數學競賽有何意義？從中國兩年未獲IMO第一說起

許晨陽，北京國際數學研究中心教授，主要從事基礎數學核心領域代數幾何方向的研究。

撰文 | 許晨陽（北京大學北京國際數學研究中心教授）

在剛剛過去的2015和2016年，IMO（International Mathematical Olympiad，國際數學奧林匹克競賽）總分第一被美國隊取得。中國連續兩年未獲IMO第一，這是從1989年以來的第一次，引起了不小的討論。

從一個沒有很強數學競賽傳統的中學裡出來，和很多人比起來，我對數學競賽的了解並不算非常深。進入大學之後的近20年，我對數學競賽也基本只是一名旁觀者。我唯一一次參加全國級別的數學競賽是在1999年，作為入選冬令營的四川隊最後一名通過冬令營考試，幸運地被選進入了國家集訓隊。那一年我在為進入冬令營的準備中認識了朱歆文，然後在冬令營四川隊中認識了張偉，之後又在集訓隊里認識了陳大衛、劉若川和惲之瑋。我之後和他們中的許多人成為數學研究路上的摯友。

在北京大學的同學中，有不少人也從參與數學競賽開始，成長為優秀的數學家。一個不完全的名單里包括了安金鵬、何旭華、倪億、於品、袁新意、肖梁、余君等。其中的一些人在今天的國際數學界也已經成長為各自領域的中流砥柱。這個名單很清楚地說明，數學研究和數學競賽有很強的正相關性，怎麼解讀這個相關性，就是這篇文章的目的。

關於數學競賽的理解，有兩個層面：一是從參與者自身的經驗，一是從作為整個國家教育的一部分。我將主要從數學研究的角度切入這兩個方面。但是我首先想要強調，儘管我在這裡主要討論數學競賽為數學研究所作的準備，但這只是數學競賽的效用之一。實際上每年參加數學競賽的佼佼者中，最後從事數學研究的絕對數量並不高。很多人選擇了其他工作，並做出了優秀的成績，而在他們取得成就的各種素質中，數學競賽培養出來的能力佔有一個顯著的位置。一個令我感興趣的比較是在不同文化下那些沒有選擇數學研究的人最後所從事的工作：一個未經查證的說法是中國人多選擇了金融，而美國人多選擇了高科技。

我見過一個比喻把數學競賽和數學研究比作「百米短跑和馬拉松」。我認為這個比喻具有一定的誤導性。也許數學競賽和百米短跑確有相似之處，因為他們都需要短時間內的爆發力——一個是身體上的，一個是數學技巧上的；但是數學研究的成功所依賴的能力卻豐富得多。好的馬拉松運動員大致有著相似的能力，但是讓人成為好的數學家的能力卻可能大相徑庭。戴森著名的關於「青蛙和鳥」的劃分在數學裡一般被視為關於問題解決者（青蛙）和理論構建者（鳥）的區別。單從解決問題的思維類型上而言，既有那種能迅速進入問題，並靠連續不斷的爆發力掀翻一個又一個障礙的數學家（科爾莫戈羅夫[Kolmogorov]曾說他考慮解決一個問題的時間通常不超過一個星期），也有另外一種數學家，他們擅長一點點深入，持續不斷地在同一個問題上穩定前行（懷爾斯[Wiles]花了7年證明了費馬大定理）。所以從這裡不難看出，數學競賽能夠培養出的能力類型，只是做數學研究的各種能力類型中的一（小）部分。

我認識的一些優秀數學競賽參加者，他們的共同之處是在某個時間節點上，自覺或者不自覺地認識到了數學競賽的這種局限性，而選擇了擴大自己的能力範圍，為後來成長為傑出數學家奠定了關鍵的一步。所以對於那些有興趣參與數學競賽的年輕人，一定的訓練對於數學研究是有益的，但是過度的訓練就往往過猶不及，事倍功半，在能力和心理上阻礙了其他數學能力的發展。

在我自己的經驗中，我很清晰地記得，自己正是在1999年的國家集訓隊一個月的訓練里，逐漸開始意識到那個時候的我，已經獲得了數學競賽能給予我的所有東西，需要朝著下一個目標前進。而我的導師科拉（Kollár）曾經兩度取得IMO金牌，但他卻是匈牙利IMO隊里為數不多的來自於非「特殊數學班」的選手。我相信這種更加平衡的教育對他日後數學研究上的成功有很大益處。因此我建議對數學競賽佼佼者進行更全面的教育，把數學競賽視為整個科學甚至文化教育的一部分，我相信這對他們漫長的人生之路而言，是更有益的教育方式。自然這也對數學競賽教育者提出了更高的要求，但我想如果把數學競賽教育的目的定位在取得成績的同時，讓學生通過數學競賽的學習，而最終跳出數學競賽，逐漸理解數學作為人類文化里「自由的藝術」的價值，那麼這種教育才不會陷入功利的責難而讓自身更有生命力。

關於數學競賽經常被討論的另一個問題是，我們應該在其中投入多少社會資源。如前面所說，培養數學研究人才只是數學競賽的社會效用之一。因為只從這個角度切入，儘管這裡很多討論也可以被推廣到其他情形，但我也並不試圖完整地回答這個問題。數學競賽作為一種社會組織教育模式，最積極的一點是讓很多對數學有興趣的志趣相投的孩子，很早地共同處於一個團體之中，相互影響，產生良性競爭。而這個模式的形成，也為整個社會選才提供了一個有效的渠道。

現代社會的迅速發展，往往在於充分發展屬於每個人的最強能力。而怎麼識別這種能力然後加以培養，無論對每個個體還是對整個社會的發展都有基本的意義，也是教育的核心主題之一。在這一點上數學競賽有不可替代的特殊價值。

以我自己的經驗而言，我在數學競賽中獲得最珍貴的經歷，便是通過交流，看清了自己的情況，並且走上了一條適合自己的路：一方面我因為數學競賽，免試進入了北京大學；另外一方面我也因為在這個成長過程中認識了我前面提到的那些後來和我一起從事數學研究的好友，而豐富了自己。有時候我甚至想，如果能早一點結識他們，也許我會更早下決心從事數學研究。

另外一個有趣的數據是，2000年以後獲得菲爾茲獎的數學家當中，IMO獎牌獲得者的比例顯著增高，14名獲獎者當中有至少8名分別代表各自的國家獲得了獎牌。這一方面同這幾十年來數學內各學科影響力的變化有一定關係，同時也反映了在全世界數學的精英教育中，有一種日漸增強的趨勢，即把數學競賽尤其是IMO作為選拔培養數學家的一個環節。而2015、2016兩年美國IMO隊教練羅博深是我在普林斯頓讀博士時的同學。他現在是卡耐基梅隆大學的副教授，也是組合數學研究領域的年輕專家。他參與進美國IMO隊，也許標誌著美國的數學精英教育界在長期重視著名的普特南大學數學競賽之外，現在也把他們的目光更進一步聚焦在了IMO這樣的中學數學競賽之上。我想這對於過去二三十年統治了IMO競賽的中國隊，應該是一個很有益的挑戰。

本文為許晨陽教授應IMO國家隊教練熊斌老師邀約而撰寫的文章，旨在探討數學競賽和數學研究之間的關係。原載微信公號「北京國際數學研究中心BICMR」，原題為「許晨陽：平衡 成長 識別——數學競賽與數學研究」，《知識分子》獲作者授權刊載。略有修訂。

製版編輯：鄧志英|

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