狄拉克和他的δ函數

弘揚數學文化，推動數學教育

本文選自《數學文化》第6卷第1期

如果讓我選一個「最優美的函數」的話，我會選「狄拉克 δ 函數」。

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狄拉克 δ 函數為數學家、物理學家及工程技術人員所熟悉 ；它由英國科學家保羅 ?狄拉克引進，因而得名。

保羅 ? 狄拉克

保 羅 ? 狄拉克（Paul Adrien Maurice Dirac）1902年8月8日出生於英國的布里斯托爾（Bristol）， 就讀於主教路（Bishop Road）小學，在和布里斯托爾大學合辦的 Merchant Venturers 男子技術學校（現已不存在）讀完中學，之後在布里斯托爾大學工學院電子工程及應用數學專業以優異成績畢業，最後於 1926 年在劍橋大學聖約翰學院取得物理博士學位。

有兩件事足以表明狄拉克在學術界的地位 ：英國劍橋大學有一個燦耀得無與倫比的盧卡斯數學榮譽講座教授職位，於 1663 年根據當時著名的大學議會議員亨利 ? 盧卡斯（Henry Lucas）的捐款和遺願而設立。曾榮登此寶座的有大名鼎鼎的牛頓和霍金。1932 年，30 歲的狄拉克便榮膺這個桂冠。翌年，狄拉克和薛定諤（Erwin Schr?dinger）一起分享了當年的諾貝爾物理獎。

我通常認為狄拉克是一個「工程物理數學家」。在向大家作更詳盡的解釋之前，先讓我們一起來簡要地回顧他的 δ 函數的背景和簡史。

對於工程技術人員、物理學和應用科學家們來說，下面這兩個式子算是定義了δ函數 ：

這兩個式子一目了然且功能巨大 ：對實軸 R 上的任何連續函數 f(x) 和任何實數 r 都有

這實在太好用了，不是嗎？

數學家對此不以為然，因為它不是一個常義下的標準實值函數。它只是一種廣義函數，因而需要把它的定義嚴格化。現在知道，可以把 δ 函數嚴格地定義為一種測度 ：

對定義在實軸上任意連續函數 f(?)，可以令 δ 為滿足 Lebesgue–Stieltjes 積分

的一種測度，其中 H(x) 是 Heaviside 階梯函數。也可以把 δ 函數嚴格地定義為一種Sobolev-Schwartz 分布 ：考慮一個包含所有某類足夠光滑的、在實軸上具有緊支集 Ω的函數 ?（稱為試驗函數）的空間 S。此空間中每一個有定義的連續線性泛函都稱為是一個分布。一個定義在空間 S 中具有緊支集 Ω ＝｛0｝的線性泛函被稱為狄拉克 δ 函數。

在這裡讓我們更感興趣的，是 δ 函數出現的歷史契機。

幾乎所有的科學發現和技術發明都有歷史可循，基本相同或相似的思想火花在漫長的過去時常已有浮現甚至多次閃爍。回顧一下歷史，數學家和物理學家共同探討數學問題的現象在十九世紀初就已經很普遍，那時許多科學家同時是數學家和物理學家。δ 函數的基本思想可以追溯到泊松（Siméon Poisson）在 1815 年關於複平面上線積分的研究以及傅立葉（Jean-Baptiste Fourier）在 1822 年關於熱的解析理論一書。特別是柯西（Augustin-Louis Cauchy）在 1815 年寫成、1827 年發表的一篇關於無窮小分析的論文里，實際上已經使用了無限高和無限窄的單位脈衝來做積分核，因此後人也稱之為柯西 δ 函數，或柯西 - 狄拉克 δ 函數。後來，基爾霍夫（Gustav Kirchhoff ）在 1882年關於積分方程的研究和海威賽（Oliver Heaviside）在 1883 年關於奇異函數的求導中，都間接隱晦地使用了實質上的 δ 函數。

