天天都說「量子力學」，你真的了解它嗎？

在最近一些年，量子信息的研究得到了很多發展。量子信息指利用量子力學的基本原理進行信息處理，包括量子通信、量子計算，等等。量子通信又包括量子密碼、量子隱形傳態，等等。量子隱形傳態和量子計算都基於量子糾纏。而量子糾纏是量子力學中的一個基本概念。為了了解量子信息，我們需要先了解量子力學。

聽到「量子力學」這四個字就想跑？別跑，科學人帶你慢慢梳理。圖片來源：strangenotions.com

經典物理中的幾率

為了解釋什麼是量子力學，我們先從經典物理說起。

經典物理包括以牛頓三大定律為核心的牛頓力學(或稱經典力學)，以及以麥克斯韋方程組為核心的經典電動力學(或稱電磁學)。 對於速度接近光速，以及強引力場情況，還要考慮狹義及廣義相對論，但是相對於量子力學而言，它們仍然屬於經典物理的範疇。

在經典物理中，每個物理量，比如位置、動量、角動量、電場強度、電流，等等，在每個時刻都有明確的取值，都是一個客觀實在。而它們隨時間變化的情況就是動力學，由牛頓力學及經典電動力學的基本定律決定。只要知道某個時刻的物理量的值，就可以從動力學得到其它任意時刻的取值。 因此本質上經典物理是決定論的。

經典物理里也有幾率，或稱概率，但這是一種粗粒化描述。在我們不了解或者無法控制細節時，考慮各種可能性，從而得到一個幾率分布。比如擲骰子。

骰子的運動其實是一個決定論的過程，沒有本質上的隨機性。如果了解它的力學細節，比如質量分布、初始位置、方位、速度、整個下落過程中的受力情況等等，其實是可以預言最後哪一面朝上的。當然，在實際中一般做不到這一點。而如果對於各種細節情況作個平均，我們就可以預言：「如果投擲N次，其中每一面朝上的次數大約N/6次」。也就是說，每一面朝上的幾率大概是1/6。

不過我們也經常有這樣的情況：即細節描述不但不可能，而且沒有必要，而幾率描述更抓住問題的本質。

比如一團氣體在給定溫度下，各種微觀狀態有一個幾率分布，由此可以得到給定溫度下的宏觀性質，比如平均總能量、壓強等等。這就是統計物理。

基於經典力學的經典統計物理中的幾率抓住了問題的本質，但這種幾率和骰子類似，不是實質性的，也就是說，微觀細節仍然是服從經典物理的決定論過程。

那麼，什麼樣的幾率是實質性的，也就是說背後沒有決定論的過程？答案就是量子力學中的幾率。

量子力學中的幾率

量子力學的中心概念是量子態。而根據量子態，我們可以計算出各種幾率分布。下面我們將了解到，量子態比幾率分布的涵義還要多。

注意：量子態不是一個物理量，而是一個描述，由此決定出各相關物理量被測量後的各種取值的幾率，從而可以計算出每個相關物理量的期望值，或稱平均值。而一旦作了某個物理量的測量，就得到這些可能值中的一個。同時，量子態也相應地更新為一個新的量子態，在這個量子態上，剛測得的物理量取值的幾率為1。

舉一個例子。光有個性質叫偏振，代表了電場振動方向，它總是位於與傳播方向垂直的平面上。如果偏振方向沿著這個平面上的一個特定方向，這種光就是線偏振光。如果偏振方向在這個平面上旋轉，這種光就是圓偏振光。

不同的光可以混合成非偏振或者部分偏振光。而非偏振的自然光透過偏振片，可以產生偏振方向沿著透光軸的線偏振光。如果讓線偏振光垂直入射一個偏振片，它透過的強度是原來強度的

θ, 即 (cosθ) * (cosθ)，其中θ是光入射前的線偏振方向與偏振片透光軸方向的夾角，「*」代表相乘。

光是由光子組成的，光子服從量子力學。那麼現在我們來考慮這種沿θ方向線偏振的單個的光子。它透過偏振片的幾率就是

θ。

這裡就要解釋幾率的涵義了。如果有N個(N很大)同樣的這種光子分別入射到這個偏振片上，也就是說，重複N次相同的過程，那麼有N*

θ個光子透射過去。

但是，對於每一個光子來說，我們卻無法預測它究竟能否透射過去，完全不能。所以我說量子力學的幾率是實質性的。

量子態

量子力學有一套理論框架描述這些性質。光子的偏振由一個量子態描述。我們可以把它記為|ψ>。它在數學上是一種矢量。

我們知道，空間中的矢量，比如位置，由幾個坐標(或者叫分量)確定。任意一個矢量都可以分解為幾個互相正交的基本矢量。它們平行或反平行於坐標軸，長度大小就是坐標的絕對值，方向由坐標的符號代表。它們稱作基矢。

