切個蛋糕也燒腦

如何分一塊蛋糕？你可能會認為答案非常簡單。根據人數，把蛋糕切成相應的分數，只要大小差不多，不就可以了？

其實，這個問題非常複雜。例如，分糕的本意是讓大家都吃得開心，但總有一些意外情況會讓有些人不歡而散，比如，有的人非常討厭草莓，但你按照上述分糕方法，很有可能恰恰給他們分了有草莓的那一塊，還有的人可能會覺得自己手中分到的蛋糕小，感覺很不公平。說到這裡，也許現在你已經明白了，我們不只是在談論蛋糕，而是在談論公平分配的問題。

在生活的許多方面，都涉及到「分糕」，比如如果在學校住宿，你會遇到分配宿舍床位的問題。在家裡，家務也需要分配，再大一點，在法律政治領域，法官該如何判刑，稅收該收多少，高考政策該如何向貧困地區傾斜，這些也可以簡化為一個「分糕」問題。當我們弄懂了一個蛋糕該如何分配，這些問題其實都可以解決。然而，到底該怎麼分配呢？為了簡化，我們不妨先從如何科學地分一塊蛋糕或者一個宿舍開始。

我分，你選擇

現在我們假想一個簡單的情形，假如兩個孩子都要吃一塊蛋糕，蛋糕只有一塊，媽媽該如何分配，讓這兩個孩子都不覺得自己拿得太少？

聰明的你可能很快想到答案，只需使用一種「我分，你選擇」的方法就可以解決。這種情況下，媽媽可以讓一個孩子分糕，另一個孩子挑。切糕的人知道選擇的人會挑兩半中的最好的一半，所以他會儘可能均勻地切割蛋糕。雙方都能得到一塊他們認為是至少和別人一樣好的蛋糕。

該方法非常巧妙，不僅在於它的操作性很強，而且它產生的結果至少在某些情況下是直觀公平的。因此，經濟學家和數學家們將這種分割模式稱為「無嫉妒」模式。

「我分，你選擇」的方法在實際生活中應用得非常廣泛，比如家務也可以公平地分配，只要一個人列出家務清單，另一個人選擇自己的那一份。

在商業領域，這種方法也應用於企業併購。如果一個企業要併購另外一個企業，往往是強勢一點的企業提出收購價格，而另一個企業考慮是不是採納。類似的，跟終止關係有關的離婚協議或者公司之間的合同終止也利用了這種方法。

《國際海事法》甚至也運用了這種方法。在20世紀70年代，各國開始考慮到，海底開採將成為一大產業，發展中國家擔心在自己有能力建立科學的測量方法之前，技術先進的發達國家的企業將買走最有價值的海底所有權。《海洋法公約》解決了這個問題。現在，如果一家公司希望在海底開採，他們必須首先將開採區域劃分成兩部分，由主權國選擇一個。

N塊蛋糕的切分模式

然而，這些只是兩個人之間的分割模式，假如蛋糕現在是三個人一起吃，又該如何分配呢？

20世紀40年代，一個名為胡果·斯坦豪斯的教授是第一個用數學的嚴謹性來解決這些問題的。他思考的是是否在三個或三個以上的人之間，可以運用「我分，你選擇」的方法，他最終想出了現在所謂的「孤分法」。

想像一下，現在一塊蛋糕由三個人分。其中一個被隨機抽為切糕者，他的任務是將蛋糕切成三塊。此時，切糕者不知道他會得到哪一塊，所以他試圖切出三個同樣大小的蛋糕塊。剩下的兩個人，會選擇哪塊蛋糕他們願意接受，然後他們會做比較，如果兩個選擇的人都宣稱自己願意接受不同的蛋糕，遊戲結束，這兩塊蛋糕由他們拿走，切糕的人拿到第三塊。

然而，如果兩個選擇者都想要同一塊，切糕者拿走沒有人搶的兩塊中的一塊，剩下的兩塊蛋糕可以重新製作成一塊蛋糕，然後兩個飢餓的競爭對手來重新進行「我分，你選擇」的遊戲。

胡果的「孤分法」很簡單，可擴展到三個以上的玩家，但它不能保證結果是高效率的。如果要高效率地分配，我們需要更複雜的數學。

三角形蛋糕

20世紀90年代後期，弗朗西斯·蘇在哈佛大學獲得了他的數學博士學位，一天，他在劍橋大學上學的朋友布拉德·曼找上了他，告訴了他一個關於住宿問題的煩惱。像在劍橋上學的大多數學生一樣，曼將與一些室友共用一個小的套間。當涉及到誰該住什麼房間，又該花費多少時，大家的意見不統一，曼想知道如何打破僵局。

