各類科研領域中哪些公式，原理或定律的推出，用到了有趣的思維方式？

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@土豆泥：

講一段大家非常熟悉的科學史。

Everything glows with the light of its own internal heat.

熱量其實是組成物體的粒子的隨機運動所產生的能量。加速運動的帶電粒子能夠產生電磁輻射（Electromagnetic radiation）——光，所以由這些不斷振動著的帶電粒子比如電子和質子，所組成的物質能夠發光（glows）。一個物體越熱，其組成粒子的振動越快。這些粒子的平均頻率隨著溫度的升高而增加。

所以，這個平均頻率就決定了我們所看見的顏色。太陽看上去是黃色的，因為其表面接近6000K的溫度所致，其輻射出的大部分光子位於綠色-黃色的電磁波譜段（Electromagnetic spectrum）。我們所知道的參宿七（Rigel），因為其表面接近12000K的溫度，所輻射的光子大多位於藍色甚至紫外波段，因此它也被稱為超藍巨星。

圖片來自Rigel Sun Comparison

你的身體溫度大約是310K，所以你發出的光子屬於低頻段的紅外波段，所以你放屁的樣子大概是這樣的：

圖片來自Infrared Human

在17世紀的60年代，艾薩克·牛頓爵士首先對熱發光現象進行了分析，當時，他使用了一面稜鏡對太陽光進行了分光處理，進而得知複色光的各種組分。

圖片來自newton s prism experiment

但他並不知道這些單色光的相對亮度是通向量子世界的關鍵之匙。直到19世紀的後半葉，發熱物體的亮度分布與頻率的關係譜圖被實驗結果精確的繪製了出來，這種在全黑背景下單純觀察發熱物體發光亮度的實驗導出了婦孺皆知的黑體光譜（Black-body radiation）：

圖片來自blackbody spectrum

這種看上有些奇怪的不對稱曲線，讓當時大多數科學家饑渴於其背後的深度規律。由於冶金以及照明設備製造等的需要，很多人試圖用精巧的可以最大精度範圍內預測整個模型的數學公式試圖去描繪這一物理現象，其中包括了當時兩位大英帝國的物理宗師：萊利勛爵（Rayleigh）和詹姆斯·金斯爵士（James·Jeans）。在20世紀的初葉，兩位紳士大膽地對黑體光譜發動了能量均分定理（Equipartition theorem）全面進攻。

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插播一下：

能量均分定理：在經典統計力學中，能量均分定理是一種聯繫系統溫度及其平均能量的基本公式。能量均分定理又被稱作能量均分定律、能量均分原理、能量均分，或僅稱均分。能量均分的初始概念是熱平衡時能量被等量分到各種形式的運動中；例如，一個分子在平移運動時的平均動能應等於其做旋轉運動時的平均動能。

引自Equipartition theorem

它強調的是一個物體的熱能可以被分布在其所有組成粒子的所有可能運動的方式中，簡言之，在平衡狀態下，能量可以在各種能級間被均勻地傳遞。

圖片來自https://www.youtube.com/watch?v=tQSbms5MDvY

插播結束

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在此基礎上提出的瑞利-金斯定律（Rayleigh–Jeans law）一時名動八方，其對應的函數曲線跟黑體光譜中的低頻區非常完美的符合：

圖片來自https://www.youtube.com/watch?v=tQSbms5MDvY

然而，在可見光和紫外等高頻區，它所描述的亮度直接朝天而去，跟實驗結果不符。

更糟糕的是，按照公式所傳達的信息，隨著頻率的不斷增大，輻射強度會直達無限大（infinity），而這樣的宇宙將會是非常恐怖的：遍布著無限高能的伽馬輻射。因為其帶入的信息對生命充滿了敵意，這個現象也被叫做紫外災變（Ultraviolet catastrophe）。這個災難也直接的說明了經典物理在瑞利-金斯定律中存在的本質錯誤。

後來的發現才證實，在經典物理之中，萬物都可以被無限地分割，永遠沒有最小的界限。瑞利-金斯公式允許粒子可以以任何數量的能量振動，這個數量可以一路下降到無窮小。所以當瑞利和金斯試圖把熱能均勻分布地到所有可能的能級中時，他們發現，在數學意義上，巨量的能量被塞到高頻區里數不盡的、分割到無限小的能級里，因此永遠沒有盡頭，從而出現了紫外災變。

直到我們故事的主角——德國物理學家馬克斯·卡爾·恩斯特·路德維希·普朗克（Max Planck）的一次意外收穫，才徹底解決了紫外災變。

在找尋一種新的黑體光譜的數學解釋的過程中，普朗克一直在構想可能的某種數學技巧（math trick）來計量所謂的無窮多能級，換句話說，他也是就著瑞利-金斯的套路在走。

