數學家的想法

弘揚數學文化，推動數學教育

本文選自《數學文化》第7卷第1期

Michael Atiyah ／文 王兢 林開亮／譯

Michael Fitzgerald 和 Ioan James 的《數學家的思維》（The Mind of the Mathematician, Johns Hopkins University Press,2007. 196 頁。）

我們如何思考？想法是什麼？是否存在許多不同的思想？我們的想法怎樣與外部世界發生聯繫？此類問題已經被哲學家們思考了幾千年。雖然並沒有真正的答案，但是這些問題得以澄清，而且我們在這個過程中學到了一些東西。現代神經科學的發展正在改變這一情形，並開始揭示整個領域。可以期望，在21 世紀末，我們對人腦的理解意味著許多古老的哲學問題將不復存在，就像我們已經不再追問「生命是什麼」，取而代之的是一個新的學科 ：分子生物學，它結合了 DNA 和遺傳密碼。

但同時，向此目標邁進時，構思出關於大腦如何運作的更準確的問題是有幫助的，這使之能夠通過實驗考察。多種多樣的掃描技術使我們能處理與心理學和神經生理學有關的問題。通過這種方式，我們開始理解心理過程的生理基礎。

大腦不同區域的作用，特別是與視覺的關係，已經被發現。事實上，視覺是進化的巨大成功，它的機制佔據了人腦很大一部分。所以它當然已經被開發以支撐大腦的思考過程。但是，視覺參與思考的程度宜於進行科學分析，結果很可能會比僅僅回答諸如「你是用語言還是用圖像進行思考」要複雜得多。

研究複雜現象的一個基本的科學方法是除去那些無關的因素，研究它的最簡單或最純粹的形式。那什麼是「純粹的想法」？有很強的證據表明，數學是最純粹的思想形式，其中外部世界幾乎被隔離出去了。大部分時間，我們的想法與感官知覺交織在一起，因此很難將其從大腦的其他活動中分離出來。數學看起來提供無拘無束的想法，尤其是「純數學」，這將與數學在科學方面的應用形成對比。

因此「數學家如何思考」這個問題引起了眾多科學家的興趣，儘管它對數學家有特殊的吸引力。我們可以自認為是理想的受試者，儘管毫無疑問這是一種錯覺。當然，本文所評論的三本書表明這個話題是非常有趣的，而數學家有更特殊的貢獻。

William Byers，《數學家如何思考》（How Mathematicians Think, Princeton University Press, 2007. 424 頁。）

認識到數學以不同的層次存在——正如小學階段的英語、更高級的詩歌、莎士比亞的戲劇是不同的——是重要的。所有人都學習初等算術，但是只有一小部分人學習更高級的數學，而更少的人創造新的數學——他們相當於職業「詩人」。

對數學想法的分析不得不聚焦於特定的層次，而解答可能不統一。大腦的不同部分可能參與不同層次的數學。

其實數學本身是一個層次分明的學科，每一層都是建立在之前的層次上，這就是為什麼少受一年的教育可能導致災難性的後果。這種層次結構與抽象發展是一致的。在這個過程中許多類似的現象被組合到一起，形成下一個層次的基石。一個表現這種抽象過程的例子是 ：從算術到代數經歷了確定的數字 1, 2, 3被變數符號如 x, y, z 代替的過程。

因此在考察「數學想法」時我們必須對不同的層次採取不同的方式，並考察從一個層次進入下一個層次的抽象過程，因為它可能對應著大腦的某些組織方面。

關於數學思想的許多討論傾向於集中理解算術的初等運算。每個人對此都很熟悉，因為它們簡單，容易被實驗檢驗。例如，乘法表，需要記憶，似乎涉及到大腦用於學習語言的部分。另一方面，理解數的意義則是另一種不同的技能，它是以大腦的其他部位為基礎的。

