他能否憑一己之力，改變整個學科？這個超強理論，可是難住了全世界的數學家啊……

太長不看版

前幾天，我們說數學界超大突破或將正式發表，但全世界只有12個人看得懂……

別急，可能你馬上就會成為第14個能看懂的了，起碼看懂一部分……

5年前，日本數學家望月新一將他對abc猜想的證明貼在了網上——這個證明如果成立，必然是幾十年來最重要的數學成果，包括費馬大定理在內的許多難題都將迎刃而解。

這篇論文為啥這麼難懂？如果它成立了，為啥甚至能改變整個學科？歷史上，同樣是做出突破性貢獻的科學家，何人志得意滿，何人潦倒而死？

作者：fwjmath

編輯：Ent

據《朝日新聞》，望月新一關於ABC猜想的論文可能將要發表，審核它的期刊是《數理解析研究所公刊》（PRIMS）。

媒體對此的報道大抵聚焦在兩點上：一是這個期刊就是他的工作單位主辦的，一是這個論文幾乎無人能懂。

作為一個數學研究者，我個人並不擔心望月新一的利益衝突問題，不但因為數學界有一套相當完備的系統用以避免利益衝突，在選定編輯和審稿人時有良好的避嫌標準，更重要的是：他沒有動機。他已經功成名就，不需要什麼文章。數學這種東西，對就對，錯就錯，不存在編數據或者實驗造假，一切細節都在文章里。要是錯了，無論強行發表在什麼期刊上，也終有一天會被發現，而一發現就無可抵賴，只能重新修補。

但是他的理論絕不僅僅是一個「幾乎無人能懂」的怪物而已。它所試圖解決的根本數學問題，它背後的當代數學界的面貌，它反映出的做數學研究是怎樣的狀態，這裡面還有太多的故事並不是、也不應該是只有幾個人能懂。

甚至也許可以說，這些故事能讓人直觀地感受到：現代數學是什麼。

懂他的，只有十幾個人

望月新一的研究領域，是所謂的「遠阿貝爾幾何學」。如果一句話解釋這個領域的話，我只能這樣寫：

遠阿貝爾幾何學研究的是，有理數的絕對伽羅華群，以至任意代數簇的平展基本群，它們「遠離阿貝爾」的部分，也就是不符合交換律ab=ba的部分，會如何影響相應代數結構的性質。

是的，對於望月新一的體系，我其實也只算理解基礎，是數學界內部的吃瓜群眾。但面對這個體系，很多數學家的境況並不比我好得多。包括菲爾茲獎得主陶哲軒，包括望月新一的恩師法爾廷斯，他們都抱怨望月新一的證明太簡略太難懂。現在，懂得整個證明的，除瞭望月新一之外，據說只有十幾個人，大部分在日本，其他在美國和法國。

但是，如果他是對的，那就意味著代數幾何的重大革新。

一個人能改變整個學科嗎？

一個新的證明或者理論體系，給數學界帶來重大影響，這並不是第一次。

大衛·希爾伯特也許是最重要的現代數學家之一，光是他在1900年提出的那23個數學問題就差不多貫穿了整個世紀。他的成名之作，那篇「終結了不變數理論」的論文，在當時就引起了巨大的爭議。此前，不變數理論的大多數進展都基於具體的計算，需要給出具體的結果。這樣的證明又叫構造性證明。但希爾伯特的證明不屬此列，而分屬「存在性證明」，能斷言某個數學對象的確存在，但對於如何計算卻絕口不提。他一開始投稿恰好碰上了當時的「不變數之王」哥爾丹。哥爾丹對這樣的證明頗有微詞，他的退稿評價是：

這不是數學，這是神學。

但最終希爾伯特幸得克萊因的保薦（「這無疑是這本雜誌發表過有關一般代數的最重要的工作」），論文得以發表。正因為無需具體給出構造，存在性證明要比構造性證明要更為簡潔有力，也因此逐漸被廣泛接受。即使是一開始拒稿的哥爾丹，最後也承認了希爾伯特的工作，「即使是神學也有其價值」。希爾伯特之後也因為公理化的工作以及其他數學成就，躋身當時數學界的頂尖。

