美麗的幾何圖案·圖形基礎 數學啟蒙

前言

上圖是大頭酥從網上下載的。每當大頭酥看到漂亮的幾何圖案，都會忍不住欣賞一番。那麼，幾何圖案究竟美在哪裡呢？

對於這個問題，肯定一千個人有一千個答案。但要簡單地說，以下這幾個要素能讓人產生美感，應該還是比較容易得到贊同的：

簡潔

有規律

簡潔，則曲直分明，有內在力度，是種陽剛的美；遵循規律，則可按圖索驥，發現規律，是種陰柔之美。兩者相輔相成，隱藏在各種各樣的幾何圖案裡頭。

再如下圖，也是從網上找到的圖案，你可能沒什麼特殊感受，也可能覺得它很耐看，但不管怎樣，此圖給你的各種印象中，一定包含了「簡潔」和「規律」在內。

那麼今天就讓我們來講一講基礎的幾何圖形，以及欣賞一下幾何圖形可以給你帶來怎樣的審美體驗。

小知識

為什麼研究由點、線、面、體等組成的各種圖樣的學科要叫「幾何」呢？其實「幾何」一詞是翻譯過來的。明代徐光啟（上海的徐家匯就是以徐光啟命名）在翻譯《幾何原本》的時候，把英文單詞Geometry音譯加意譯翻成了「幾何」。「Geo-」在南方人的發音中和「幾何」近，而Geometry的希臘文原意是「測地術」的意思，即回答「地有『幾何』之術」。

由此可見，幾何的緣起是人們對於土地丈量的需求，而幾何學的發展，也離不開對大地的丈量，近代高斯、黎曼等大數學家對於非歐幾何的貢獻和開拓，也源自於對丈量大地的深入思考。嗯，這個話題暫且就這麼打住。

由於你要丈量的是土地，所以你最關心的肯定首先是面積，其次是邊界長短。故而我們要先從平面說起，而不是「點」或「線」。

從平面說起

先看下圖。在小朋友們知道什麼是直角以前，一定就已經知道了什麼是「方」。下面就是一個正方形。這個正方形是由很多小的長方形和正方形拼起來的。而這種拼鋪是遵循一定規律的。雖然具體是什麼規律比較難以用一句話說清楚，但是相信你「最直觀的感受」應該是「階梯形」。

粗略地說，「階梯形」拼鋪就是：每平移一段相同的距離，你都能看到一個相同的圖形。這種規律，叫做「周期」。換一個小朋友比較好理解的辭彙，可以叫做「循環」。舉一個例子：小朋友們一定看到過時鐘。不管是最長的秒針，還是最短的時針，它們每旋轉過一圈，都會分別回到自己原來的位置，只不過秒針轉得快些，時針轉得慢些。這就是一種循環，或者說「周期」（秒針的周期是60秒即一分鐘一個循環，時鐘的周期是12個小時一個循環）。

想一想：本文最開始的那張圖，裡面有周期（或「循環」）嗎？

再看下圖:

這個圖比上面的正方形更加複雜。它是由各種三角形、菱形、六邊形拼鋪而成。那這裡面也有「循環」或說「周期」嗎？有！但和上面的正方形不一樣，它的周期不再是「移動一段相同距離」能看到相同的圖案，而是「旋轉一個相同角度」。同樣是周期，或說「循環」，從移動到旋轉這麼一變，這張圖就有了「對稱」。什麼是對稱？就是通過旋轉、平移、翻轉（可以參照一下翻書時的樣子）後，得到的圖像和原來的圖像完全一樣。比如下面這個簡單的圓：

無論你（以圓心為中心點）怎麼旋轉，或（以任意直徑為軸）翻轉，你得到的還是這個圓，沒有任何兩樣。這就是對稱。

有了這個對稱的概念，我們就可以把前幾次課里玩過的照鏡子遊戲中曾提到過的「對稱」好好理解一下了：鏡子內外的你同時繞著鏡子旋轉半圈，得到的結果和沒有旋轉以前完全重合，一模一樣，只是鏡中的你和鏡外的你調換了一下，這就像「愛麗絲和鏡中世界」一樣，這種對稱，叫做鏡面對稱。

那麼在生活中，你是否可以仔細觀察到還有哪些地方隱藏著「周期」（或「循環」），哪些地方隱藏著「對稱」呢？紗窗上的格子、窗帘上的花紋、翹翹板、堆疊起來的飯碗……理解了周期的概念和對稱的概念，你會發現周期和循環真是到處存在，不勝枚舉。

也許你會覺得，像圓一樣這麼對稱的圖形，初看很美，再看就覺得無聊了。那麼請再看下圖：想一想，同樣是一個圓，這次稍微有一點點不一樣，它的周期性和對稱性還一樣嗎？為什麼？哪種給你的感覺更美？

正多邊形

現在我們要把圓弄得不再那麼圓，看看會得到什麼圖案。假設我們把上面這個圓看成一個大大的月餅。我們拿一把小刀，一刀一刀地小心翼翼地把月餅的邊給切下來，確保每一刀切下來的大小和形狀都一樣。如下圖：