而為了更深入地探討數學思想，我們必須考慮一個基本的問題 ：數學是什麼？它是人腦的創造還是經驗的產物？我們像柏拉圖那樣相信存在一個包含完美的圓和精準直線的理想世界嗎？「柏拉圖主義者」認為數學定理是「外在」的，它們等待被發現，而數學家就像是哥倫布一樣的探索者。「現實主義者」則認為數學思想源於實際經驗——我們試圖找出背後的模式，並提出「定理」幫助理解其中的結構。休謨（David Hume）是現實主義者，支持和反對休謨的哲學家都大有人在。許多數學家本能地是柏拉圖主義者，他們相信理念世界的獨立存在性。康德對這些問題進行了深入思考，而且他的想法隨時間不斷發展，然而他的結論是，某些真理（比如歐幾里得幾何的基本事實）對人腦而言是先天存在的，儘管其他是後天習得的。一些數學史家認為非歐幾何的發展表明康德是錯的，沒有真理是先天存在的。但是這種解釋可能太膚淺，以至於不能得到現代神經生理學的支持。簡單的實驗似乎表明大小（用以區別多少）的抽象概念是大腦固有的和內在的。更多的實驗可能表明更多的數學——既是實在的又是結構化的——是固有的。

當然這把我們帶回一種進化的觀點。為了使得人類在進化鬥爭中獲得成功，人腦已經進化了。從現實世界抽象出來的數學原理固化到大腦後，使後者具有明顯的優勢。這或許可以幫助解釋我們是如何生來就有數學能力。休謨、康德以及其他哲學家之間的爭論發生在達爾文主義之前的時代，它容易忽略這樣的事實 ：人腦本身是自然界的一部分，並由自然之力形成。非歐幾何的發現不能改變這樣的事實 ：歐幾里得幾何是非常好的近似。原始人不會從非歐幾何受益。這種進化的觀點模糊了柏拉圖主義和現實主義之間的界限，但神秘仍然存在。

伽利略的名言是「自然之書用數學語言寫就」。到了 20 世紀，若不用複雜的數學，要描述基礎物理（如量子物理）的定律是不可能的。這個事實給匈牙利物理學家維格納（Eugene Wigner）留下深刻印象，他稱之為「數學在物理中不可思議的有效性」。只有在處理人類尺度的物理時，進化在某種程度上才能解釋這種現象。引人注目的是，物理的數學理論很好地適用於微觀尺度和宏觀尺度，從亞原子到星系。為了逃避叢林中的老虎，我們沒有必要研究黑洞，因此進化不能解釋一切。

如果數學的最終起源和本質仍然是一個艱深的問題，那麼我們可以嘗試其他路徑以描述數學。它的主題是什麼？物理學、化學、生物學不難描述，儘管邊界會改變，主題會融合。但是數學的內容更廣泛。「空間和數的研究」、「模式的研究」、「有序和無序的研究」都曾被用來描述數學。然而數學很難限定，它一直在擴展。形式主義者不顧一切地要把數學作為邏輯的一個分支。此乃公理化的觀點 ：即從不需要定義的對象和數據（點和線）出發，利用嚴格的邏輯準則推導出有意思的結果——歐幾里得風格的證明就是此法的例子。該方法在 20 世紀上半葉得到廣泛發展。然而，大多數數學家承認這種方法效果有限。

它描述了支架和基礎，但忽略了整個建築的其他方面，最明顯的是美學角度。公理和法則中沒有詩意。

那些曾在課堂上飽受無意義公式煎熬的非數學家，傾向於將數學等同於枯燥的形式方法。這就是為什麼他們認為計算機使數學家變得無用，或者使之降低為技術員。但數學家將自己看做是富有創造力的藝術家，以優雅和美為嚮導。新的洞見不是由形式操作產生的，它們依賴于思想，而原創的思想不能批發製造。

