談談物理學中的定理——by 空弦

定理通常是指在公理的基礎上由邏輯推演得到的重要結論，比如著名的歐式幾何中的勾股定理、射影幾何中漂亮的帕斯卡定理，線性代數中令人印象深刻的『慣性定理』、數論中的費馬大/小定理、還有不明覺厲的代數基本定理等等。然而，隨著科學與數學之間的聯繫愈發緊密，許多學科如物理學中的力學、量子力學、熱力學等也開始按照公理化體系的方式建立理論框架，這使得物理學中也出現了若干個『定理』。在中學物理中，我們已經接觸過從牛頓運動定律導出的動能定理、衝量定理，以及恆定電路中「等效電源」的戴維南定理、諾頓定理。今天，我們再來介紹一些物理學中的定理。

一、平行軸定理、垂直軸定理

這是兩個關於轉動慣量的計算技巧的定理，在力學問題中經常用到。平行軸定理說，物體相對於任意轉軸的轉動慣量，都可以由過質心的平行轉軸的轉動慣量加上質心位移產生的轉動慣量得到。垂直軸定理說，薄片形狀的物體相對於平面內過質心的兩條垂直轉軸的轉動慣量之和，等於物體相對於z軸的轉動慣量。通過垂直軸定理，我們可以方便地計算豎直旋轉的硬幣、正方形薄板和轉軸做成的陀螺等物體的轉動慣量。

轉動慣量這東西很有意思，舒幼生先生在大一的力學課上特意花了一些時間講解計算轉動慣量的一些有趣的技巧，比如利用平行軸定理和量綱分析可以直接求出立方體相對於對角線的轉動慣量。華羅庚先生的《高等數學引論》第二卷中也專門講解過定積分在轉動慣量計算中的應用。

二、卡諾定理

這是熱力學中的一個定理，由法國工程師卡諾提出，在熱力學第二定律的發展中有重要作用。

熱力學第二定律說：

熱量總是自發從高溫物體流向低溫物體，不能由低溫物體轉移到高溫物體而不產生其他影響。（克勞修斯表述）

或

不能從單一熱源吸收熱量完全轉化為有用功，而不產生其他影響。（開爾文表述）

卡諾定理是以第二定律為基礎導出的，其表述為：

以恆定的一個高溫熱源和一個低溫熱源工作的所有可逆熱機效率相等，不可逆熱機的效率都小於可逆熱機的效率。

卡諾提出了一種可逆熱機的構造原理，即：在高溫熱源和低溫熱源兩處進行等溫膨脹和等溫壓縮，在高溫熱源和低溫熱源之間進行絕熱膨脹和絕熱壓縮。利用理想氣體狀態方程，可以計算出這種卡諾熱機的效率等於 (1 - T2/T1)。因此，利用卡諾定理，我們可以根據可逆熱機的效率（或不可逆熱機效率的上極限）直接定義熱力學溫度，而不需要藉助理想氣體。

實際上，卡諾定理提出的時間甚至早於熱力學第二定律，是工業革命期間在熱機的研究潮流中誕生的，當時人們熱衷於提高熱機的工作效率，而卡諾首先意識到了熱機效率可能有一個遠小於1的上限。卡諾定理最初提出時是以熱質說為前提的（認為熱量是一種流動的物質，與用來做功的能量有著本質的區別）。現在人們所說的卡諾定理，是在熱力學第二定律被總結出來之後重新表述過的。這真是一個令人吃驚的意外（實際上，歷史上許多重要的科學發現都是最先由錯誤的前提得出的正確的結論，比如光學中的菲涅爾公式）。

卡諾定理的重要之處在於能夠導出『克勞修斯不等式』，並進而得出『熵』的熱力學定義。熵在整個熱力學、統計物理學中扮演著核心的角色。

三、Hellmann - Feynman 定理

這是量子力學中一個小巧而優雅的定理。它說的是，如果一個體系 H(λ) 包含參數 λ，那麼對於其本徵態和本徵能量有：

這樣一個神奇的結論。式中的能量和哈密頓量都對 λ 求了導數，而本徵態則仍是對 H(λ) 的。

定理的證明只需要幾行，簡單直接。然而別看這個定理簡單，它在原子、分子的各種性質的理論計算中十分常用。據說費曼同學的本科畢業論文就是分子的某個性質的理論計算。

四、絕熱定理

絕熱定理是一個量子力學中的定理，而不是熱力學/統計物理學的定理。它說的是：

當體系的一個參數足夠緩慢地發生變化時，原先的第n個能級本徵態將始終處於當前的第n個能級本徵態上。

打個比方，好比是原先有一個足球位於一棟樓的第三層上，現在我們緩慢地增大每個樓層間的高度，那麼足球將一直位於改變了高度後的第三層上，而不會跑到別的樓層去。相反，如果我們快速改變樓層間的高度，那麼足球就有可能亂跑到別的樓層去了。

絕熱定理的適用範圍很廣，比如我們改變對材料外加的電場、磁場等，對與材料中的電子而言，常常可以視為是足夠緩慢的絕熱變化，因而電子不發生能級躍遷，而是隨著能級本徵態演化。

