第326期 符號操作

靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

本期問題來了

NO. 326

符號操作

如圖所示，有兩個填有「+」、「-」的方格，能不能經過若干次符號操作之後將（a）變成（b）？要求每一次操作要麼將整行的符號改變，要麼將整列的符號改變。

★ 右下角寫留言開始答題，鼓勵大家把思考的過程寫出來。

★ 如果想不出來，可以轉發朋友圈向朋友求助哦！答案將在下期公布。

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上期問題回顧

NO. 325

方框填數

把數2～9不重複地填入上式的方框內，使式子成立，問有幾種方法。

分析與解答

答案：不存在質數。

在解這個題之前，我們先來回顧一下分數是如何相加的。

分數相加，如果分母相同，則分母不變，只要將分子相加即可。如果分母不同，則需要先通分，變成分母相同的分數，再相加。而通分需要做兩件事情：第一，求分母的最小公倍數，即將分母分解質因數後取素因子的最高次方的乘積；第二，每一個分數的分子和分母同時乘一個數（保證分數不變）。

對於本題來講，考慮到2~9中，5和7為質數且沒有一個數是5或7的倍數，那麼5和7必須放在分子。為什麼呢？以5為例。假設5放在某一個分數的分母中，由於另兩個分數的分母中不含有5，所以通分之後，分母中必含有因數5，且另兩個分數的分子都要乘以5，所以另兩個分數的分子之和是5的倍數，而分母放5的那個分數的分子不含5，所以左邊三個分數相加之後分子不是5的倍數，而分母是5的倍數，約分之後不可能等於1。同理，7放在分母時也不行。因此，5和7隻能放在分子。

另外，考慮到9是3的二次方，那麼3和6必須放在同一個分母中，否則跟前面的討論一樣，左邊三個分數通分之後相加會出現分母是3的倍數，而分子不是3的倍數的情況，約分之後不可能等於1。

同理，考慮到8是2的三次方，那麼2和4必須放在同一分母中。

經過嘗試發現滿足條件的式子只有下面一個：

考慮順序，使式子成立的填法共有2×2×2×2=16種。

題友解答精選

題友@易小龍的解答：

由於5和7是質數且其他數里沒有一個數是5或7的倍數，所以5和7必須放在分子。三個分數和為1，必有最大的分母是其它分母的公倍數，所以最大的分母必為8*9。再為了讓結果等於1並通過試錯法，得到最終的本質解只有1/(3*6)+5/(8*9)+7/(2*4)=1。考慮到乘法和加法的交換律的話，有16種填法。

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