如果說被評論的三本書有一個最重要的共同點，那就是它們都將數學看作是創造性的事業，近似於藝術創作。數學是人的活動，因此也必須從這個角度去理解。數學有嚴格的規則，而繪畫、音樂和詩歌也是如此。但它們的核心不在規則，而是在規則之外。而且，有時規則不得不被打破，或者至少要重新理解。事實上，不管是數學還是其他藝術，最重要的步驟往往在於天才激發靈感突破規則。例如，熟知的代數規則 xy ＝ yx（交換律）在 19 世紀被打破了，產生了意義深遠和數量豐富的成果。

在所有的藝術形式中，建築也許是與數學最相似的。嚴格的工程準則防止建築倒塌，設計中蘊含幾何，最終細節非常複雜，但是整個建築的架構願景才是最重要的。奇怪的是，數學家們傾向於把自己比作是詩人，而後者往往只懂得膚淺的數學。偉大的德國數學家外爾在說「我的工作總是試圖將真理和美結合起來，而當我只能二選一時，我通常選擇美」時展現了他的詩人天性。

魏爾斯特拉斯，對數學嚴格化做出重要貢獻的一位早期的德國數學家，他的一句讓人出乎意料的話是 ：一個真正的數學家必須有詩人的心靈。

儘管這三本書有很多共同之處，而且都認為詩歌是與數學最接近的藝術形式，但是它們採用的方法是不同的。粗略地講它們處理了以下三個話題 ：

數學是什麼

數學家如何思考

數學的人性（personality）

呂埃爾（David Ruelle）專長數學物理，他嘗試向最一般的讀者解釋數學是什麼和數學家如何開展他們的工作。任何閱讀該書的數學家都將承認他對我們的事業的描述，包括日常方面和賦予它生命的更基礎、富有創造性的過程。這本書組織有序，表述清晰，展現了處於工作狀態的數學家的真實形象。

貝爾斯（William Byers）的表述更散漫，覆蓋的內容更廣。他更有雄心去確定數學創造的本質，並圍繞它展開討論。他的副標題「用模糊性、矛盾和悖論來創造數學」清晰地展示了他的主題 ：數學的核心並非如大多數人所認為的那樣是依靠邏輯和規則的。

因為他在寫一本厚書，貝爾斯有足夠的篇幅討論數學歷史和數學發展過程中面對的問題。他通過許多例子指出，在邏輯非常重要的話題中，矛盾和悖論發揮了至關重要的作用。矛盾就像是司機在拐錯路時遇到的禁入標誌，而悖論就像是四面八方都禁入的交叉路口。公路工程師從這些交叉點學到一些東西，或許會想出新的解決方案如地下通道或立交橋。因此，深思熟慮後，不應該驚奇像數學這樣有「公路法規」的學科不得不處理矛盾的情形。而且在這個過程中學到的經驗教訓可能在將來發揮基本的作用。

但真正吸引貝爾斯的是「模糊性（ambiguity）」。在清晰和準確要求最高的科目，貝爾斯被那些清晰性失效的情形吸引了，這些地方事情變得模糊不清。貝爾斯不但不把這種模糊性看作是系統的弱點、失敗，反而認為它們是創造過程的催化劑。既然不同的結果是可能的，就存在靈活性和開放性。仔細研究模糊性能展示隱藏的含義，打開通往新旅程的大門。

貝爾斯非常能言善辯，論據充分，然而我沒有被完全說服。試圖找到創造過程的本質有點好高騖遠，註定會失敗。貝爾斯舉了很多例子以支持他的觀點，然而他擴展了「模糊性」的含義以達到他的目的。

儘管上帝可能是在大爆炸中，從真空中創造了宇宙，但是人類創造是有祖先的。這個「前創造」時代是不完全的或者說模糊的。無法清楚預知什麼被創造。可是用模糊性解釋創造性近乎同義反覆。