另一位為數學界作出巨大貢獻的德國數學家康托爾，他的命運卻大不相同。在研究傅里葉分析時，康托爾領會到無窮之後仍有無窮的無窮。他從最基礎的集合論開始，建立了一個全新體系，描述了超越無窮的無窮，也就是超窮[songshuhui.net/archives/90745]。集合論中的很多基礎結果，就出自他的手筆。

但他的研究甫一發表，就遭到許多頂尖數學家的攻訐。龐加萊說他的想法就像「嚴重的疾病」，正在感染數學這一學科。當時執德國數學界牛耳的克羅內克，公開反對康托爾關於超窮的理論，甚至到達了人身攻擊的地步。他稱康托爾為「科學騙子」、「背叛者」、「腐蝕了青年」，近乎偏執地指責著康托爾和他的理論。

但數學畢竟是數學。經過曲折發展之後，集合論成為了現代數學的基礎，成了數學系學生的必修課。正是希爾伯特作出了這樣的斷言：

身處康托爾跟我們一道展開的天堂內，我們屏息於驚嘆之中，知道無人能將我們由此驅逐。

可惜，康托爾本人的命運卻遠沒有那麼光明。也許是因為得不到理解，也許是因為這些無休止的攻擊，康托爾患上了抑鬱症，一直沒有痊癒。他的晚年恰逢第一次世界大戰，貧困加劇了戰爭帶來的飢謹。心臟病給他的最後一擊，也許是種解脫。

有好幾個人把望月新一比作上一代的數學家格羅滕迪克。格羅滕迪克的遭遇處於康托爾和希爾伯特之間。他的數學風格高度抽象，但卻能得出實際的結果。引用我之前寫的：

他談論的數學實在過於抽象，難以理解。但這就是格羅滕迪克做數學的風格：儘可能從數學對象中將不必要的細節抽象出來，抽象得一般的數學家都會以為剩下的只有「虛空」，然而他仍然能從「虛空」中抓住某些東西，從而建立他的理論，完成他的證明。用格羅滕迪克本人的說法，如果把數學問題比作堅果，大部分數學家做的就是用鎚子和鑿子把堅果鑿開，而他的做法則是將堅果浸在水裡，慢慢軟化它的外殼，又或者讓它經受風吹日晒，然後等待合適的時機，堅果自然就會裂開。

對於大部分數學家來說，這個過程太漫長，也許只有擁有深刻洞察力的格羅滕迪克，才能在能接受的時間內，用這種方法解決問題。這也是他的數學難以被理解的原因之一：他幾乎不考慮具體的示例，都是從儘可能抽象的角度出發，思考支配某個數學問題背後的宏大數學結構。有時候這也會鬧出笑話。有一次討論數學的時候，有人向格羅滕迪克提議考慮一個特定的質數作為例子。「你的意思是找一個真實的數字？」格羅滕迪克有點疑惑。對方點了點頭。他回答：「好吧，我們考慮57這個質數。」57當然不是質數，但格羅滕迪克大概沒有注意這一點，他從來不考慮具體的例子，一切從抽象出發。

格羅滕迪克的這種風格，讓他年紀輕輕就全套改寫了代數幾何所用的數學語言，給這個領域帶來了全新的抽象思維方式，讓代數幾何成為數學中可能是最抽象最深奧但也最有力量的分支。他編寫的EGA和SGA是代數幾何的入門寶典，他的定理和想法，尤其是標準猜想，仍然留在眾多代數幾何學者的心頭。

當然，新理論新證明被徹底摧毀的例子也比比皆是。在2004年，美國數學家路易·德·布朗奇（Louis deBranges）在自己的個人頁面上貼出了一篇124頁的論文，聲稱利用自己發展的基於希爾伯特空間的一套體系，證明了數論中最引人注目的黎曼猜想，跟望月新一的情況相當相似。因為德·布朗奇此前曾證明另一個著名猜想——比伯巴赫猜想（Bieberbach conjecture），所以也有人關注他的證明。但直至現在，論文經過多次修改，似乎仍然站不住腳。目前數學界普遍認為他並未能證明黎曼猜想。

