數學如何殺死了雷曼兄弟

來源：數學文化

Hiratio Boedihardjo / 文 丁 玖 / 譯

2001年一個陽光明媚的上午，一項投資計劃落在雷曼兄弟（Lehman Brothers）當時的行政長官迪克·富爾德（Dick Fuld）的桌子上。由一組數學和物理學博士們彙編的這份文件通過計算結果，顯示如果他們投資於房地產市場，銀行將如何總能最終獲得利潤。這給富爾德留下了深刻的印象，並導致了未來五年里這個銀行借貸數十億美元投資房地產市場。它成功了。房地產市場的繁榮已將雷曼兄弟由一個中等規模的公司變成世界第四大投資銀行。

但是，隨著住房市場開始萎縮，那些博士們的假設開始逐一失去。投資現在變成了一個錯誤，導致一個驚人的613億美元損失。2008年9月15日雷曼兄弟（Lehman Brothers）崩潰，維基百科描述這是「美國歷史上最大的破產案」。

賺錢模式

倒閉前的雷曼兄弟總部，紐約洛克菲勒中心（圖片來源： David Shankbone)

想像你正為雷曼兄弟工作。一天早晨，你接到來自滙豐銀行的一個電話：

嗨！一百個客戶每人向我們借100萬美元一年。我們想購買你們的保險以防止他們違約。從申請表格來看，我們認為他們每個人有3％的違約幾率。多少保險費用比較合適？

事實上，這很容易計算：100個客戶，每個有3％的違約機會，則預期三個客戶明年違約。也就是說，明年你將需要支付300萬美元。假設利率每年為3％，明年的300萬美元目前值得3/（3/100+1）＝3/1.03=291萬美元。

因此，滙豐銀行將不得不支付你至少291萬美元用於保險。當然，雷曼兄弟不是一個慈善機構，因此，為了賺錢，他們將增加一倍的價格也就是582萬美元，並預期這些交易平均可賺291萬美元。這種保險被稱為信用違約掉期（CDS）。

傳奇的CDO

看起來像是安全的投資？請三思而後行！

放下電話後，你可能很擔心如果10個借款人違約會發生什麼，因為那樣的話你就必須支付一千萬美元！在這種情況下，考慮這下面的計劃：先支付我一定的保險金，如果超過10個違約，你將只需要支付10個，其餘的我來支付。如果小於10個違約，你將必須支付所有的違約，而我不支付任何費用。我提供的這類交易計劃被稱為債務抵押債券（CDO）的高級檔，而你得到的那個被稱為CDO的初級檔。

高級檔的吸引力是，幾乎所有的時侯我都不必支付任何費用，只是將我得到的保險費往兜里揣。試想一下，有超過10個借款人違約的可能性是多麼地微乎其微！高級檔被普遍認為與從政府借錢同樣安全。由於高級檔提供了一個更好的回報，又像把錢存在銀行里一樣安全，投資者太喜歡它了。在2004年，髮型的CDO僅有157.4億美元，但到2007年，金額同比增長至481.6億美元。

可以像銀行存款一樣安全，但又可以得到一個很高的回報，你不覺這事美得有點不公平嗎？

金融陷阱

是的，這是不公平的！事實上，CDO風險比銀行存款大很多，但雷曼兄弟和許多投資者一樣，似乎並沒有意識到這一點。讓我們回到原來的模型。第一種錯誤的來源是，我們認為每個投資者都有一個3％的違約機會。我們怎麼知道的呢？它一定來自歷史數據。問題是，20世紀20年代大蕭條以來還沒出現過一次全國住房價格同時下降，因而借款人違約可能性的計算是基於住房價格大幅上漲的好時期。然而，房地產市場在2007年崩潰。現在，許多借款人的財產估價小於他們應付的貸款數，因此許多人拒絕支付。更糟的情況是，22％的借款人是所謂的次級抵押貸款的借款人------那些人幾乎沒有收入，沒有什麼還錢本錢。銀行不害怕把錢借給他們，因為即使他們違約，保險公司也將會支付損失。次級抵押貸款借款人的參與，使得貸款比以前更具風險。

2008年9月15日的晚上，雷曼兄弟總部（圖片來源：Robert Scoble）！

事實上，違約風險在美國翻了兩番，從違約概率模型所假設的3％到2007年以來的12％，這樣意味著風險增加了四倍。也就是說，像雷曼兄弟這樣的銀行有可能會受到比他們預期高4倍的重創。

事實比這更要糟糕。比CDS和CDO複雜得多的金融產品的盈利性還依賴於違約概率的平方，而不是概率本身。當違約概率從0.03上升到0.12，概率的平方從0.0009 上升到0.0144------這是一個16倍的增加因子！

還有第二個是更微妙的錯誤來源。出售CDO的銀行保險是否可以賺錢，取決於借款人是否能還錢，而這反過來又取決於經濟。因此，如果經濟癱瘓了，你更有可能要賠錢。如果是一個積極的投資者，那麼可能同時也在股市上投資。現在，如果股市崩潰，則投資在股市和CDO的錢雙輸。我們的模型中的錯誤是，我們還沒有考慮CDO依賴市場的這種額外的風險。

認識不到這兩個錯誤，就可能悲劇性地忽略CDO風險。事實上，當人們認識到CDO的風險時，由美林發行的30種CDO中的27種，其評級已從AAA（最安全的投資）下調至「垃圾」了。

雷曼兄弟倒下了

可憐的雷曼兄弟當時並不知道這隱藏的風險，決定對CDO大投資。它甚至有一個35比1的債務與股東權益比率，也就是說，在其銀行帳戶上的每36美元它僅擁有1美元------其他35美元是從其它地方借來的。這意味著若其資產有3％的損失，就會失去它的所有資本。在遭受CDO重大損失之後（超過其資產負債的3％），借款人開始失去信心。由於雷曼一直依賴短期貸款，貸款人可以迅速收走現金。現在它陷入了困境。借用的遠遠超過它需要返還的，並很快回天乏術。2008年9月15日，世界第四大投資銀行永遠地消失了。

本文摘自：《數學文化》雜誌第6卷第1期

作者簡介

作者Horatio Boedihardjo是牛津大學概率論博士生；他15歲進牛津大學讀書，法律上需要由監護人陪讀。最後父親決定辭工陪讀。他的弟弟March Tian Boedihardjo（沈詩鈞）也是神童，9歲進入香港浸會大學數學系學習，13歲取得學士、碩士，現在是美國UCLA大學數學助理教授。

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