雖然我們大多數人會用一個簡單的經驗方法回應，比如採用抽籤或者直接平分房租等的方法，但蘇（現在是美國數學協會的主席）和我們不一樣，他告訴曼這是一個數學問題，而且還是一個有關公平分配的問題。作為一個「古老切蛋糕的問題」的實際應用，特別啟發蘇的是20世紀20年代一個不起眼的數學論證——斯波納引理。這個定理其最基本的版本，無關房間或蛋糕分配，相反，它與三角形有關。這個引理是這樣的，有一個大三角形，其頂點分別用紅、綠、黃著色，大三角形里有奇數個小三角形，每個小三角形的三個頂點也隨機用紅、綠、黃三種不同的顏色著色，不管你怎麼隨機選擇顏色，最終會至少得到一個小三角形，它的三個頂點是分別用紅、綠、黃來著色。

那麼，這與租金有什麼關係呢？

蘇將這個三角形的頂點重新定位為房間價格分配模式。例如，蘇將從三角形外面的一個頂點開始，並問其所有者以下問題：「如果租金是按照這個定價方案分配，你會選擇哪個房間？」取決於這些人的回答，這一點將會標上一個字母（A、B或C，這些字母代表著這個人願意支付的價格，以及選擇的房間）。然後，同樣的問題會被提出，三個人的回答將組成一個三角形，該方法將不斷重複下去，直到一個房間定價機制被發現，其中每一個人願意支付不同的價格。根據計算，這樣的三角形是一定存在的，這個時候在租金方面實現了「無嫉妒，無爭吵」。

撇開數學論證細節不談，該方法在實際應用中取得了巨大成功。2014年，紐約時報用這種方法成功地計算了三個人租用一個3000美元的房間時該如何分配。

存在的問題

蘇的演算法有效，不過只達到了「無嫉妒」效果，並不一定是最公平的。想像一個極端的例子，一個有三間卧室的套間月租金共為3000美元，第一個室友只想住在第一個卧室，第二個室友僅對第二個感興趣，第三個室友也只喜歡第三個卧室。每個室友都願意為他或她喜歡的房間支付全部的3000美元。

用蘇的方法，一個可能的分配方案將是把每一個室友放在他們選擇的房間，第一個房間的人承擔全部租金。第二和第三個房間的人不用交任何費用，第一個房間的人也沒有理由反對。他支付的3000美元完全和他願意支付的房間的價格一樣多，他也對其他房間沒興趣。這雖然是一個「無嫉妒」的解決方案，但它顯然是不公平的，公平的方案應該是給大家分配到他們想要的房間，並且讓每個人支付相應的租金。

在「我分，你選擇」模式中，也存在這樣的弊端。再來回顧下蛋糕的例子。想像一下，如果蛋糕是一塊水果蛋糕，比方說蛋糕的中間有幾個草莓，兩個小孩有不同的食物偏好，有一個非常喜歡吃草莓，另外一個並不喜歡。如果草莓迷主持切糕，他可能會將蛋糕平均分割，在任何一邊，都會留下相同數量的草莓，這會保證在另外一個小孩選擇任何一塊蛋糕時，他的那一塊都有一定數量的草莓。

這次分配結果再次達到了「無嫉妒」模式。這樣的結果是有效的，雙方都沒有任何理由要交換自己的那一塊，從理論上講，這兩個人也沒有什麼好嫉妒的，但不喜歡草莓的小孩對結果很不滿意。草莓愛好者其實可以給那個不想要草莓的人分一塊沒有草莓的、更大的蛋糕，而自己得到所有的草莓，這時大家可以雙贏。

然而，上述解決方案可能在數學意義上達到了「無嫉妒」模式，但它並不符合我們的基本公平感。草莓愛好者為了幾顆草莓，只能吃到一小塊，而蛋糕愛好者拿到了一大塊，這公平嗎？

一個更公平的演算法

來自卡內基梅隆大學的研究者們想解決這種問題，讓分配的結果不僅符合「無嫉妒模式」，還要讓每個人都能感覺到公平，他們發明了Spliddit演算法。首先，這個演算法會最大化每個室友願意為那個房間支付的房租，以及他最終支付的錢的差異。這種方法可以衡量每一個交易者獲利多少，保證每個室友的獲利比他在其他房間里的獲利高。這滿足了「無嫉妒」的條件，沒有人願意交換房間。隨後，研究者還試圖找到一個「直覺公平」的解決方案，計算器會最小化每個室友實際獲利的差異，然後根據計算的價格分配房間。

簡單地說，演算法將保證每個人都得到一個很好的交易，但沒有一個人比起其他室友得到更好的交易。Spliddit演算法自發布以來，已經應用於租車費用計算、工作信用分配、任務分配等等。

然而，雖然數學家們的公平演算法已經越來越進步，但具體地運用到現實社會時，情形又會變得複雜許多。例如，一個兄弟分割父母財產時，也許演算法可以為他們找到一個很平等的分割方案，但其中一個子女在父母患病期間付出最多，是不是應該分得更多呢？這類問題，Spliddit演算法也沒法解決。

看來，關於如何「切糕」讓每個人覺得公平，這一個複雜的問題還會像幽靈一樣，與學者們糾纏不清。