廣義相對論是如何一步步被構思出來的？
編輯&審校&插圖：楊夕歌
在本文中我們將帶領讀者認識廣義相對論與引力場方程。筆者一直相信科學的真理都具有一些共同的特徵：物理圖像清晰，思想深刻但是結論優美易懂，且總可以找到淺顯易懂的方式讓讀者品味科學非凡的美妙。在筆者看來廣義相對論就是這樣優美的理論，筆者期待讀者在讀完這篇文章後也能深深沉醉於科學的美，並驚嘆於人類心智的榮耀。歡迎大家留言，並發表自己的看法！
引力理論四百年——從第谷到愛因斯坦
圖片來自百度百科
在討論愛因斯坦廣義相對論之前，筆者想和讀者一同回顧一下引力理論自第谷到牛頓再到愛因斯坦這幾百年的發展歷程，對如此發展歷程的回顧也是很有啟發性的，事實上，淡凡一個優美的科學理論，它從誕生到發展成熟都會經歷一些相似的發展歷程。筆者在這裡以引力理論為例展現一個科學理論不斷發展進步的歷程，引力理論的發展經歷了如下幾個不同的時代：
第谷（Tycho Brahe，1546－1601，丹麥天文學家）是開普勒（Johannes Kepler，1571 —1630，德國天文學家）的老師，第谷用畢生的精力觀測並收集天文數據，身後留下海量的天文觀測原始數據，並將這些數據交給了開普勒，開普勒又用畢生的時間探索研究這些原始數據，憑藉驚人的毅力從這些數據中摸索總結出了開普勒的三大定律[6]。
小編旁白：我們來複習複習開普勒三大定律——
軌道定律（第一定律）：太陽系行星軌道是橢圓形的，並且太陽在橢圓焦點上。
面積定律（第二定律）：行星和太陽的連線在相同時間內掃過相同面積（這個定律被牛頓用他的第二運動定律更嚴格地推導出來）。
周期定律（第三定律）：公轉周期的平方和橢圓的半長軸立方成正比（這個定律被牛頓用他的萬有引力定律更嚴格地推導出來）。
雖然開普勒是用總結歸納的方式從數據中推測出了這三個重要的定律（定律和定理一個重要區別在於，前者大多是通過實驗推測出來的，而後者則需要嚴格的數學證明——小編注）。這三個定律後來都被證實是正確的，於是科學馬拉松的接力棒就傳到了牛頓及愛因斯坦的手中（當然中間還有伽利略等人的貢獻），他們的工作標誌這這一系列工作開始走向成熟。
他們根據物理原理建立了完整的力學理論體系，更重要的是為物理定律建立了數學方程，從而嚴格推導出了開普勒的三大定律，根據方程還可以計算出我們想要的任何結論。從此科學探索不再依靠對已有實驗數據的整理猜測，通過物理原理和數學推導所得到結論可以廣泛解釋自然現象，這也是人類智慧的一大突破。
正如楊振寧先生所言[7]，不同的科學領域（生物，化學等）的發展實際上都擁有類似的發展歷程：
牛頓與愛因斯坦的成功之處在於他精確地把握住了科學研究最重要的兩大要素：物理原理和數學方程。牛頓以後，數學方程成為了表述科學定律的標準語言，分析力學的建立，電磁場理論的發展，熱力學與統計物理的發展，量子力學的發展等等，無不以建立完整的數學方程為它們的理論發展成熟之標誌。著作[1]小結了物理定律與數學方程之間的關係：物理定律 數學方程。
一些物理定律和對應的數學方程——小編注
牛頓之後的下一次科學的革命發生在二十世紀初，愛因斯坦是這場科學革命的核心人物。愛因斯坦在理論上的突破，其實源於對基本物理圖像的深刻洞察：物理定律是用數學方程來表達的，而數學方程是根據所選取的坐標系來表示的。愛因斯坦意識到，對物理定律的討論不能迴避對該物理系統所在的坐標系的討論，這個看似簡單卻極為深刻的思想引導他建立了廣義相對論的廣義協變性原理。
我們在一起來理解理解這個簡單卻又不平凡的原理。
廣義協變性原理與等效原理
深刻的科學理論總是起源於簡單卻不平凡的思想，起源於非凡的洞察力，廣義相對論就是這樣的一個理論。被用來表述物理定律的數學方程是用方程所選取的坐標系來表達的，這句話在其他物理學家看來這是普通的常識，愛因斯坦卻從中洞察出了深刻的科學思想。方程選取不同的坐標系從物理的角度來看就是物理系統處於不同的環境中，一個合理的物理原理的表達應當與它所處的實驗環境無關。比如說，當我們去做和引力相關的物理實驗時，在地球上得到的物理定律應該和在月亮上得到的是一樣的，因為引力的理論應當在宇宙中是普遍成立的，對其他的物理實驗與物理定律也應當如此，用數學的語言來講，就是被用來表述這樣的物理定律的數學方程應該對一切坐標系都有效（即在任何坐標系中，方程的形式保持不變，我們稱之為方程的協變性，也叫對稱性）。我們再把這句話翻譯成數學語言，就是廣義協變性原理