我們今天使用的 δ 函數的簡單明確表述形式歸功於狄拉克。狄拉克需要 δ 函數的主要動因來自他對量子力學的研究。也許是基於下面馬上就要來介紹的狄拉克關於 δ函數的自然又合理的引進方式，後人都把它稱為「狄拉克 δ 函數」。

早在十九世紀，克羅內克（Leopold Kronecker）就引進了離散 δ 函數

其中 i 和 j 為任意整數。狄拉克 δ 函數是對它的一種自然卻又艱難的推廣。我們不妨猜測，狄拉克當時考慮一個粒子 a 的量子態，並創造性地用符號|a>來標記（現稱為狄拉克符號）。首先，狄拉克把它在一個有限維的完備內積空間中作展開 ：

其中{|xi>}i-1n為正交基底，滿足 = δij， i, j =1,2,…,n 。於是，從基底態 |xi>去計算量子態 |a> 的概率為 pi=< xi| a>=ai，從而

然後，狄拉克要把上式推廣到無窮維的量子態空間去，以便描述粒子 a 的完全狀態 ：

因為粒子 a 的量子態是連續而不是離散的，從而需要把這個無窮級數換成積分 ：

其中 f(x) 是在位置 x 上粒子出現的概率，滿足

這個關係式對所有的量子態 |a> 成立，因而對所有的 f(x) 也成立。剩下的問題是如何去找「函數」 。於是上式變成

啊哈，這個「函數」g(x)，不就是狄拉克想要的「δ 函數」 嗎 ? ！

δ 函數是狄拉克留給後人的一個可喜可賀的數學貢獻。更重要的是，狄拉克的名字和二十世紀最重要的科學成果之一的「量子力學」密不可分。

1928 年狄拉克 26 歲，提出了一個符合相對論的關於電子的方程式，即後來著名的狄拉克方程，這裡簡寫為 ：

其中 m 為質量，rμ是狄拉克引進的特殊矩陣（現稱為狄拉克矩陣）， ψ 是狄拉克引進的一個用於描述自旋 ?1/2 基本粒子場（現稱為狄拉克場）。這個方程式被後人稱為是世界上和歷史上最漂亮的幾個方程式之一，它能非常成功地推導出所有已知的關於電子的屬性。但是，這個方程式隱含著一個致命的問題，就是它有具有負能量的量子態的解，而這一點是違背當時物理學基本理論的。可是，把這種解丟掉的話又會引來一些數學的內在矛盾。怎麼辦呢？

狄拉克在冥思苦想了兩年之後，在 1930 年提出了一個非常大膽的猜想 ：具有負能量的量子態是存在的，只是我們還沒有觀測到！他的論據是，這種量子態通常被電子佔據了，而電子又遵循不兼容原理，所以其它電子無法進駐這些帶負能量的量子態，致使這些負能量態好像不起任何作用 ；但是，一旦某個負能量態空了出來，它的行為就會像一個帶正電的粒子一樣。狄拉克認為這個「空穴」應該是一種新粒子，並稱之為正電子。他還指出，真空中充滿了無限多這種具有負能量的粒子態，後人稱之為「狄拉克海」。

時間很快又過去了兩年。1932 年，卡爾 ? 安德森（Carl Anderson）在宇宙線中發現了正電子，證實了狄拉克的預言真的是「空穴來風」！當時的新聞震驚了整個科技界。狄拉克因此和薛定諤一起分享了 1933 年的諾貝爾物理獎——那時狄拉克才 31 歲，在他劍橋大學博士論文《量子力學》答辯七年之後。這期間，狄拉克還發展了費米-狄拉克（Fermi-Dirac）統計原理並開創了量子電動力學。順便提及，到 1936 年，卡爾 ? 安德森也獲得了諾貝爾物理獎。

