這個遊戲沒有玩家，為何在學術圈火了半個世紀？

天然貝殼（左）與仿製貝殼（右）。圖片來源：Meinhardt, H. (1995). The Algorithmic Beauty of Sea Shells. Springer Verlag. pp.179

如果你的電腦里出現了能夠自我複製的東西，你的第一反應是什麼？病毒？其實，除了電腦病毒以外，還有一種東西也能夠自我複製。這種數字生物生活在一個二維的方格世界裡，這個世界叫做「生命遊戲」。

撰文 徐寒易

編輯 張士超

玩遊戲的數學家

康威用他那口英式老牙啃著左手食指的指甲，額頭上的青筋突出，棕色的眉毛因為思緒而緊縮著，他的頭髮看起來從前天起就沒有打理過。他就坐在那兒，毫無愧疚地把大把的時間拿來「思考」。不過他卻堅稱，自己什麼都沒幹，只是在玩遊戲而已。

康威在玩生命遊戲，攝於1974年。圖片來源：THE SUN NEWS SYNDICATION

79歲的康威目前是普林斯頓大學應用於計算數學的榮譽教授，他已入選英國皇家學會，海內皆恭維他是個天才。不過他的名聲是在英國劍橋大學獲得的。他說他這輩子哪怕連一天也沒有工作過，一直都在玩遊戲。你要是去數學系三樓的公共休息室，八成能看到他在那裡閑逛。

康威為數學經典做出的最大貢獻是他設計的數不清的遊戲。其中最著名的就是他在60年代末設計的「生命遊戲」（Game of Life）。《科學美國人》（Scientific American）的專欄作家馬丁·加德納（Martin Gardner）管它叫「康威最著名的作品」。

它可不是一款普通遊戲，而是一種元胞自動機。

元胞自動機是由一群細胞構成的小機器，它是根據一些簡單規則和初始圖形進行演化的動力系統。這些細胞在離散的時間中不斷演化——每一代所有細胞都同時經歷一次變化。最終這些細胞的集合看起來就像變形金剛一樣在不斷改變形態，甚至和顯微鏡下的蠕動的微生物有幾分相似。

康威（左）和馮·諾依曼（右）

元胞自動機的計算機框架大多是圖靈在30年代奠定的，但是首要工作是約翰·馮·諾伊曼（John von Neumann）在40年代完成的。馮·諾伊曼設計元胞自動機的初衷就是為自然界的自我複製和生物發展提供一個簡化理論。馮·諾伊曼最初設計的是一個離散的二維繫統。他的元胞自動機也是首個可被稱為通用計算機的離散並行計算模型。

元胞自動機對於生物現象的最大影射在於，生命的起源更像是一種相變，而進化則像是秩序和混沌之間的掙扎。馮·諾伊曼的追隨者們感到它對生命的解釋有著非凡的意義。在這個大背景下，康威在1970年提出了元胞自動機的最佳樣本——

生命遊戲 · 播種

在嚴格意義上，生命遊戲並不是一種遊戲，因為在這個遊戲里沒有任何玩家。康威說它是一種「0玩家且永不結束」的遊戲。

紀錄片《史蒂芬·霍金之大設計》（Stephen Hawking』s Grand Design）曾經這樣介紹它：「像生命遊戲這樣規則簡單的東西能夠創造出高度複雜的特徵，智慧甚至可能從中誕生。這個遊戲需要數百萬的格子，但是這並沒什麼奇怪的，我們的腦中就有數千億的細胞。」