普適的物理定律，是由那些對一切坐標系都有效的數學方程來表述的。
從萬千世界中尋找到不變數或不變規律，是數學和物理學的共同之美——小編注
這也是廣義相對論最重要的物理原理，根據這樣的物理原理再結合數學方法（主要是黎曼幾何的數學理論），愛因斯坦首先為引力建立了一套理論體系，之後的問題就是, 這樣的一套理論體系也可以包括慣性力（就是促使我們所在的時空點變速運動的力，比如說火箭的推動力，轉動離心力等）。
那麼如何協調在理論體系中慣性力與引力的關係呢？愛因斯坦總結了一系列思想實驗，也基於物體的慣性質量與引力質量相同的實驗事實，這一系列實驗都表明引力與慣性力在時空點上其實是不可區分的，愛因斯坦將這些實驗現象總結為了物理原理，即等效原理（Equivalence Principle）[9]：
在任何時空點都不可能通過實驗區分引力和慣性力。
簡單來講，就是說在任何時空點引力與其他慣性力是一種力，是一回事，由此以來，在任意時空點慣性力都可以被視為引力，便解決了上述問題。關於等效原理的一個有趣的思想實驗就是將人放在在電梯中，然後將電梯放在兩種實驗場景中，一是電梯在地球上空由引力作用作自由落體運動，另一個是放在宇宙真空中作和引力加速度相同的加速落體運動（沒有引力，這種使得電梯加速下落的力便是慣性力），在這兩個實驗場景中，電梯里的人無法區別電梯的落體運動是引力所為還是慣性力所為，所以這兩種力在時空點本身就是等效、不可區別的。
等效原理也體現在慣性質量與引力質量的相等的。在牛頓力學中，關於物體有兩個質量的概念，一個是根據慣性力進行計算：慣性力F=ma,這裡就可以計算出物體的質量m,被稱作慣性質量；兩一種計算質量的方法是根據萬有引力公式,這樣計算出來的質量被稱作引力質量。這是物體質量的兩種完全不同的計算方法，但實驗數據顯示兩種質量是相等的，愛因斯坦深入思考了這個實驗現象，便意識到慣性質量與引力質量的相等本質上說明了慣性力與引力在時空點是不可區分的，便得到了等效原理。
有了等效原理，愛因斯坦根據廣義協變性原理建立的力學理論就成為了引力相互作用的理論，這便是愛因斯坦的廣義相對論。廣義相對論就是這樣在兩個基本的物理原理（廣義協變性原理+等效原理）的基礎上建立起來的，通過數學理論將物理思想表述成數學方程，並用數學方程計算出來的結果廣泛地解釋關於引力的自然現象，廣義相對論於是就成為了一種完整的引力理論。這些理論我們將在下一小節總結出來，讀者只需要知道這些看似深奧的理論不過是上述兩種基本物理原理的數學表述。
相對論：從狹義到廣義
人類對基本相互作用的理解除了需要洞察深刻的物理思想以外，還需要精妙的數學方法，就是能夠很好地能將物理思想翻譯成數學語言，這是一個必要的過程，只有將物理思想翻譯成數學語言才能為物理定律建立數學方程，而只有得到了數學方程才能有效地去計算我們需要的結果，這也是理論發展成熟的標誌。實際上數學方法與物理思想是一個有機的整體，它們的聯繫非常密切。廣義相對論的物理思想就是上述討論的廣義協變性原理和等效原理，它的數學方法則是黎曼幾何，它涉及到現代微分幾何一系列精緻又優美的理論。正如保羅狄拉克（P.Dirac, 1902－1984，英國理論物理學家，二十世紀最偉大的物理學家之一。）所言：
「A physical law must possess mathematical beauty（物理定律必須具有數學美）。」
圖片來自網路——小編注
當然，廣義相對論並不是一瞬間就被愛因斯坦所總結出來的的。在廣義相對論之前，狹義相對論（Special Relativity）的建立曾極大地啟發了愛因斯坦為廣義相對論去建立數學理論。在20世紀之前，人們普遍認為空間中存在一種叫做「以太」的物質，作為光和電磁波的傳播媒介。然而1887年的邁克耳孫-莫雷實驗發現光速不隨時間和參照系速度而變化，人們因此開始懷疑「以太」到底是否存在[10]。愛因斯坦在1905 年建立的狹義相對論就是基於這個實驗。