狄拉克對正電子的正確預測是近代理論物理最偉大輝煌的成就之一。現在我們知道，不僅負電子有其相反的正電子，所有粒子都有其反粒子——反質子和反中子於1955-56 年相繼在美國加州勞倫斯-伯克利國家實驗室（Lawrence Berkeley National Laboratory）中被發現，反氫原子則於 1995 年在歐洲核子研究組織（CERN）被成功製造出來——反粒子的存在性證明是量子力學與相對論相結合之後的必然結果。

前面說過，幾乎所有的科學發現和技術發明都有歷史可循。歷史紀錄表明，在德國出生的英國物理學家舒斯特（Sir Franz Schuster）早在 1898 年就曾兩次寫信給《自然》雜誌，推測反原子和太陽系中反物質的存在。狄拉克則給出了科學理論根據。今天科學家們雖然相信反粒子可以進一步構成各種物質的反物質，但同時也知道反物質與物質並不對稱地存在，它們在太陽系中微乎其微並且與物質相互湮滅，因而不會對人類帶來特別的好處或者傷害 ——至少目前來看是這樣。

1927 年第五次索爾維（Solvay）會議參與者（攝於比利時索爾維國際物理研究所）；這是一幅被稱為「世界上最具睿智的大腦群集」的世紀照片，包括愛因斯坦（前排，左五）和居里夫人（前排，左三）等；狄拉克站在全幅照片的正中央（二排，左五）

狄拉克極具天才物理學家的直覺。1931 年，他在對電磁場理論做了深入研究後得出一個令人驚奇的結論 ：電場和磁場應當對稱。他認為如果存在只有一個極而不是同時具有南北兩極的磁粒子（稱為磁單極子）的話，電和磁現象就具有美好的完全對稱性。狄拉克預測了磁單極子的存在。它不僅使麥克斯韋方程具有了完全對稱的形式，而且可以解釋電荷的量子化現象，條件是任何帶電粒子的電荷必須是單位電荷的整數倍以及任何帶磁粒子（磁單極子）的磁荷必須是單位磁荷的整數倍。這一結論揭示了電荷和磁荷的不連續性，解釋了懸而未決的「電荷量子化」難題。可是，多年來科學家們通過種種方式尋找磁單極子，均一無所獲，直到 1994 年美國物理學家塞伯格（NathanSeiberg）和威滕（Edward Witten）才從理論上證明磁單極子可以存在。不過，功夫不負有心人，2013 年德國亥姆霍茲國家研究中心聯合會（Helmholtz-Gemeinschaft）的研究人員莫里斯（Jonathan Morris）在其他大學同事的協作下，首次觀測到了磁單極子在一種實際材料中出現的過程，從而證實了它的存在。他們的研究報告於當年9月3日發表在《科學》雜誌上。

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自古名人多軼事，狄拉克也不例外。

狄拉克一生多思寡言，總是被同事稱為怪誕之人。當年劍橋大學的同事們在描述狄拉克時有一個善意的玩笑，把「一小時說一個字」定義為 1 個 「狄拉克單位」，足見他平日言辭之少。倫敦博物館資深研究員格雷厄姆 ? 法米羅（Graham Farmelo）在他 2009 年的一本傳記文學作品《最奇怪的人》（The Strangest Man: The Hidden Life ofPaul Dirac, Mystic of the Atom）里收集了不少關於狄拉克的軼事趣聞。

法米羅著狄拉克傳記（2009 年出版）

狄拉克一生對文學藝術沒有興趣，他只追求物理與數學之美。美國猶太人物理學家、曼哈頓計劃主要領導者之一的羅伯特 ? 奧本海默（Julius Robert Oppenheimer）喜歡文學和詩。狄拉克有一次見到他時說 ：「聽說你在寫詩。我不明白一個工作在物理學前沿的人怎麼能夠同時又去寫詩。這兩者是不相容的。科學是把以前沒有人了解的事情用大家都能明白的話來說清楚，詩卻是將大家都已經知道的東西以無人能夠理解的方式表述出來。」