在他後來自述的某個絕望的瞬間中，他嘗試了一種頗為愚蠢的辦法。在這個度規中，他令粒子振動的不同能量等於某個最小能量的倍數，換句話說，讓不同能級的能量量子化。他把這個最小的能量公式化為一個粒子振動的頻率與一個非常非常非常非常非常小的當時還無法測得數值的某個常數的乘積。這個常數後來成為了普朗克常數（Planck constant）。

圖片來自https://www.youtube.com/watch?v=tQSbms5MDvY

就是這個像電腦藍屏後你內心拔涼般隨意敲打鍵盤以求解鎖的舉動，完成對紫外災變的絕殺。因為他的方法實際上限制了高頻段振動所能輻射的能量數，普朗克方程從數學上完美的詮釋了黑體輻射光譜，覆蓋了所有頻段的光譜，最後成為了普朗克定律（Planck s law）。

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插播快訊

「紫外災變」這一名稱是保羅·埃倫費斯特於1911年提出的，從時間上看這比普朗克定律的提出要晚十年之久。紫外災變是指將經典統計力學的能量均分定理應用於一個空腔中的黑體輻射（又叫做空室輻射或具空腔輻射）時，系統的總能量在紫外區域將變得發散並趨於無窮大，這顯然與實際不符。普朗克本人從未認為能量均分定理永遠成立，從而他根本沒有覺察到在黑體輻射中有任何「災變」存在——不過僅僅過了五年之後，這一問題隨著愛因斯坦、瑞利勛爵和金斯爵士的發現而就變得尖銳起來。

引自https://www.mpiwg-berlin.mpg.de/Preprints/P150.PDF

KUHN AND THE QUANTUM CONTROVERSY

http://www.math.lsa.umich.edu/~krasny/math156_article_planck.pdf

快訊結束

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奇妙的是，馬克思·普朗克在一開始並沒有覺得這些量子態的能級是真實的，這隻應該是一次數學變換的技巧或者形式，他期望這個新的常數最後等於零，意味著能級之間不是離散的，不存在量子化，也沒有最小能級，在這種情況下，普朗克常數會在最後的等式中抵消掉，然而，這都沒有發生，相反地，普朗克常數堅挺地植根於黑體輻射定律的方程之中。能量量子化是存在的。

基於黑體輻射光譜的數學表達式，普朗克常數可以通過變數調整以精確匹配計算譜圖於實驗譜圖來來不斷接近真實數值。

像往常一樣，最後還是愛因斯坦完全理解了隱藏在普朗克奇異的量子化振動背後的物理意義，愛因斯坦最後真切地明白了，實際上光是量子化的。之前提到的那些不斷振動的小粒子確實具有量化的能量，但那是因為它們只能通過每次吸收或者釋放一個光子來增加或者減少能量。而光總是以不可分割的能量小包來回傳送。普朗克的發現確實是愛因斯坦假設光子以部分波、部分粒子形式存在的基石，也是愛因斯坦通過光電效應（Photoelectric effect）證實這一假設的重要線索。愛因斯坦通過這一膾炙人口的方程將具有粒子性的頻率與量子化特徵的普朗克常數聯繫了起來：

圖片來自https://www.youtube.com/watch?v=tQSbms5MDvY

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插播一下：

光電效應（Photoelectric Effect）是指光束照射在金屬表面會使其發射出電子的物理效應。發射出來的電子稱為「光電子」。要發生光電效應，光的頻率必須超過金屬的特徵頻率。光束里的光子所擁有的能量與光的頻率成正比。

假若金屬里的電子吸收了一個光子的能量，而這能量大於或等於某個與金屬相關的能量閾值（稱為這種金屬的逸出功），則此電子因為擁有了足夠的能量，會從金屬中逃逸出來，成為光電子；若能量不足，則電子會釋出能量，能量重新成為光子離開，電子能量恢復到吸收之前，無法逃逸離開金屬。增加光束的輻照度（光束的強度）會增加光束里光子的密度，在同一段時間內激發更多的電子，但不會使得每一個受激發的電子因吸收更多的光子而獲得更多的能量。

換言之，光電子的能量與輻照度無關，只與光子的能量、頻率有關。被光束照射到的電子會吸收光子的能量，但是其中機制遵照的是一種非全有即全無的判據，光子所有能量都必須被吸收，用來克服逸出功，否則這能量會被釋出。假若電子所吸收的能量能夠克服逸出功，並且還有剩餘能量，則這剩餘能量會成為電子在被發射後的動能。