和馮·諾伊曼採用的含有29個不同的狀態的複雜的動力系統不同，康威設定的基因定律簡單而優美。其基本思想是：

棋盤代表了一個世界，這個世界的空間是無限的；

每個格子里最多可以生長一個細胞（生命體）；

每個細胞與周邊九宮格內8個細胞相鄰，其中4個處在上下左右，另外4個處在對角的位置；

這些初始生命體會一代代地生長、死亡和繁衍。

康威在挑選這些基本規則的時候花了很大的力氣，還進行了很長時間的實驗。他的目的是讓整個群體的行為變得無法預測。他規定細胞的生死或繁衍的規則如下：

生：與2或3個細胞相鄰的細胞將活到下一輪；

死：與4個及以上細胞相鄰，則因為過度擁擠而死；與1個或0個細胞相鄰，則因為孤獨而死；

繁衍：一個空格若與3個細胞相鄰，則在下一輪時，這個空格內將產生一個新細胞。

在每一代中，生死、繁衍都是同時發生的。每一代的細胞構成了一個群體，或者說「生命歷史」中的一小步。

生命遊戲 · 綻放

如果你自己試幾輪，你就會發現初始圖案會不斷的變化，這些變化常常是意想不到的。有時候，看似很複雜的初始圖案在經歷許多輪之後會全部消失，或者說滅絕（burn out）。

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有些初始圖案最終會得到穩定不變的圖形，康威把這些穩定圖形叫做「靜物」（still life）。常見的靜物有：方塊、小船、麵包、蜂巢等（蜂巢是許多初始圖案最終的樣子）。

左起：方塊、小船、麵包、蜂巢。

康威的最大發現是「滑翔機」（glider，康威認為滑翔機屬於輕量級的「太空船」spaceship，太空船是會不斷移動位置，但會周期性回到原來樣子的圖案）。在2輪後，它會移動位置並且沿著對角線翻轉。幾何學家把這種反轉叫做「滑移反射」（glide reflection），這就是為什麼它被叫做滑翔機的原因。再過2輪，滑翔機又會翻回來，並沿著對角線向下移動1格。

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滑翔機、輕型太空船

實際上，滑翔機和太空船是能夠傳輸信息的。理論上，可以用滑翔機來運行所有現代計算機能夠執行的邏輯運算。已經有人用生命遊戲製造出了能夠輸出素數的特殊計算機。

下面三幅圖被稱為「振蕩器」（oscillator），因為它會在幾個圖案間不停輪換。康威把最簡單的振蕩器叫做「閃光燈」（blinker，下圖左）。除了閃光燈，常見振蕩器還有「信號燈」（traffic light，下圖中，也是常見圖案）和「脈衝星」（pulser，下圖右）等。

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閃光燈、信號燈、脈衝星

有一種5個細胞組成的圖案叫做「R pentomino」。康威在試驗了460輪後它依然沒有滅絕，而且還從第69輪吐出一些「滑翔機」。

康威說：「它會留下許多奇奇怪怪的垃圾，它們四處遊盪。不過它只有很少一部分活躍的區域，所以並不清楚它會不會一直如此無窮地持續下去。」實際上，後來人們發現 R pentomino 在第1103輪會最終穩定下來，此時它是由116個細胞組成的，它們組成了8個方塊、6個滑翔機、4個蜂巢、4個閃光燈、1個小船、1個麵包和1個大船（ship）。

初始狀態和1103輪後的R pentomino（不包括6個飛走的滑翔機）。圖片來源：conwaylife.com

康威曾推測，沒有任何圖案能夠無止境地生長。他曾拿出50美金作為獎品，獎勵第一個能夠在那年證明這個命題或者將其證偽的人。

這個獎在同年11月就被麻省理工學院的 Bill Gosper 摘取。Gosper 發現了「Gosper glider gun」，它在15輪產生第一個滑翔機，再過15輪又產生第二個滑翔機。這一模型是目前為止最小的 glider gun。

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Gosper glider gun

實際上，「槍」（gun，能夠不斷產生移動圖案的初始圖案），或者「噴氣火車」（puffer train，會移動的圖案，在身後會留下一縷「煙」）也是能無限生長的初始圖案。