著名的法國數學家龐加萊分析了他自己的經驗，結論是創造性偶然浮現。當大腦意識停止活動一段時間後，關鍵的突破自發出現（頓悟——譯者注）。

傑拉德（Michael Fitzgerald）和詹姆斯（Ioan James ）的書展現了心理學家和數學家之間的合作。他們感興趣的是數學家的個性以及個性如何與他的工作發生聯繫。數學家有某種共同的個性品質嗎？如果有，數學會產生個性——學得太多聰明孩子也會變傻（too much work makes Jack a dull boy）——還是具有這些個性的人自動被數學吸引？當然，在公眾視野中，數學家常常是漫畫中心不在焉的、忘了自己是否吃過午飯的教授。

傑拉德和詹姆斯的工作均始於對自閉症的研究，尤其是阿斯伯格綜合症，其特點是不關心外部世界，常伴隨著對數學或音樂的強烈的關注。而且，這種關注或者是特定領域的不同尋常的能力的反應或者是由該能力產生的。關於這些的一部優秀小說是哈登（Mark Haddon）的《深夜小狗神秘事件》（The curious incident of the dog in the night-time） 2 。

雖然書的前半部以一般形式討論了數學，這與其他兩本書重合，但是後半部書收集了許多歷史上著名數學家的簡介。這些簡介（包含一些不太出名的人物）自身就饒有趣味，而他們之所以被選中是因為其表現出了數學家的個性，而且可能患有阿斯伯格綜合症。

試圖從一小部分著名人物得到關於數學家的心理的結論，這比較困難。用於討論這類問題的細緻的統計分析不可能適用於數量少、非隨機選取（恰恰相反，它們是作為證據選取的）的情形。

即使所有的簡介清楚地展現了阿斯伯格綜合症，那麼以上論述也是真的。實際上，這與事實相去甚遠。公平地說，作者沒有下這樣的結論。一小部分有心理問題，但是許多人是正常的。

有人認為特別的心理狀態（例如狂躁）能促進創造性，但這點是有爭議的。另一方面，專註，不管是自然的還是由某些癥狀引起的，可能更有成效——這個觀點更可信。

與考察以往的著名人物相比，我更喜歡用 50 年來我所知道的數學家的經驗。這包括我們這個時代的絕大部分傑出的數學家。我的結論（不管價值如何）是，確實有一小部分非常怪異的個體，其中可能患有阿斯伯格綜合症。半開玩笑地說，其中一部分連鞋帶都不會系。幸運的是，數學圈容忍這樣的奇葩，甚至允許他們享有盛名。儘管如此，與全體相比，我們所討論的是很小一部分。在這個小圈子之外，數學家的個性與其他學術群體一樣豐富多彩。在我看來，阿斯伯格綜合症在數學創造力中不起重大或典型作用。

另一類心理案例在數學圈廣受關注，這就是計算奇才，包括「智障天才」。這些人展現出了超強的計算能力，能對龐大的數字作出迅速處理。理解這種奇才的心理基礎極具挑戰性，它可能表明隱藏在數學計算後面的潛意識過程。看起來意識和潛意識的運行速度差別很大。從發展的觀點看，這是容易理解的 ：逃離叢林中的老虎需要速度。而此時意識幫助不大，儘管事後反應會暗示我們避免去茂密的叢林。

既然所有三本書都同意富有創造力的數學家是詩人，不是計算機，那麼是否要離開那些想在更高層次上理解數學思想的神經生理學家？形式步驟，如初等算術或者代數顯然不夠，需要更深入的挖掘。

一個吸引人的想法是聚焦於數學家所領會到的「美」的概念。所有數學家都承認它起著至關重要的作用，儘管很難確定它指的是什麼。正如在藝術中，我們能列出許多令人滿意的特徵來說明美——優雅、比例、微妙、深度、有意義，但最後當看到它的時候，我們才會知道它。重要的是「情人眼裡出西施」：美是主觀的。對於美的判定，我們不能達成一致。藝術或數學有許多都需要個人品味。

儘管理解或定義美有許多困難，我們仍然可以問 ：大腦在欣賞時的機制是什麼？可以問在各種藝術或者數學中美是什麼。一個非常有趣的問題是，這些領域是否有共同之處。我們是否被語言的不足和比喻所誤導？