不停有人提出新的想法，即使一開始不被接受，歷經時間洗鍊，終將得到應有的評價，而數學也就此進步。雖然提出新想法的人，他們各自有需要承受的命運，不以他們的貢獻為轉移。這就是數學史。

而望月新一的理論，就是在當下展開的歷史。他的理論是對是錯，只能拭目以待。

抽象的極致：望月新一的理論是什麼？

望月新一給他的體系起名為「宇宙際Teichmüller理論」（inter-universal Teichmüller theory），簡稱IUTT，有時候也省略對應「理論」的T，寫成IUT。

他並沒有特意發明這個略顯中二氣息的名字，這鍋要由他的先驅格羅滕迪克（Grothendieck）來背，是他發明了Grothendieck universe這個數學對象。而universe這個術語可能還要追溯到更久遠的集合論先驅，因為它對應著集合論中「所有集合組成的一堆東西」這個概念。是的，所有集合不構成一個集合，只能說成「一堆東西」，或者用「類」這個術語。幸好，中文對universe的標準翻譯「全類」沒有那麼中二。用上這個翻譯的話，中文可以寫成「跨全類Teichmüller理論」。但為了原汁原味起見，我們後面還是用「宇宙」這個術語。因為，另一個universe的數學，總有些不一樣。

有多不一樣呢？

這裡實在沒有辦法深入探討望月的IUT理論，不過正好有一個合適的例子，是望月新一在此之前研究的一個最最基礎的數學結構：p進整數。它並不在另一個universe，但你閱讀它的感受，大概和數學家讀IUT的感受類似吧。

p進整數是什麼？對於數學家來說最快捷易懂的定義，就是：

對於素數p，$(mathbb/p^nmathbb)_$的投影極限

（懵了嗎？我第一次看到這個定義時，一下子就讀懂了——但是我讀望月的論文，大概就是你現在的感受。）

p進整數有這樣的一些特徵（以p=7為例）：

......30211045064302335342是一個7進整數。你沒看錯，省略號在前面，而且它不是無窮。

可以對p進整數進行「正常」的加減乘除。

1/5當然不是普通的整數，但它是一個7進整數：1/5 = ......5412541254125412

0的絕對值是0，1的絕對值是1，但2、3、4……的絕對值也是1，直到7的絕對值突然變成1/7. 然後，8、9、10……的絕對值是1，14的絕對值是1/7，依此類推，直到49的絕對值變成1/49……

如果根據這個絕對值定義將所有p進整數看成一個空間，它裡面每個三角形都是銳角等腰三角形，而如果取一個球體的話，球體中每一個點都是球心。

圖片來源：維基百科，作者Melchoir

圖片來源：維基百科，作者Melchoir

一個自然的疑問是：這都是什麼玩意兒？？？

有這種疑問很正常，因為這屬於抽象而反直覺的數學。對於數學工作者來說，這種絕對值的定義，恰好呼應了p進整數本身的定義。如果明白一開始那個一句話定義，那麼現在這個「絕對值」的概念，就會顯得順理成章，甚至非此不可。這就是對數學概念的理解程度所導致的偏差。初看似乎不明就裡的數學概念，一旦掌握了正確的思維方法，就會變得淺顯易懂。

但這又談何容易！數學是如此抽象，必須經過多年的學習，慢慢熟習它的思考方式，才能理解它的內容。

p進整數，以及它的推廣p進數，不僅在望月新一以往的工作中出現，事實上，它早已是數論中常用的工具。當年懷爾斯對費馬大定理的證明也用到了p進數。望月新一此前發展的p進Teichmüller理論，則完全基於p進數，但p進數本身在這個理論中的地位，相當於高考數學中的自然數，只是最基礎的磚石。