在熱力學/統計物理學中，絕熱過程意味著粒子在能級上的分布不發生改變，僅是能級的大小發生變化，因而熵不變。這樣看來，絕熱定理的名稱就不奇怪了。

順帶說一句，量子體系的絕熱演化中有一個依賴於外界參數的相位變化，稱作 Berry 相位，能夠產生許多非平凡的效應，比如著名的拓撲絕緣體。再打個比方，沿著莫比烏斯帶環繞一周，前進中的每一小步相比於之前的位置都發生了一點點扭曲，雖然這個扭曲是可以在局部被捋平的，但是環繞一周積累下來的整體扭曲卻不能被捋平，並且只能是180度的整數倍。

五、光學定理

光學定理也不是光學中的定理，而是散射理論中的一個定理。我純粹是因為這個名字才記住它的。

光學定理的內容是：散射波的超前振幅的虛部，正比於散射截面。即：

看起來挺有用的一個定理。鄭大師在他的電動力學課上專門講了這個定理，期末考試的最後一道題還用到了它（然而我並沒有做出來）。鄭大師的場論課上據說也講了這個定理（然而我沒有聽到這個章節就退課了。。。）。

六、劉維爾定理

有兩個著名的劉維爾定理，一個是複變函數的：

如果一個解析函數在全複平面上有界，那麼它必是常值函數。

另一個是統計力學中的：

一個體系的力學狀態在相空間中的概率分布，沿著相空間中的演化軌跡保持不變。即：

它的證明可以從相空間中概率流的守恆得到：

將其展開，得：

運用哈密頓方程：

即可得出

於是原式得證。

七、漲落耗散定理

這也是統計物理學中的一個定理。它的表述十分簡單：

熱力學系統的每一種熱耗散，都對應於一種熱漲落作為其逆過程。

舉個例子，光在物體表面的吸收是一種能量損耗（熱耗散），其逆過程為物體自發的熱輻射，即黑體輻射。並且根據熱輻射的基爾霍夫定律，吸收率越大的物體輻射率也越大。

再比如，電流產生焦耳熱是一種熱耗散過程，其逆過程為熱漲落引起的電流漲落，即在路端沒有電壓的情況下仍然產生的微小的雜訊電流。根據雜訊電流，甚至可以製成熱雜訊溫度計。

八、諾特定理

（我們有諾特定理、諾頓定理和卡諾定理。）

大名鼎鼎的諾特定理是由偉大的女數學家諾特首先提出的。它說的是：

物理系統的每一種連續對稱性都對應於一個守恆定律。

例如，時間平移對稱性對應於能量守恆，空間平移對稱性對應於動量守恆，空間旋轉對稱性對應於角動量守恆。再例如，電磁場的 U(1) 規範不變性對應於電荷守恆。

九、Goldstone 定理

與前面兩個定理的表述形式很相似，Goldstone 定理的內容是：

系統的每一種自發破缺的連續對稱性對應於一種零質量的標量玻色子，即 Goldstone 玻色子。

舉個例子，晶體中原子排列而成的晶格破壞了空間平移對稱性，即——對於晶格的整體平移，體系的能量不變，然而產生了不同的晶格狀態，這種基態簡併的情況稱為對稱性自發破缺——相應的 Goldstone 玻色子即為『聲子』，也就是晶格振動形成的振動波對應的粒子。在長波極限下，晶格振動波的速度為定值，也就是固體中的聲速，這意味著長波極限下的聲子為零質量玻色子。

類似地，鐵磁性體系中每一個晶格格點上有一個自旋矢量，鐵磁性體系的基態中所有自旋指向同一個方向，並且這個方向是任意的，因而構成了空間旋轉對稱性的自發破缺。這種鐵磁性體系中相應的 Goldstone 玻色子為磁子（magnon），即自旋方向的周期性排列產生的自旋波。

Goldstone 玻色子的產生是自然的：既然基態對於一種連續對稱性是簡併的，那麼使這種連續對稱性發生極緩慢的波動也只需要極小的能量，這種即緩慢的波動便是零質量的 Goldstone 玻色子。

十、Wick 定理

Wick 定理使得我們能夠把場論中複雜的算式表示成簡潔的費曼圖。Wick 定理說，對於真空態的若干個算符乘積的平均值（即多體格林函數），等於這些算符兩兩縮並的平均值（即費曼傳播子）相乘，並對所有可能的縮並求和。即：

例如，對於 2n=4 的情況有

並且可以用圖示表示為

由於我沒有學過場論，只能暫且介紹到這裡了。

物理學中的定理數量上要比數學中的定理少得多，而且風格也十分不同。以上是我們在課本中經常接觸到的定理，內容比較淺顯；除此之外，還有一些重要而常見的定理，如玻爾茲曼的H定理、量子場論中的自旋統計定理、統計物理學中的 Lee-Yang 定理，以及神奇的量子態不可克隆定理、彭羅斯-霍金奇點存在性定理、黑洞無毛定理等等。鑒於篇幅限制以及作者水平有限，就不在此一一介紹了。相信讀者也能通過上面所舉的十個定理，對物理學中的定理有一個粗略的了解。

空弦

2017年2月初夏

於紐約

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