這裡我們切了12刀，得到了12條直邊圍成的一個圖形，每一邊的長度完全一樣。這個藍色的圖形就叫做正12邊形。同樣來切月餅，下面是分別切了8刀和4刀切出來的，所以叫做正8邊形和正4邊形：

相信你一定已經猜到，用這種方法割月餅，同樣可以得到正5邊形、正三邊形。三邊形就是三角形，我們將來會再提到它。

以上我們得到的這些圖形，有一個統一的名字，叫做多邊形。因為它們的邊都是一樣長短，所以我們也把它們叫做正多邊形。你是否已經發現，切的刀數越多，也就是邊越多，得到的正多邊形的每條邊就越短，形狀也越接近圓？是的！這麼看來，圓可以看成是一個擁有無限多邊的正多邊形哦！

想一想，是否第一刀可以任意切，只要餘下的每一刀都切下和第一刀相同的形狀與大小，就能得到正多邊形？請拿一張紙來試一試吧。

現在，如果我們切月餅的時候不小心，沒有把每一邊都切得一樣長呢？來看下面的兩個圖形：大頭酥想要切出正方形，結果不小心，切成了……

……沒錯！被大頭酥切成了長方形，而且隨著一次次越切越離譜，這個長方形也越來越扁……

那麼再問你，如果這個長方形一直扁下去會發生什麼情況？

對了！會使得上下兩部分切下來的大塊月餅，將越來越接近於半圓，而左右兩部分切下來的小塊月餅，越來越接近一個點。等到左右兩邊完全只剩下一個點的時候，這個月餅就被分成了：上下兩個半塊月餅，以及當中一條只有一個點這麼寬的月餅線（這裡沒有把月餅看作圓柱而只是圓平面）！

上面這段話，同時引進了線和點的概念。請小朋友們反覆讀幾遍，真正理解它。

「普通」多邊形

切完了月餅，接下來讓我們再來看幾個並不那麼「正」的多邊形的例子吧：

上圖中有4個四邊形，除左下那個是正方形外，其它幾個都多多少少有點「歪」。它們就是屬於「普通」多邊形。不過，不知道你能否感受到，除了正方形外，剩下的這三個「普通」多邊形，似乎「普通」程度並不一樣？

如果正方形是最「正」最「不普通」的，那麼上面四個圖形里，誰最「普通」？我想你一定會說右下角那張是「最普通」的。

你為什麼會有這種感覺呢？其實，是對稱性在作怪！粗略地說，上面四個圖中，正方形之所以讓你感覺最不普通，是因為它的對稱性最高，上排的兩個圖形的對稱性稍微低一點，右下角的圖最不具有對稱性。想一想，再看一看，試著找到這種感覺並再回答一下「誰最普通的」問題。

我們有什麼辦法可以讓這個最普通的4邊形，變得漂亮起來嗎？可以的！看下面：

我給它照了一下鏡子。對了！它本身沒有什麼對稱性，我們可以通過照鏡子給它增加對稱性。我還可以再照一下鏡子，如下圖：

然後我還可以給它加一點周期性變化。還記得什麼是周期嗎？每移動一段相同的距離，就出現相同的圖案，或者每旋轉一個相同的角度，就會看到相同的圖案。我選擇後者試試：

你當然可以用任何圖形——甚至是一個簡單的隨手塗鴉——作為基礎圖形，選擇給它添加任何你喜歡的周期或對稱，化腐朽為神奇！趕快拿出紙來試試吧！

最後再看一張網上找到的圖，問問你媽媽，這個包包上的圖案叫什麼名字？她一定會告訴你，這個圖案叫「千鳥格」。用我們剛剛學過的知識，仔細看看這個圖案，你覺得它美嗎？美在哪裡？

上期答案

在9月25日教大家乘法表的文章里，大頭酥最後出了一道為大一點的小朋友準備的興趣題。不知道你是否動過腦筋，是否觀察過這道題，又或者，是否根據提供的線索，自己「百度」過這道題的來龍去脈。現在來公布答案：

（2k+1）階幻方的構作方法，以k=2，即5階幻方為例：

首先，在5階方陣（粗線框表示）的外面如圖延伸出小方格壘成的正三角形；

然後，按照如上圖，斜著隔行把1到25個數填入這些格子。落在方陣外的數字標為紅色；

接著把方陣外面的數字抄進方陣里，規則是：左邊的數字向右移動（2k+1）格，右邊的數字向左移（2k+1）格，上邊的數字向下移（2k+1）格，下邊的數字向上移（2k+1）格。這裡k=2，即相應地都移動5個格子即可。最後得到下圖：

通過以上幾個簡單步驟，我們就完成了5階幻方。你可以驗證一下，是不是每行、每列及兩條對角線上的數字相加都相同？宋代的楊輝真是高手！

本期興趣題

請看下圖：

答案下期揭曉

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