106, 19 pp. (2017).

[5] Xilong Fan, Yanbei Chen, Christopher Messenger， Phys. Rev. D 94, 084029 (2016)

[6] B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration)PRD 95, 122003 (2017)

[7] B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration) APJ, 2017, 847, 47

[8] Ming, J. et al Phys. Rev. D 93, 064011 (2016)

7.3 隨機引力波背景

范錫龍湖北第二師範學院

朱興江蒙納士大學和澳大利亞引力波發現卓越中心

GW150914之後LIGO又探測到了三個黑洞併合事件。這讓我們相信黑洞併合這樣的引力波源在宇宙中是普遍存在的。當它們發生於距離地球比較近時（大約幾億到幾十億光年以內），則可以被獨立地從儀器雜訊中提取出；而那些更遙遠的波源雖然不能被單個識別出，它們的影響卻可能被整體感知到。這種大量不可分辨的微弱引力波信號疊加在一起形成的就是隨機引力波背景。這裡的不可分辨有兩層含義：

*位置不可分辨：類比於我們用望遠鏡研究天空某處光學源，如果望遠鏡的角解析度小於我們感興趣的現象發生的角尺度，我們就能看見這些天體的細節。像LIGO這樣的儀器，角解析度約為90度，儀器對幾乎所有方向的源都有響應，這就意味著很多引力波源是不可分辨的。因此很多源同時存在，我們不能在位置上分辨它們。

*頻率不可分辨：絕大部分源不是單一頻率源，因此不太可能把他們在頻段上分離出來。即使有的源是近單頻(例如緊密雙星旋近，周期性信號源)，但是給定觀測時間T，儀器的頻率解析度是一定的。如果源在帶寬的個數超過一個，那麼我們也不能從頻域上分辨他們。以上兩種情形對於空間引力波探測器尤為重要，因為對於空間引力波探測器而言，光是銀河系內就有超大數量的引力波源。

因為這種不可分辨性產生了「隨機」性：我們不知道引力波背景在時域上的行為，僅僅知道它的統計特性，例如期望值，方差。一般對於隨機引力波背景有如下的假設(i)穩定，(ii)高斯，(iii)各項同性，(iv)非極化。關於假設準確性的討論請參考[1]。隨機引力波背景有兩類來源，一類是大量微弱天體源，例如前面提到的類似GW150914這樣的事件，但是發生在過於遙遠的宇宙深處[2] 或者脈衝星的不穩定性[3]（你沒看錯！來小禹和7.2的作者沒有告訴你故事的全部，脈衝星其實也有躁動的時候......揭開「宇宙燈塔」的神秘面紗 – 從中國的FAST說開｜引力波天文學之三）；另一類來自早期宇宙學過程，例如大爆炸後宇宙暴漲過程、宇宙弦和早期相變過程 (參見綜述[4])。後一類引力波信號更是攜帶了比電磁波，例如宇宙微波背景輻射 , 更早的宇宙學信息。因為我們對相關的物理和天文知識的匱乏，使得預言的引力波背景強度有很大的不確定性。因此探測到或者給出隨機引力波背景的上限都會非常有趣，尤其是早期宇宙學的信息 (例如對弦宇宙學產生的隨機引力波背景的探測[5,6])。

那麼如何探測引力波背景呢？僅僅靠一個探測器是不可行的，因為這種背景信號也是隨機的，與探測器的雜訊無法分辨。所以標準的方法就是利用兩個探測器，尋找共同的信號成分。例如LIGO的兩個探測器相距三千公里，通常認為它們的儀器雜訊是不相關，而它們所接收的引力波背景信號則是一致或者說極其相似的。

在2009年, LIGO還對宇宙學起源的引力波背景很感興趣（見下圖）。伴隨著緻密雙星引力波信號陸續被探測到，現在天體起源的引力波背景成為了一個很讓人期待的目標[7]。做一比喻：單個源就是放一個煙花（例如我們最近單獨探測到這些近距離引力波信號）。宇宙那麼大，應該「到處」都在放煙花啊，於是也就構成了璀璨的背景。

我們期望未來地面引力波探測器能看到天體起源引力波璀璨的背景（2020年LIGO達到設計靈敏度的時候就有可能看到[7]），更期待未來能有一些來自超越標準暴漲宇宙學的引力波背景信號的驚喜。

參考文獻：

[1] B. Allen, J. D. Romano. Phys Rev D. May 1999, 59(10):102001

[2] 朱興江, Eric Howell, David Blair and Zong-Hong Zhu, MNRAS (2013) 431: 882-899

[3] 朱興江, Xi-Long Fan and Zong-Hong Zhu , ApJ, 2011, 729, 59

[4] M. Maggiore. Phys Rep.2000, 331:283–367

[5] B. Allen, R. Brustein. Phys Rev D. Mar. 1997, 55:3260–3264

[6] Xi-Long Fan, Zong-Hong Zhu. Phys lett B. 2008, 663:17–20

[7] B. P. Abbott et al.*(LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), PRL 116, 131102 (2016)