一篇有趣的諾獎獲得者論文：不一致的達成

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不一致的達成

(以色列)羅伯特·奧曼著

沈潔、吳瑤2譯, 潘天群2 校

(1 .以色列耶路撒冷希伯來大學

2.南京大學哲學系, 江蘇南京210093)

本文為認知邏輯的經典論文, 也是羅伯特·奧曼的重要論文。原文:Agreeing to disagree, Annals of Statistics 4 (1976), pp .1236 - 1239

作者簡介：羅伯特·奧曼(Robert John Aumann)(1930 -), 著名的博弈論專家, 以色列耶路撒冷希伯來大學教授, 2005 年諾貝爾經濟學獎獲得者。

摘要：如果1 和2 兩個人都知道E 事件, 1 知道2 知道E 事件, 2 知道1 知道E 事件, 1 知道2 知道1 知道E 事件, 以此類推, 那麼我們就稱1 和2 對於E 事件具有公共知識(common knowledge)。定理:如果兩個人有相同的驗前知識(prior), 並且他們對於一個事件A 的驗後知識(posterior)是公共知識, 那麼, 這些驗後知識相等。

關鍵詞：公共知識;驗前知識;驗後知識;不一致

來源：湖南科技大學學報(社會科學版)第9 卷第5 期2006 年9 月

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如果兩個人有相同的驗前知識(prior), 並且他們對於一個給定的事件A 的驗後知識(posterior)是公共知識, 那麼這些驗後知識就一定是相等的。即使他們的驗後知識是建立在不同的信息的基礎上,在這樣的情況下, 這一點也是成立的。簡單說來,就是有相同驗前知識的人不可能達成不一致。

我們在公布這個觀察結果時多少有點缺乏自信, 因為一旦人們有了適當的框架, 從數學的角度來看, 它就會變得是微不足道的了。儘管如此, 從直觀上, 這個結果並不是非常明顯的;並且, 在人們對於彼此信念的信念有價值的領域, 如博弈論和信息經濟學中, 這個結果具有一定的意義。這篇論文的結尾給出了一個能夠說明問題的「具體的」 例子(該例子能夠做這樣的讀解)。

核心概念是「公共知識」概念。我們稱兩個人分別為1 和2 。當我們說某一個事件是「 公共知識」時, 我們不僅僅意指1 和2 都知道這一事件;我們也意指1 知道2 知道這一事件, 2 知道1 知道這一事件, 1 知道2 知道1 知道這一事件, 以此類推。例如, 如果當某一事件發生時, 1 和2 都在場, 並且看到彼此都在場, 那麼這一事件就成為了公共知識。此時, 如果1 和2 告訴彼此各自的驗後知識,並且彼此信任, 那麼這些驗後知識就是公共知識。如果我們僅僅假設人們知道彼此的驗後知識, 那麼上述的結果不一定正確。

形式化一下。用(Ψ, B , p)來表示一個概率空間, T1 和T2 是Ψ的劃分(partition ), 它們的並T1 ∨ T2由非空的事件組成。對之的解釋是:(Ψ,B)是關於世界的狀態空間, p 是1 和2 的公共驗前知識, Ti 是i 的信息劃分;即, 如果世界的真實狀態是ω, 那麼i 知道, Ti 中的Pi(ω)包含了ω。給定Ψ中的ω, 一個事件E 在ω中被稱為是公共知識,如果E 包括了T1 ∧ T2 集合中含有ω的成員。我們將在下面闡明, 這樣的一個定義等價於前面給出的非形式化的描述。

用A 來表示一個事件, 用qi 來表示在給定i信息下A 的驗後概率p(A(T1));也就是, 如果ω∈Ψ, 那麼qi(ω)=p(A ∩ Pi(ω))/p (Pi (ω))。命題:設ω∈ Ψ, 並且設q1 和q2 來表示數量。如果它是在ω中的公共知識, 即q1 = q1 並且q2 = q2 ,那麼q1 = q2 。

證明:用P 來表示包含了ω的T1 ∧ T2 的成員。記P =∪ j Pj , Pj 是T1 中不相交的成員。因為整個P 中, q1 = q1 , 對於所有的j 我們有p(A ∩Pj)/ p (Pj)= q1 ;因此p(A ∩ Pj)= q1 p (Pj), 通過把這些j 都加起來, 我們可以得到p(A ∩ P)=q1 p (P)。同理p(A ∩ P)= q2 p (P), 所以q1 =q2 。證畢。

為了看清「公共知識」的形式化定義是等價於非形式化的描述, 我們設ω∈ Ψ, 並且, 我們稱Ψ中的一個成員ω 與ω有可及關係, 如果有一個序列P1 , P2 , …, Pk 滿足ω∈ P1 , ω ∈ Pk , 而連續的Pj 是相交的, 或者屬於T1 或者屬於T2 。假設:ω是世界的真實狀態, P1 = P1(ω), 並且E 是一個事件。說1「知道」 E 意味著E 包含了P1 。說1 知道2知道E , 意味著E 包含了在T2 中所有與P1 相交的P2 。說1 知道2 知道1 知道E , 是指E包含了在T1 中與在T2 中與P1 相交的P 2 相交的P3 。以此類推。因此, 所有「 i 知道i 知道i 知道…E」(其中i =3 -i)這樣形式的語句要為真, 當且僅當,如果E 包含了所有與ω有可及關係的ω 。但是所有與ω有可及關係的ω 所組成的集合是T1 ∧ T2的一個成員;我們希望的等價關係就這樣建立起來了。