而望月新一的新理論，「宇宙際Teichmüller理論」，還要高出一個層次。

他覺察到，用p進數構建的理論仍然不足以抓住他想要研究的那個數論結構，於是他另闢蹊徑，找到一個已經證明必定能抓住那個結構的數學對象，然後構建起新的數學理論，研究這個對象的性質，從而導出他尋找的性質。這大體就是宇宙際Teichmüller理論的發展動機之一。

要構建這樣的理論，需要同時用到遠阿貝爾幾何與表示論的工具，然而這兩者格格不入，難以調和。為了折中，望月新一需要將理論的基底，也就是最基本的運算，拆成加法和乘法兩部分，將它們消解為更複雜更抽象的結構，通過這些結構的互動和變形得到想要的性質，最後證明這些結構能夠重新「復原」成某種加法和乘法。

在互動和變形的過程中，他要在不同的宇宙（universe、全類）間遊走，才能得到足夠廣泛而一般的結論。加法和乘法結合起來會碰到的障礙，對於它們消解而成的結構卻不成問題，當然前提是通過恰當的變形，就像不同坐標系之間的變換。這就是為什麼望月新一要將他的理論稱為「宇宙際Teichmüller理論」。順帶一提，消解後的加法和乘法面目全非，不像通常的加法和乘法那樣基於同一套「數字」，而是形同陌路，望月新一的術語alienring structure就由此而來。這裡的alien，並不是什麼「外星」的意思，而是取拉丁語alienus的原意「屬於他人、非自身、外來、奇怪」之義。很多地方寫的什麼「外星算術全純結構」（alienarithmetic holomorphic structure），都曲解瞭望月新一的本義。

看不懂？很正常。我自己的主要的研究領域是組合數學，雖然跟通常的Teichmüller理論有那麼一丁點關係，但對於一般的代數幾何我也沒有正式學習過，所以只能在這裡描繪它大致的圖景。

但這就是現代的數學。它研究的內容如此廣泛如此深入，一個分支上的數學家已經難以理解另一個分支的前沿，更何況是代數幾何這一最抽象的領域中耕耘的人特別少的分支遠阿貝爾幾何，它的最前沿的推廣呢？更何況這個理論是如此抽象，處理的又是如此根本的數學結果。可以說，擁有足夠的知識儲備，有充足時間能夠理解並審查望月新一理論的數學家，即使不能說屈指可數，也很可能不超過100人，這還是相當樂觀的估計。

望月新一本人這樣說過，他的理論在數學界的處境，就像數學本身在整個社會中的處境：過於抽象，以至於人們不願意去鑽研和理解。

數學家們怎麼看這個新理論？

雖然難以理解，但新理論的確有其吸引力。望月新一本人在代數幾何這個領域早已名聲在外，他在1996年就證明了格羅滕迪克提出的一個有關遠阿貝爾幾何的猜想，還因此被邀請在1998年的國際數學家大會上作45分鐘演講。既然他之前的工作證明了他有如此能力，那麼他的新工作當然也值得認真對待。何況，望月新一宣稱他的新理論能夠用於證明數論中懸而未決的ABC猜想，這就更讓人期待了。

有些數學家被新理論所吸引，花了大量時間研讀，自覺理解了箇中真諦，成為了給新理論搖旗吶喊的人。

有些數學家同樣被新理論說吸引，花了大量時間研讀，但感覺還是解釋不清，難以理解。

有些數學家對新理論有興趣，但沒有時間研讀，只能交給別的專家。

有些數學家不懂這個分支，只能圍觀。

望月新一的「宇宙際Teichmüller理論」（IUTT），就這樣將數學界分成了兩大陣營：覺得自己讀懂的，還有覺得自己沒懂的。圍觀群眾不在此列。

覺得自己讀懂了的數學家，他們在積極地宣傳這個理論，想讓更多的人理解它。伊萬·費先科就是其中一員。近年來，在世界各地召開了數次討論IUTT的研討會，費先科有不少牽線搭橋之功。他和其他數學家也撰寫了不少介紹IUTT的文章和綜述，試圖用不同的視角來講述這個理論。