與之類似，量子態這種矢量也可以分解為幾個互相正交的基矢，它們稱為基矢態。這裡的矢量不是在我們所生活的空間，而是在一個抽象的數學空間里，稱作矢量空間。它是這個量子系統的所有可能的量子態的集合，服從一定的運算規則。這些矢量的正交也有它的定義。

在我們生活的空間里，坐標的選擇是任意的。與之類似，對於一個量子態來說，選擇哪一套基矢態來展開或者分解也是任意的。但是為了計算某個測量的幾率，選擇與這個測量對應的基矢態比較方便。光子透過偏振片可以看作一個測量過程，如果偏振方向沿著偏振片的透光軸方向，就會穿透；而如果垂直於透光軸方向，就不能穿透。

為簡單起見，我們考慮某個垂直入射偏振片的線偏振光子。假設在偏振片上定義一個xy平面，光子的線偏振沿著θ方向。我們將這個偏振量子態記作|θ>。

現在我們先假設偏振片的透光軸沿著x方向。為了計算光子透過偏振片的幾率，可以把光子原來的量子態分解如下：

|θ>=cosθ|>+ sinθ|> (1)

其中|>與|> 互相正交，|>代表光子偏振方向沿著x方向，即目前偏振片的透光軸，|>代表光子偏振方向沿著y方向，即垂直於偏振片的透光軸。

光子入射偏振片，量子態變得非此基矢態即彼基矢態，要麼變成|>，從而透過偏振片；要麼變成|>, 從而不能通過偏振片。 前者的幾率是

θ，後者的幾率是

θ。幾率等於展開式(1)式右側各基矢態前面的係數(通常稱作展開係數)的模的平方。這是由量子態決定幾率的基本規則。這些係數的模的平方之和等於1，因為各種可能的幾率之和應該是1。 因此，光子穿透偏振片的幾率是

θ，穿透後的量子態變為|>。

現在我們改變一下偏振片的方位，將它逆時針轉動45度，然後再將處於同樣偏振量子態|θ>的光子入射。現在將光子的量子態|θ>作如下分解比較方便：

|θ>=cosθ'|>+ sinθ'|> (2)

其中θ'= θ-45度，|>代表光子偏振方向沿著45度方向，即目前偏振片的透光軸。|>代表光子偏振方向沿著135度方向，即垂直於偏振片目前的透光軸。可以看出，對於目前的偏振片透光軸方向，光子穿透偏振片的幾率是

θ, 穿透後的量子態成為|> 。

事實上, 式(1)也適用於|>和|>, 分別對應於θ=45度和θ=135度，也就是說，

|>=(|>+|>)/r, (3a)

|>= (-|>+|>)/r. (3b)

反過來就是

|>=(|>-|>)/r, (4a)

|> =(|>+|>)/r. (4b)

r代表根號2，即r*r=2。後兩式也可以分別通過將和帶入(2)式得到。

也有複雜一點的測量方法，可以做到測量一個光子的偏振態而且不失去它。比如，藉助於一個雙折射晶體和兩個偏振片，使得每個光子都能隨機地從一個偏振片透射出來，非此即彼，每個偏振片分別對應於一個基矢態。下面所討論的對偏振態的測量就是這樣。為了簡單起見，這裡不贅述細節。

一般來說，一個量子態用基矢態展開，比如圓偏振態用線偏振基矢態展開，展開係數是複數。但是為簡單起見，本文所用的例子中，展開係數都是實數。

對於不同的物理性質有不同的量子態。比如偏振是一個物理性質，動量是另一個物理性質。如果不同的物理性質之間沒有耦合，相應的量子態也沒有耦合，只需要考察相關的量子態。比如在上面這個例子里，關於光子的動量或者位置當然也有量子態，但是與我們關心的偏振現象沒有關係，所以不去關心。

在測量之前，量子態隨時間的演化是由一個動力學方程決定的，這個方程被稱作薛定諤（E. Schr?dinger）方程，因為歷史上第一個例子(描寫氫原子中的電子)是由薛定諤提出的。與相關物理性質有關的能量是一個常數時，相應的量子態在測量之前就不變。

在量子力學裡，量子態、幾率分布以及物理量的期望值都可以有決定論的動力學演化，但是這改變不了量子力學的幾率本質，因為在每個量子態上，作一個物理量的測量，都有一個內在隨機性。

那麼什麼情況下用經典物理，什麼情況下必須用量子力學？它們的分界線在哪裡？嚴格來說，這是一個沒有完全解決的問題。

對於具體的實際情況，一般能夠判斷。比如，一般來說，小分子層次以下的微觀粒子必須要用量子力學，而我們周圍的宏觀物體服從經典物理。但是隨著實驗技術的進步，越來越大的物體表現出量子效應。所以有可能所有的物質本質上都服從量子力學，只是在環境的作用下，表觀上顯示出經典物理。但是也有可能量子力學的適用範圍是有限的。我認為，按物理學目前的水平來說，這兩種可能都是存在的。

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