當人們僅僅知道相互的驗後概率的時候, 這個結果不成立。假設Ψ含4 個元素:α, β , γ, δ, 它們有著相同驗前概率;T1 =, T2 =,A =αδ, 並且ω=α。1 知道q2 是1/3 , 2 知道q1 是1/2 ;但是2 認為1 也許不知道q2 是1 還是1/3 。

值得注意的是, 信息劃分T1 和T2 它們自身都是公共知識的這個暗含假設。實際上, 這不會造成對一般性的損害。把一個信息告知兩個人的方式,包含在對這個世界的一個狀態ω的完全描述中。這意味著, 信息集合P 1(ω)和P2(ω)精確地被定義為ω的函數, 並且, 雙方都知道這些函數。

接下來考慮不同的人有相同驗前知識的假設。約翰·哈薩尼[1] (Harsanyi , 1968)曾雄辯地論證, 主觀概率的不同應該無例外地追溯到信息的差別:有精確相同信息的人們堅持不同的主觀概率, 這是沒有理性基礎的。這和相同驗前知識的假設當然是等價的。本篇文章的結果可能被認為是反對這種觀點的證據, 因為實際上存在這樣的人, 他們相互尊敬別人的觀點, 但其內心上有不同的主觀概率。但是這個證據並不是決定性的:即使彼此尊重對方聰明才智的人, 也會把彼此的錯誤歸因於驗後知識的計算錯誤。當然, 我們指的不是簡單的算術錯誤, 而是如特沃斯基[2] 1 124-1 131和卡尼曼(1974)[3]討論的系統性的偏執。在私下交談中, 特沃斯基認為, 人們也可能因為心理因素出現偏執, 使得他們漠視那些令人不愉快的或與已形成的觀念不相符的信息。

有大量關於在主觀概率上達成共識的文獻。最近有篇文章是德格如特的[4] DeGroot , 1974), 從中可以找到關於此主題的文獻。一種「實用」 的方法是Delphi 技術[5] (如,Dalkey , 1972)。在我看來這些文獻中許多地方都暗含了哈薩尼學說;如果假定的信息交流是成問題的, 則對主觀概率進行協調是有意義的;而如果我們談論的是驗前知識中「天生」的不同, 則這種協調是沒有意義的。這篇文章的結果能夠被認為是協調主觀概率的理論基礎。

舉一個例子。假設1 和2 有關於硬幣參數的統一驗前知識, 並且設A 表示在下次擲硬幣出現H(正面)的事件。假設允許每個人先擲一次, 並且假定投擲的結果分別出現了H 和T(反面)。如果每個人的信息由他的投擲結果組成, 那麼A 的驗後知識將分別是2/3 和1/3 。如果接下來每個人都告訴另外的人他的驗後知識, 那麼他們將都會得出結論:先前的投擲結果是一次H 和一次T , 所以兩人的驗後知識都將修訂為1/2 。

現在假設允許每個人都先擲幾次, 但是每個人都不知道對方被允許擲了多少次。比如, 也許兩人都擲了4 次, 1 的投擲結果是HHHT , 2 的投擲結果是HTTT 。然後他們告訴對方他們各自的驗後概率分別是2/3 和1/3 。這些驗後概率也許源於一個單一的觀察, 或者源於四個觀察, 或者源於更多的觀察。因為沒有人知道另一個人的驗後概率是根據什麼觀察得出的, 他會傾向於給自己的觀察多點權重。即使在這樣的情況下, 驗後概率也面臨部分修正, 但是這並不意味著這必將導致相同的驗後概率。

假定這種修正考慮了每個人的投擲數方面的驗前概率。假設兩個人的驗前概率是相同的, 但是每個人得到額外的私人信息, 即他被允許的實際投擲數。使用這個驗前概率和信息(驗後概率分別為2/3 和1/3), 新的驗後概率能夠被計算出來。如果投擲者把這些新的驗後概率告訴每個人, 概率將面臨進一步的修正。我們的結果意味著, 在A 的驗後概率上的信息交流過程將一直繼續, 直到這些驗後概率相等為止。

參考文獻:

[1]HARSANYI J.Games of incomplete information played by Bayesian players, Parts I -III , Management Sci[J] .1968 ,(14):159-182, 320-334, 486-502.

[2]TVERSKYA,KAHNEMAND.Judgment under uncertainty:Heuristics and biases[M] .Science, 1974 .

[3]AUMANNRJ.Subjectivity and correlation in randomized strategies[J] .Math.Econom , 1974 ,(1):67-96.

[4]DEGROOTMH.Reaching a consensus[J]. Amer.Statist Assoc,1974, (69):118 -121.

[5]DALKEY N C.Studies in the Quality of Life[M] .Lexington Books, Lexington , Mass , 1972.

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