覺得自己沒有讀懂的數學家，有的仍在努力研讀，有的嘗試用自己知道的數學方法來從側面驗證IUTT的正確性；也有的已經放棄，轉而對IUTT的正確性產生了懷疑。

每個新理論都會經歷這個階段，這個等待驗證的階段。只有經過這個階段，等到大部分專家接受它的正確性，新理論才算是正式確立，數學也得以進步。

只是，對於IUTT來說，這個階段似乎太長了一點。

同樣是代數幾何中的新突破，另一位數學家彼得·索爾策（Peter Scholze）在2011年前後提出的perfectoid空間，很快就被數學界所承認，證據就是他從2012開始獲得的一系列殊榮。要知道，他提出這個理論的時候還只是博士生，但在2012年答辯之後，沒過多久就被母校波恩大學重新聘請為教授，以24歲的身份創下了德國史上最年輕教授的記錄。熟悉德國教育系統的人，會更感嘆他的成就，因為在德國，教授的地位很高，聘請的條件也因此非常苛刻。這更凸顯了他的成就。

那麼，索爾策和望月新一，兩人的理論為何遭遇迥異？

索爾策的理論處於代數幾何研究的主流，能理解的專家人數比較多，而望月新一的理論則不算主流，專家也比較少。有時候人多人少，也能決定理論被接納的速度。索爾策的理論包含的新意，很快就能被讀懂並應用到新的問題上；望月新一的IUTT則是全新的系統，略有格羅滕迪克的遺風，看起來波瀾不驚，但結論出人意料，需要吃透整個系統，才能判斷最後的證明是對是錯，但過於渾然一體，也讓別人難以進行旁敲側擊式的驗證，偏偏這種驗證也正是考驗新理論最快的方法。

對於望月新一來說，這些都是非戰之罪。雖有忮心，不怨飄瓦。

但望月新一自身也並非毫無責任。對於現代數學家的標準而言，他的個性也稍有乖張之處。即使他曾經在美國生活過，在回到日本之後，他就很不願意到海外與其他數學家交流。他並非不樂意交流，證據就是在2016年的一次IUTT研討會上，他曾通過視頻通話接入會場，為與會數學家解答一些疑難問題。而他窩在京都長時間自己搗鼓這一套理論，也不是數學界通常的做法。一般來說，數學家至少會跟同一個實驗室的同事討論相關問題，在討論之中，可以獲得更多靈感，也能藉此檢驗理論是否正確，或者投石問路，看看是此路不通還是大有可為。上一個口風像望月新一那麼嚴的，還是證明了費馬大定理的懷爾斯。當然，數學家經常開學術會議互相交流，少不免走漏風聲。我當然不知道望月新一有沒有跟同事討論，很可能有但是同事的保密工作做得很好，也許沒有但這個可能性很低，又或者關注遠阿貝爾幾何的人實在少。但結果就是，當這個證明出現之時，人們毫無心理準備。

另一個可商榷之處，就是他在公開他的理論時，沒有選擇數學界一般會使用的預印本網站arXiv，而是直接放到了自己的個人頁面上。當然，論文放到什麼地方，這是他的自由，但也使數學界不能及時了解他的理論。不過話又說回來，這項工作引起的轟動，也很快讓他的論文為數學界所知，所以其實問題也不大。

可以說，他的個性或者說偏好，在客觀上的確阻礙了他與同行之間的交流。

結果就是，現在即使接受IUTT的專家越來越多（對於一個相對冷門的領域來說，十幾個專家不算少數），但這些專家相當一部分是望月新一在日本的同事，還有過從稍密的同行。當然，也有相對獨立的學者認為他們同樣搞懂瞭望月新一的證明，但人畢竟也會犯錯，很多旁觀的數學家認為，現在認同的人數還不夠多。