有 一 次， 狄 拉 克 與 物 理 學 家 玻 爾（Niels Bohr）一起參觀哥本哈根的國家藝術博物館。當他們來到一幅印象派油畫面前時，玻爾頗為欣賞，但狄拉克卻驚奇地指著畫面說 ：「咦，這條船還沒有畫完嘛！」

又有一次，狄拉克和物理學家海森堡（Werner Heisenberg）一同到日本講學。海森堡向來社交活躍，在一次晚會上與年輕姑娘們翩翩起舞。狄拉克問他為什麼這樣興高采烈？海森堡笑了，說和好姑娘們跳舞是一種享受。狄拉克想了一會，依然不解 ：「您怎麼知道她們是好姑娘？」

還有一次，狄拉克在美國威斯康辛大學作報告。報告中他不時停下來，問問大家有什麼問題沒有？期間，有一位聽眾說 ：「您寫在黑板右上方的那個方程我看不懂。」狄拉克聽後一言不發，讓當時的場面相當尷尬。幾分鐘過去了，主持人試圖打破僵局，說狄拉克教授您就回答一下剛才那個問題吧。狄拉克喃喃地回應道： 「剛才那個不是問題，好像是一個說明。」

前面提到，1933 年狄拉克與薛定諤共享諾貝爾物理獎。當時他私下對學術老前輩盧瑟福（Ernest Rutherford，1908 年諾貝爾化學獎得主）說，他不想成為新聞人物，打算拒絕接受這個榮譽。盧瑟福對他說 ：「如果你這樣做，你會更出名，人家更要來麻煩你了。」於是狄拉克才同意去領獎。另一個例子說，英國皇室曾經冊封狄拉克為騎士，可是狄拉克卻拒絕了，只因為他不想讓自己名字加上一個前冠。難怪玻爾後來評論說 ：「物理學家中，狄拉克具有最純潔的靈魂。」

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時間飛越到了 1970 年。為了與嫁到美國佛羅里達州州府塔拉哈西（Tallahassee）的女兒瑪麗 ? 伊麗莎白（Mary Elizabeth）住得近一點，68 歲的狄拉克以劍橋大學榮譽教授的身份全職加盟佛羅里達州立大學。他在那裡平靜地度過了輝煌一生最後的十四年，於 1984 年 10 月 20 日辭世，被安葬在該地的玫瑰坪墓園（Roselawn Cemetery）。2002 年 7 月 9 日，他的夫人 Margit Wigner Dirac 逝世，合葬一處。他們的另一個女兒佛羅倫斯 ? 莫妮卡（Florence Monica）則安家在加州拉由拉市（La Jolla），在那裡度過一生。

狄拉克夫婦在玫瑰坪墓園的石碑

保羅 ? 狄拉克的父親查理斯 ? 狄拉克（Charles A. L. Dirac）出生在瑞士的聖莫里斯（Saint-Maurice）, 後來移民到英國。保羅去世後，鄉親們為他在家鄉聖莫里斯的父親墓旁修建了一個小小紀念碑。此外，位於英國倫敦的威斯敏斯特教堂（Westminster Abbey），俗稱西敏寺，是英國國王登基和皇室舉行婚禮的地方 ；如果死後能在此地放一墓碑，則是至高無上的榮耀。這裡長眠著許多偉大人物，如牛頓、達爾文、狄更斯、邱吉爾、彌爾頓。牛頓墓旁放置有一塊小小石碑，上面鐫刻著保羅 ? 狄拉克的名字以及他那優美的方程式。

位於瑞士莫里斯的狄拉克紀念碑

位於倫敦西敏寺的狄拉克石碑

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2013 年我在布里斯托爾大學的工學院學術訪問三個月，在布里斯托爾度過了整個夏天。趁此之便，走訪了狄拉克的故居和小學，更在狄拉克曾經讀書的地方工作多時、瀏覽多遍。