狹義相對論的物理原理只有一個——狹義協變性原理（等價於光速不變原理，即真空中光速的測量與它的參考系無關）。在愛因斯坦建立了狹義相對論的物理原理後，德國數學家閔可夫斯基便為狹義相對論建立了數學理論，就是將物理原理表述為閔可夫斯基空間（平直的四維空間，和彎曲的黎曼流形不同）上的幾何結構，便可以將狹義相對論的物理內容翻譯成幾何語言。
閔可夫斯基的方法極大地啟發了愛因斯坦，當他建立了廣義相對論的物理原理以後，便逐步意識到廣義相對論也應該對應於一種彎曲的四維空間，使得物理內容可以被表述為幾何的語言。這種彎曲的四維空間早在此前半世紀就被數學家黎曼建立了，被稱為黎曼流形（也就是高維的曲面，並且這種曲面有著自己的度量，也就是計算兩點間距離的方法——小編注），廣義相對論使得黎曼幾何成為了研究引力的基本方法。
愛因斯坦建立廣義相對論的數學理論的過程頗為艱辛，先後歷時8年。他靠著自己驚人的物理直覺，通過描述勢能分布的泊松方程（形式簡單的二階橢圓方程——小編注）「猜」出了場方程的大致形式。而德國數學家希爾伯特也曾站在數學的角度獨立地推導出了廣義相對論的場方程，整個推導過程更加輕鬆[11]（將在後文中繼續介紹——小編注）。
此外還有一點值得強調——廣義相對論和狹義相對論是兩種截然不同的理論。他們的差異體現在：
廣義相對論是一種引力理論，它刻畫了宇宙中天體的運動規律，同時也是宇宙時空結構的動力學理論。狹義相對論刻畫的是微觀粒子的運動規律，例如光子，膠子，中微子這些微觀粒子，這些粒子的運動速度都接近光速，他們所體現的相對論效應是指狹義相對論的效應，與廣義相對論無關。
這兩種相對論也體現了兩種不同的對稱性原理，即廣義相對論的廣義協變性與狹義相對論的狹義協變性。由於對稱性在現代物理學中處於核心重要的地位，所以不同的對稱性所刻畫的物理現象是完全不同的。
廣義相對論所刻畫的時空結構是彎曲的（因為有質量的存在），但狹義相對論的時空結構是閔可夫斯基空間，是一個平直的四維空間，相當於一個沒有質量存在的引力場。
廣義相對論和狹義相對論刻畫了完全不同的基本相互作用。廣義相對論是關於引力相互作用的理論，而狹義相對論是電，弱，強相互作用的基本理論的一部分，它刻畫了和廣義相對論完全不同的自然規律。
廣義相對論的粗略發展流程——小編注
引力場與愛因斯坦場方程
在將物理思想翻譯成數學語言的過程中，愛因斯坦最關鍵的思想就是將引力相互作用視為宇宙空間彎曲的幾何效應。在廣義相對論中，宇宙的時空結構是一個四維（時間1維+空間3維）的彎曲的黎曼流形M（讀者可以想像宇宙是一個彎曲的曲面，且這個曲面是4維的），在數學中使用黎曼度量來 刻畫這個空間的彎曲，廣義相對論告訴我們，這個量就是宇宙中的引力相互作用的作用勢，被稱作「引力場」，它包含了宇宙中引力相互作用的全部信息，也就是說
「宇宙時空的彎曲 =引力場」
同時廣義相對論為引力場建立了數學方程，即愛因斯坦的引力場方程。如下我們直接陳列出廣義相對論的主要結論，它們是將其物理思想直接翻譯成的數學理論：
1)我們的宇宙是一個彎曲四維的黎曼流形（M,）,其中的物理意義是引力勢；
2)廣義相對論同時也建立了計算的拉格朗日作用量和場方程，即愛因斯坦場方程
從數學的角度來看，廣義相對論是關於宇宙結構的一種幾何理論，從物理的角度來看它是關於引力相互作用的物理理論，在愛因斯坦眼裡這兩者沒有區別，宇宙的幾何結構產生引力效應，而引力效應塑造了宇宙的幾何結構。
廣義相對論與一系列物理實驗（引力波，水星近動，光的引力紅移等等）的吻合使得它成為了刻畫引力相互作用最成功的理論。筆者在學習廣義相對論時不禁驚嘆於人類心智的偉大，廣義相對論可以說是純粹心智的產物，它起源於對物理思想深刻的洞察和體悟，成形於精緻的數學方法，它是純粹思維的產物而不是根據實驗現象的猜測和總結，卻成功地解釋了眾多的實驗現象，成為破解自然奧秘的鑰匙，因此它是人類心智的榮耀。筆者和小編之前合作的文章"暗物質暗能量之謎——宇宙大尺度的廣義相對論！" 中介紹了考慮暗物質暗能量現象的廣義相對論, 這是對愛因斯坦廣義相對論的自然修正，不違反廣義相對論的基本物理原理和數學理論，修正後的廣義相對論可以研究大尺度的宇宙學現象，並成功地統一解釋了暗物質暗能量現象，查看[4][5]。
下期預告：
我們將在下一篇文章中繼續探索由廣義相對論產生的兩個有趣的理論：黑洞和引力波。黑洞真的難懂又神秘嗎？其實不然，筆者將向讀者展示如何通過場方程的一些特殊解輕鬆了解什麼是黑洞以及它的一些有趣的性質。筆者還打算帶領讀者一同認識引力波這個近年來頗受關注的熱點科學論題，敬請關注！