數學這門學科雖然有無可辯駁的邏輯作為守門人，但它仍然是一種人類活動。新理論無論是對是錯，總要有足夠的人承認，才得以確立。確立後的理論也不一定正確，確立後被推翻的證明雖不多，但也有。只有當大部分專家都理解了這個理論，再也挑不出毛病，從而站到了「自認為懂」的陣營里，甚至能由此生髮出新的結果，理論才算真正確立。沒有相應專業知識，或者不肯花時間的人，都只是局外人，沒有權利對理論的正誤說三道四。

但事情畢竟在進展。據說，目前IUTT的四篇論文中，前兩篇構建的體系已經被許多專家認為成立，即使是那些覺得沒有讀懂整個證明的專家。目前爭議的焦點之一，在於第三篇論文的推論3.12，也就是Szpiro猜想的證明關鍵。Szpiro猜想能推出ABC猜想，也難怪大家特別關注這個推論。據說，在之前的版本，推論3.12的證明只有幾行，語焉不詳，但我看到的幾天前（2017-12-14）的新版本中，望月新一加上了好幾頁的註解。我只能希望這些註解能消除某些專家的疑惑。

在伊萬·費先科（Ivan Fesenko）的「科普」文章里提到，在關於望月新一證明的討論中，有一個詞經常被提到，就是「復原」。在望月新一構建的嶄新數學體系中，他將同時附著在「數字」之上的加法結構和乘法結構拆開，將兩者各自變形，然後重新「復原」。這種做法，先從根本上消解，之後再「「復原」，即使對於久經抽象推理沙場的數學家而言也相當奇怪。而望月新一的體系，正繫於這種「復原」的可行性。

如果他的體系是正確的，如果他的「復原」是成功的，這將帶來數學中代數幾何分支的變革。比如說，ABC猜想的證明。比如說，最終理解加法和乘法之間的關係。但現在，沒多少數學家能讀懂他的證明。無論證明是對是錯，也許數學界，至少是代數幾何，恐怕難以復原為以前的面貌。他的體系，他的證明，已經將數學家拆開成不同的陣營，陣營內部不斷發酵變化，引出了新的分歧。即使最後塵埃落定，得到的恐怕也只是望月新一式的「復原」。

但這就是數學前進的必經之路。

後記

我一直覺得，寫這篇文章的不應該是我。我做的是組合數學，代數幾何只是外行，雖諮詢了比我更懂的同事，但還是不敢說對它有足夠的理解。

但了解更多的人在哪裡？

我理解他們。這畢竟是一個高度抽象的學科，要向研究方向不同的同事解釋尚且很有難度，更何況向一般人解釋。

這也許也是望月新一不喜歡媒體的理由。媒體肯定不懂他的理論，只知道這可能是一個重大突破，可以搞個大新聞。但這些媒體何嘗願意了解他的理論？寫成報道，焦點多半在個人的私生活上，要麼就是各種八卦。看的人是很多，但看完之後，給人們又留下了什麼教益？

但這個事情畢竟不能不做。正如他的新理論也需要知音來幫助宣講，數學本身也要靠科普才能傳播，人們才會認識到數學的重要性，而不是問出「微積分有什麼用，又不能買菜」這種問題。懷有惡意的媒體固然會斷章取義，但讓更多人更了解數學的美妙也是件好事，值得再三權衡。

這篇文章，由於本人知識所限，難免有許多疏漏，權當拋磚引玉。希望與遠阿貝爾幾何關係更密切的專業人士，能寫出更深入準確的文章，讓大家分享數學最前沿的這一大事。

參考文獻

1. Ivan Fesenko, Fukugen, Inference Review,//inference-review.com/article/fukugen

2. Mochizuki Shinichi, Inter-universal TeichmullerTheory I: Construction of Hodge Theaters,http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Inter-universal%20Teichmuller%20Theory%20I.pdf

3. Mochizuki Shinichi, The Mathematics ofMutually Alien Copies: From Gaussian Integrals to Inter-universal TeichmüllerTheory, http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Alien%20Copies,%20Gaussians,%20and%20Inter-universal%20Teichmuller%20Theory.pdf

一個AI

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讀不懂？反正世界上理解這個理論的人，一共也只有十幾個啊……

本文來自果殼網，謝絕轉載

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