正如我開始所說的，數學是思想的形式，因而提供了一個相對容易的哲學研究領域。這仍然是一個讓人生畏的任務。我們不得不通過實驗確定數學家感覺到美的例子，看大腦中是否有對它們而言是共同的區域。例如，我們可以比較幾何形式的美和代數公式或更抽象論證的美。

這是業已開始的一個充滿挑戰的計劃，要求更精細的實驗。它將不得不與「現實數學」保持聯繫。它可能需要很長時間和大量的付出。不僅我們將從更高的層次理解數學思想，而且這將為理解其他領域打下基礎，那些領域的問題更複雜。

既然數學和美是古希臘思想的核心，那麼理解人腦中它們之間的聯繫顯然令柏拉圖著迷。

介紹大衛·呂埃爾的《數學家的大腦》

王 兢 林開亮

江蘇衛視的《最強大腦》節目大受歡迎，尤其是其中擁有非凡數學運算能力的選手，常被冠以「數學天才」的稱號。但是，僅憑高超的計算能力可以斷定一個人是「數學天才」嗎？數學家的思維與常人有何差異？要解答這樣的疑惑，我們向大家推薦一本書——《數學家的大腦》（The Mathematician sBrain，普林斯頓大學出版社，2007 年）。這本書深入淺出地探討了什麼對於數學家是真正重要的，數學家又是如何思考的。雖然作者一再強調，書中所述僅僅是一家之言，但毫無疑問，他的論述具有相當的普遍性。偉大的數學家阿蒂亞（Michael Atiyah）在評介該書時說它「展現了處於活躍研究中的數學家的真實形象」。

本文作者著名數學家阿蒂亞

《數學家的大腦》的作者大衛 ? 呂埃爾（DavidRuelle），1935 年生於比利時，法國科學院理論物理院士，1964 年被法國高等科學研究所（IHES）聘為第一位外籍物理教授，1984 年取得法國國籍。自 2000 年起為 IHES 名譽教授及美國羅格斯大學（Rutgers University）的傑出訪問教授。他是統計物理的奠基人之一，為混沌動力學的開創者之一。與弗洛里斯 ? 塔肯斯（Floris Takens ）提出奇異吸引子的概念並建立了湍流的新理論，是化學反應中混沌現象研究的先驅。1986 年他因對統計物理的傑出貢獻獲玻爾茲曼獎（Boltzmann Award），2006 年，因對量子場論、現代統計力學、動力系統的傑出貢獻獲龐加萊獎（Henri Poincaré Prize）。2014 年，呂埃爾由於在理論物理學中的傑出成就而獲得了德國物理學會頒發的最高獎章——普朗克獎章（Max Planck Medal）。他的個人主頁是http://www.ihes.fr/～ruelle/。

大衛 ? 呂埃爾（照片由本人提供）

呂埃爾長期從事數學研究，書中很多觀點可以視作他本人的研究體會。事實上本書還有一個副 標 題 ：A Personal Tour Through the Essentials ofMathematics and Some of the Great Minds BehindThem（數學本質的個人之旅及其背後的偉大頭腦）。這些心得體會訴諸於非正式的筆法，饒有趣味。雖然作者在序言中說「本書是為具有各種數學專長的人寫的」，但事實上，閱讀此書並不需要艱深的數學基礎。作者自由散漫的敘述風格彌補了某些嚴格的數學知識可能帶給人的乏味——就連那些最嚴謹的數學知識，在作者的筆下也顯得引人入勝。呂埃爾就像導遊一樣，推開一扇一扇的門，引領大家走入數學的大觀園。作者介紹景點常是畫龍點睛，不過分展開細枝末節，留給人想像思考的餘地。從這個意義上說，呂埃爾絕對是個優秀的「導遊」。