後來，更多的槍、噴氣火車和耙子（rake，能夠移動併產生太空船）被發現。Gosper 還建造了第一個具有漸近最優二次增長速率的初始圖案——「繁殖者」（breeder，也稱「龍蝦」 lobster），它在行進的過程中會在身後留下一串「槍」。最後一種叫做「填充者」（Spacefiller），它會不斷生長填充空間，這種圖案是在1993年藉助計算機發現的。

繁殖者

填充者

2010年，加拿大多倫多的程序員創造出了生命遊戲中首個能夠實現自我複製的圖案——雙生子（gemini）。（其實類似的能夠自我複製的元胞自動機早已存在。比如，有一個著名的一維元胞自動機叫做「rule 90」，它可以在一定輪數後開始複製。）

「雙生子」自我複製的方式。圖片來源：NewScientist

康威提出，圖案移動到空白空間的速度是有限的。在方格世界中，速度的定義指的是，一個圖案複製一次所移動的格子數除以輪數得出的值。

康威把1輪1格（可直角，可斜角移動；也就是國際象棋中王的移動速度）的速度叫做「光速」。康威把這個速度叫做「光速」的原因是，在方格世界中任何圖案都無法超過這個速度。比如，滑翔機每4輪就複製一次並沿著對角移動1格，因此它的速度就是1/4光速。

康威證明，沿著對角線移動的最快速度是「光速」的四分之一，而太空船的最高速度是1/2光速，因為無法建造一個每一輪都能移動的太空船。不過在生命遊戲中，可以通過介質獲得光速，比如物體在穿越由蜂巢構成的特殊軌道時就能夠以光速行進。有時候，物體看起來的移動速度超過了光速，不過這些都是視錯覺。

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「星際之門」（star gate）中的太空船在6輪中似乎「飛躍」了11格。圖片來源：ericweisstein.com

生命遊戲 · 碩果

康威曾經說：「坐在電腦屏幕前觀看這些圖案的變化真是不可思議的事。」他一語成偈——生命遊戲是世界上被玩得最多的電腦遊戲之一。

生命遊戲的風靡正趕上新一代微型電腦的出現。當時有很多人讓電腦在晚上空閑的時候運行生命遊戲。美國軍方的一份報告稱，因為在工作時間偷偷觀察生命遊戲而造成的損失總計高達數百萬美元。還有一份報告稱，在70年代生命遊戲風靡的時候，全世界大約有1/4的電腦都在運行這個遊戲。從某種意義上講，生命遊戲甚至引領了後來計算機生成的分形的熱潮。

生命遊戲中扭曲變形的圖案的對於許多研究數學、物理和計算機科學的學生以及愛好者而言具有致命的吸引力，生命遊戲的瘋狂追隨者把這個遊戲當成了珍貴的消遣。從70年代起，生命遊戲就吸引了一群狂熱信徒，他們用生命遊戲創造出了各式各樣的模式，甚至有人在生命遊戲中創造出了計算機系統的理論模擬模型。

生命遊戲直接推動複雜性科學將元胞自動機和個體為本模型（agent-based simulation）融合進來。類似生命遊戲的二維元胞自動機能夠展現於多物理、生物甚至人類的現象，比如完全氣體的動態、風暴中鳥類的運動、戰場上士兵的排兵布陣等等。

在遊戲玩家中，生命遊戲也享有盛譽。因為生命遊戲對於由個體組成的社會的興衰變化有著恰當的比喻，這直接促成了一類被稱為「模擬遊戲」（simulation game）的新式玩法。

而對另一些人來說，生命遊戲還有著更不可思議的宗教、哲學含義：在沒有設計者的情況下，「設計」和「組織」也會自發出現。

後來人們了解到，生命遊戲便是「湧現複雜性」（emergent complexity）或者說「自組織系統」（self-organizing system）的最簡單版本。通過生命遊戲，人們可以理解複雜的模式和行為是如何從幾條簡單的規則中「湧現」出來的。比如，它可以解釋，玫瑰的花瓣或者斑馬身上的條紋是如何從一些生長在一起的活細胞中演變出來的。它甚至能夠幫助我們理解生命複雜性的來源。認知科學家、哲學家丹尼爾·丹尼特（Daniel C. Dennett）甚至提出，康威生命遊戲說明，複雜的哲學建構，比如意識和自由意志可能就是由一些簡單的物理定律觸發的，而這一切本質上是決定論的。