小編旁白：
關於廣義相對論場方程的推導歷史，還有一個很有意思的小插曲。1915年7月，德國數學家大衛?希爾伯特（希爾伯特是數學界的通才，他總結當時最有挑戰性的23個數學問題，這些數學問題幾乎涵蓋了純粹數學的所有分支）邀請物理界新人愛因斯坦訪問哥廷根。面對台下一位位數學界老司機，愛因斯坦在台上通過自己對慣性系的理解，讓數學家們聽得如痴如醉。在愛因斯坦的思想框架下，希爾伯特在一個月後便獨立地推推導出了愛因斯坦場方程，比愛因斯坦早了5天。
然而希爾伯特並沒有爭奪場方程的專利權，因為他認為愛因斯坦的物理思想才是關鍵。儘管他曾開過玩笑：「就算哥廷根大學馬路邊的小孩都可能比愛因斯坦更懂四維幾何。」（或許在希爾伯特眼中，這並不是玩笑）[8][11]
大衛?希爾伯特。圖片來自維基百科
那麼在大家看來，希爾伯特和愛因斯坦，到底誰更接近於天才呢？
參考文獻
[1]TianMa, Shouhong Wang: Mathematical Principles of Theoretical Physics,Science Press, August 2015, 524pp.免費下載地址：http://www.indiana.edu/~fluid/MPTP.pdf.
[2]TianMa，Shouhong Wang, Astrophysical Dynamics and Cosmology, J. Math. Study,47:4(2014), 305-378.下載地址：http://www.indiana.edu/~fluid/paper/cosmology.pdf
[3]馬天：《從數學觀點看物理世界--幾何分析，引力場與相對論》，科學出版社，2012.
[4]"暗物質暗能量之謎——宇宙大尺度的廣義相對論！",科普最前線。
[5] TianMa, Shouhong Wang: Gravitational field equations and theory of dark matter anddark energy. Discrete. Contin. Dyn. Syst., Ser. A 34(2), 335–366 (2014). Seealso arXiv:1206.5078.
[6] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kepler.html.
[7] http://www.xys.org/xys/ebooks/others/misc/beauty_physics.txt.
[8] L Corry, J Renn and J Stachel, Belated Decision in the Hilbert-Einstein Priority Dispute, Science 278 (14 November, 1997).
[9] Dicke, Robert H.; "Mach s Principle and Equivalence", in Evidence for gravitational theories: proceedings of course 20 of the International School of Physics "Enrico Fermi", ed. C. M?ller (Academic Press, New York, 1962).
[10] https://en.wikipedia.org/wiki/Michelson–Morley_experiment#cite_note-hoover-3.
[11] https://en.wikipedia.org/wiki/Relativity_priority_dispute#Did_Hilbert_claim_priority_for_parts_of_General_Relativity.3F
※蘋果X手機發布會小結
※大自然的基本力系列（一）——四種基本相互作用簡介
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