作者專門留出了一章討論人腦與計算機的區別。這種討論無意間迎合了人們關於「雨人」周瑋的種種評論。周瑋的計算能力固然超出常人，但比之於計算機，差距尚遠。然而，這種超凡的計算能力對數學家究竟有多重要呢？這個問題不好回答，但正如呂埃爾在書中所表明的，對數學家而言，更重要的往往是數學中的「結構」：因為認識數學中的結構是需要積累和洞察的，所以可以猜測，具有超凡的計算能力並不意味著可以成為一個優秀的數學家。事實上，數學中更重要的是推理而不是計算，而推理的基礎則是對數學中種種數學結構的了解。就目前的情況來說，因為計算機已經發展到不僅能計算還能推理的程度，所以像從前所謂印度「人腦計算機」的說法在今天也未必成立了，因為她未必能夠準確地推理。不同於計算講究速度快慢，推理講究的是正確與否。歷史上有不少偉大的數學家是出了名的算得慢但算得准。電腦是在計算速度上勝過了人腦，但在推理上顯然落後於人腦。也許一個很大的原因是，電腦在理解數學中的自然結構方面還很欠缺——就像阿蒂亞所說的，計算機所能理解的「公理和法則中缺乏詩歌那種美」。對普通人，這方面可能就更弱了 ：數學系有很多學生都學不來抽象代數與泛函分析就是一個明證。至於「雨人」能否算「數學天才」，估計是個大大的問號。

前前後後，作者花費了好幾個章節論述數學中的「結構」。這種論述仍然是採用非正式的風格，由淺入深，試圖帶領讀者觸及到數學的某些核心領域，如代數幾何。所涉及的數學課題既有簡潔優美的射影幾何，也有高屋建瓴的愛爾蘭根綱領。只要你耐心讀一讀第四章關於「蝴蝶定理」的表述和證明，相信對此一定能深有體會。

關於數學結構，作者談到了它「應該是自然的」。但究竟何為「自然」？作者並沒有試圖給出回答，而是著重論述數學家之間心領神會的「自然的數學結構」是如何發揮作用的。與這個話題緊密相伴的是，數學究竟是什麼？它是客觀的發現還是主觀的發明？儘管數學柏拉圖主義備受推崇，但作者還是持很強的保留態度。如呂埃爾所言，「我們所謂的數學是由人或人腦研究的數學」，「數學概念是人腦的產物，應該會反應出人腦的特質」。這種說法讓人耳目一新。

作者小心謹慎地探討了數學家如何構造新的數學理論。這集中體現在「數學創造 ：心理學與美學」、「數學創造的策略」等章節。在這裡，作者沒有從哲學的層面或純心理學的角度進行闡釋，而是結合具體數學實踐或數學創造的例子來說明。如果讀者對龐加萊的《科學與方法》（Science and Method）、阿達馬的《數學領域中的發明心理學》（An Essay on thePsychology of Invention in the Mathematical Field）或 波 利 亞（George Pólya） 的《 怎 樣 解 題 》（Howto Solve It）、《數學與合情推理》（Mathematics andPlausible Reasoning）、《數學的發現》（MathematicalDiscovery ）感興趣，那麼《數學家的大腦》的最後三分之一章節也必定會吸引你。事實上，楊振寧先生曾對筆者講，這本書他讀過，全書中最有趣的部分正是後面論述數學創造的內容。

除了上面提到的那種一般性的論述，作者還別具匠心地安排了一些專門的章節，用以介紹特定的數學分支和某些特定的定理 ：「代數幾何與算術」、統計力學中的「李（政道）- 楊（振寧）單位圓定理」等。這些特定的話題展現了數學中最深刻、最優美的一部分。作者絕不是像通常的教科書那樣給出定義、定理、證明，然後讓你徹底喪失興趣。相反，即便是如此專業和精深的話題，作者的敘述也是深入淺出、點到為止，同時呼應他提出的關於數學創造的觀點，讓你讀來毫不枯燥，受益良深。