引自Photoelectric effect

插播結束

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這個突破性的理論不但能夠解釋光電效應，也推動了量子力學的誕生。由於「他對理論物理學的成就，特別是光電效應定律的發現」，愛因斯坦獲頒1921年諾貝爾物理學獎，而在這之前的1918年諾貝爾物理學獎則屬於普朗克。

而普朗克形容的在那絕望一刻通過數學技巧所構想出來的常數，成為了量子力學的核心所在。

@沒有姓也沒有名：

我想來談談白金漢π定律（Buckingham PiTheorem）和熱質比擬（heat mass transfer analogy）. 第一個大Pi理論是一種依靠量綱分析來做擬合式的方法，第二個是通過類比兩個同機理的現象來研究彼此的方法，它們都被廣泛地利用在了經典物理學領域。

首先舉個栗子！

現在我們的第七代導演矮先生要抄了一本小說接著要拍一部青春偶像劇，在那個劇中有一幕是霸王龍突然出現在了女孩紙的婚禮上吃掉了某綠茶x。矮先生出了82分錢和一個6 6 6湊成了一塊錢給特效小組，要做一個霸王龍和人追逐並吃掉人的場景。

（Jeff Goldblum Runs from T. Rex inWorld s Best Wedding Photo）

特效小組非常地方，因為導演只告訴了他們，一開始霸王龍和那個倒霉鬼相距20米，卻沒有告訴他們霸王龍能跑多快！

於是他們就在1塊錢裡頭分了7分錢給了一個磚家，讓他去研究一下霸王龍的奔跑速度。

磚家看了好多部原版的豬羅紀公園，經過研究他發現，成年的霸王龍奔跑的速度可能與一下幾個量相關：

霸王龍的腿長：H

霸王龍的年齡：A

(dinosaur town ruins people rex artfiction tyrannosaurus t-rex HD wallpaper)

磚家表示自己一點都不方，因為他想到了以前上大學的時候參加考試，曾經有一道關於量綱分析的題目，他依稀記得自己抄的旁邊的學霸的答案。

就決定是你了，Buckinghan Pi！

他知道所有量的單位，並列了一張表：

這裡為了單位統一，所以速度是米每秒（m/s），腿長是米（m），年齡使用的是秒（s）.

那麼對應下來，速度的量綱就是【長度 時間-1】，腿長是【長度】，年齡是【時間】。

接下來寫大Pi公式：

其中x，y為未知實數。將公式改寫為量綱形式：

合并同類項之後：

為了公式成立以及世界和平，解出這個公式變得容易啦：

x=-1, y=1

如果這個磚家的假設是正確的，我們可以寫出來這麼一個公式：

(v是速度，H是腿長，A是成年霸王龍的年齡，C是一個常數)。

經過一系列的玄學上的研究，占卜，以及託夢行為之後，磚家得出了霸王龍的奔跑速度的公式並交給了特效小組。特效小組完成了特效，矮先生也很開心地拍完了自己的電影作品。

以上的例子純屬搞笑，並不是嚴謹的bucklingham Pi理論的應用，只是粗淺地講了量綱分析而已。

那些研究霸王龍奔跑速度的同學你們在哪裡？

在近代物理學中有很多公式都用了這個理論。比如我隨手在Incropera的傳熱書上截圖了兩個公式：

第一個公式中，將努塞爾數（你可以理解為傳熱係數的無量綱數變體）寫成了雷諾數和普朗特數的函數。

第二個公式是史伍德數（傳質係數的無量綱數變體）寫成了雷諾數和施密特數的函數。

其中，雷諾數可以理解為描述流體狀態的無量綱數。而普朗特數是流體動量與傳熱的速率比，施密特數是動量與質量擴散的速率比。

細心的同學可能會發現，這兩個公式一樣一樣的呀~答對啦，這就是傳說中的殺手級heat and mass transfer analogy

這是因為，熱對流傳熱和傳質的本質是一樣的（認為由擴散造成），因此傳熱和傳質公式具有類比性。首先研究出了傳熱公式，再類比到傳質上來得出傳質公式；這種找到同理的兩個現象，先研究第一個，再研究第二個的方法也是常用於物理學中的。

這個方法不僅僅可以被利用在公式推導中，還有很多其他的玩法。

比如說，質量的損失和熱量的損失哪個更容易被精確方便地測量出來？

不管你說什麼，我都認為是質量。

那如果在研究熱對流傳熱的時候，將研究變成對傳質的研究，去測量質量的損失率不就很方便了嗎？我就讀到過這樣一篇文章：為了測量換熱器空氣側的傳熱量，在換熱器表面均勻地塗上了一層揮發性物質，在試驗後測量殘留物質的高度來精確求出換熱器每一個地方的傳質量，就可以成比例地知道換熱量大小了。

via：知乎

編輯：vingce

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