狄拉克的故居已經為他人私有，僅在大門邊牆上掛著藍底白字的圓牌一塊，寫著 ：

「保羅 ? 狄拉克 ；1902 – 1984 ；1933 年諾貝爾獎獲得者，他闡明了量子物理和反物質的奧秘 ；他出生在這所房子里並居住於此至 1913 年。」

英國布里斯托爾的狄拉克故居

狄拉克就讀過的主教路小學和布里斯托爾大學及其工學院內外，則完全找不到狄拉克的任何痕迹 ：沒有匾額、沒有圖片、沒有說明。

主教路小學

驚詫或者說失望之餘，我與幾位狄拉克故居及小學鄰居、教師，特別是布里斯托爾大學工學院的資深教授作過閑聊，問他們為何不把狄拉克故居變為博物館？為何不在小學圍牆外貼上狄拉克的巨幅畫像？為何不在工學院內設置狄拉克展覽廳？

呵呵，我自認為問得在理，沒想到所得回應大同小異、平淡無奇 ：

「全世界都知道我們的狄拉克，用不著去刻意渲染。」

「誰不知道狄拉克的話是他的無知，不是我們的過錯。」

言語之間，流露出莫大的民族自信。

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最後回顧一下，我前面把狄拉克稱為是「工程物理數學家」。事實上，我並不是唯一這樣來理解他的人。上面提到格雷厄姆 ? 法米羅 2009 年的傳記中說 ：「狄拉克常常具有令人費解的驚人思路的根本原因之一在於他是一個異同尋常的『混血兒』——他身上有一部分是理論物理學家，有一部分是純粹數學家，還有一部分是工程師。」狄拉克的δ函數正好就是這種三位一體的科學技術理論的完美產物。

狄拉克常常以直截了當的方式進行數學推理，每一步的推理都受物理直覺的引導，有時還抗拒數學的嚴密性——如果這種嚴密性妨礙他思考的話。他對δ函數的定義和使用就是一個例證。數學家伯克霍夫（Garrett Birkhoff）曾經在寫給物理學家肯布爾（Edwin Kemble）的信中說，他在劍橋大學聽狄拉克講授量子力學課程時，「出乎意料的是，我發現狄拉克表述物理系統的方法只是為了形式上的方便，它不具體表達那些人們尚不完全熟悉的數學原理。……狄拉克允許自己享有太多數學上的自由。」肯布爾回信表示同意，並寫道： 「就不合理的推理而言，我已聽說有人列出過他四十至五十個錯誤。可是，他的最終結果總與實驗一致。對我來說，他十分神秘。」

狄拉克對數學嚴密性的寬鬆態度也許滋生於他早期接受的工程教育。然而狄拉克非常感激自己在工程學院里獲得的訓練。他說 ：「如果沒有這些來自工程學的訓練，我或許無法在後來的研究中做出任何成果。…… 那些要求所有計算推導上完全精確的數學家們很難在物理學上走得很遠。」

物理學家們喜歡狄拉克自然不必說了，他的物理直覺居然預言並論證了不可思議的反物質的存在。工程技術人員則喜歡他的簡明直接的推理邏輯，特別是他對 δ 函數的直觀表達。數學家們其實也很喜歡他，為補證他的 δ 函數而發展了分布理論不說，今天許多人依然沉迷於研究狄拉克流形（Dirac manifold）。這當然也可以從狄拉克本人的自述反過來品味： 「我的工作中有很多時候只是在玩方程式，看看可以得到什麼結果。」這不是一句典型的數學家的話嗎？狄拉克也說 ：「一個數學理論如果是真正漂亮的話，它一定會顯示為一種優雅而重要的物理現象。」1956 年他訪問莫斯科大學時，曾在黑板上寫道 ：「物理學定律必須具有數學的美。」

狄拉克是無神論者，不過他 1963 年發表在《科學美國人》雜誌中的一篇論文里寫道 ：「上帝是一位高明的數學家，祂用高深的數學來構建宇宙。」

作者簡介

陳關榮，香港城市大學電子工程系講座教授，歐洲科學院院士 。

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