當然，讀數學書難免會有乏味的時候，但不用擔心，作者為你準備了小憩的章節。在第七章，作者彷彿離開了數學，專心地談論他與當代最偉大的代數幾何學家格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）的交往和後者的逸聞趣事（這一章的譯稿《我和格羅滕迪克的南錫之旅》已經放在善科問答欄目中）。借著這些逸聞，作者將數學家與數學家團體的微妙關係娓娓道來。

呂埃爾曾在與筆者的通信中說，這是全書中最有個性的一章，因為呂埃爾早年曾與格羅滕迪克在IHES 共事，有機會近距離接觸這位傳奇人物。最近格羅滕迪克去世，筆者曾在郵件中問詢呂埃爾，是否有什麼要補充的，以緬懷這位隕落的英雄。出人意料的是，呂埃爾如此答覆 ：「I prefer to leave thechapter on Grothendieck as it is: he was a real person,not the incomprehensible saint or hero that many wantto make him now. （我寧願保留格羅滕迪克那一章原封不動 ：他是一個真正的人，而不是現在許多人想要打造的不可理解的聖人或英雄。）」言下之意，作者並不認同坊間鼓吹諸如「數學大神」之類的說法。

除了格羅滕迪克，呂埃爾還特別提到了韋伊兄妹（André Weil 與 Simone Weil ），提到了自殺的圖靈（Alan Turing），提到了蝴蝶定理被放在蘇聯為排斥猶太考生而在大學入學考試中專門設置的「謀殺問題清單」里。這些話題的重點在於整個文化歷史背景，數學在這裡只是用來借題發揮的一個引子。

由此可見，作者的心中並不僅僅只有數學和數學家，他其實很強調道德。這是一個真正的數學家應有的基本素養，正如韋伊（André Weil）在一篇文章中所說的：「嚴格性之於數學家，猶如道德之於人。」數學家飽受嚴格證明的洗禮，在道德上也不自覺地嚴以律已。

在第十九章，作者由達芬奇的名畫《蒙娜麗莎》談論到弗洛伊德的理論。然而，醉翁之意不在酒，作者其實要說的是數學家大腦中的那些以「模糊的方式並存而相互作用」 的東西，正如他在章末所寫道的，「除了優美的數學思想之外，在數學家的腦海中，還有更多晦澀的東西在遊走」。

在書中作者還討論了數學家從事數學創造的種種動機。這大概是本書對數學知識要求最少的部分——除了提及的一些著名的數學問題。作者毫不諱言地提到，爭取榮譽也是激發數學家研究創造的動力，並指出了榮譽機制帶來的種種弊端。這些觀點和論斷，對我們理解當今的數學教育都有一定的啟發。

孟子曰「獨樂樂不如眾樂樂」，陶潛亦云「奇文共欣賞，疑義相與析」，我們衷心地希望能有更多的讀者讀到這本書。該書目前已由青年數學工作者林開亮、王兢、張海濤等譯出，不久將由上海世紀出版集團出版。

十年前，上海世紀出版集團曾出版呂埃爾更早的一本科普書 Chance and Chaos（普林斯頓大學出版社，1991 年）的中譯本《機遇與混沌》，受眾頗廣。相信這本更加通俗的《數學家的大腦》 會有更多的讀者。

David Ruelle，《數學家的大腦》（The Mathematician s Brain, Princeton University Press, 2007. 160 頁。）

注釋

本文原標題「Thoughts of a Mathematician」，譯自 Brain (2008),131, 1156-1160. 電子版見 http://brain.oxfordjournals.org/content/131/4/1156.

譯者註：《深夜小狗神秘事件》是一部英國暢銷書，主角克里斯托弗（Christopher）擁有超人的數學天賦，但內心脆弱而敏感。

譯者簡介

王兢，清華大學數學博士，中央民族大學理學院教師。

林開亮，首都師範大學數學博士，西北農林科技大學理學院教師。

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