貝殼每次長一層細胞（類似於指甲），這個生長的過程就是一個一維元胞自動機。圖片來源：Meinhardt, H. (1995). The Algorithmic Beauty of Sea Shells. Springer Verlag. pp.179

不期之譽

加德納曾說，生命遊戲讓康威一夜成名。

康威一直在純數學領域進行研究。當康威的虛榮心作祟的時候，他就會打開一本新出版的數學書，然後在書的索引中查找自己的名字。然而他的名字常常作為生命遊戲的作者而被引用，這讓他很懊惱。因為，其實他對數學的貢獻廣泛而深遠。

他在1967年發現了一種新的群——康威群（Conway s constellation）——在數學對稱性海洋中的三個散在群（sporadic group，不符合任何分類規則的群）。除了2個散在群以外，康威群幾乎包含了當時已知的所有散在群。他的這項突破性研究讓從事有限群以及數論的數學家都大受震動。

他還對怪獸月光猜想（Monstrous Moonshine）中散在群中的最大一支——魔鬼群（Monster group）進行了深度研究。

他認為自己對數學最大的貢獻是發現了一類新型的數——超現實數（surreal numbers）。超現實數系統是一種連續統，其中含有實數以及無窮大和無窮小。超現實數可能能夠解釋宇宙的波瀾壯闊和量子的秋毫之末。

然而，他認為自己有如此多興味恰恰說明自身是淺薄的。

康威把自身放在數學這座古老大廈的何處呢？他有時把自己比作在時間的街道上，一支笙鼓齊鳴的行進樂隊中的一員。

除非有人刻意提起，他其實很少考慮自己在數學名人堂中的地位。世界最老的周日報刊《觀察家報》（the Observer）將康威列入改變了世界的數學先賢祠中。對此，他頗為不屑：

「他們這樣想讓我感覺不錯。這意味著我可能是在世的最優秀的數學家之一。但這和最優秀的數學家是有差別的。我的名氣可能來自於生命遊戲。這讓我不舒服，因為人們認為我是創造它的人。我可以保證我不是最優秀的數學家，因為至少這些優秀數學家榜單並沒有把阿基米德和牛頓列進去。」

康威認為自己的一生都是在遊戲中度過的，而他鐘愛的遊戲也給了他最誠摯的回饋。對於遊戲和消遣，他給後生們提出了這樣一則忠告：

無患無疚，毋寧逍遙。

Thou shalt stop worrying and feeling guilty

Thou shalt do whatever thou pleasest

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煙花。圖片來源：basilisk.fr

參考資料：

Gardner, M. "The Fantastic Combinations of John Conways New Solitaire Games." Mathematical Games (1970).

Berlekamp, Conway, and Guy: Winning Ways (for your Mathematical Plays), Volume 2, (c)1982. ISBN 0-12-091152-3.

Gardner, Martin: Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements, (c)1983. ISBN 0-7167-1589-9.

conwaylife.com/wiki/Conway%27s_Game_of_Life

en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light_(cellular_automaton)

www.wired.com/2015/09/life-games-playful-genius-john-conway/

www.martin-gardner.org/SciAm1.html

en.wikipedia.org/wiki/Life-like_cellular_automaton

en.wikipedia.org/wiki/Conway s_Game_of_Life

http://web.stanford.edu/~cdebs/GameOfLife/

無特殊註明的圖片均來源於http://web.stanford.edu/~cdebs/GameOfLife/，讀者可移步該網站體驗「生命遊戲」。（建議 PC 端體驗）