上帝教人擲骰子——「神童」帕斯卡與概率論

油畫《Blaise Pascal》。來源：Wiki

編者按：

概率和統計作為數學領域的一個重要分支，早已滲透到人們的工作和生活當中，小到人人都可以買到的彩票，大到如今熱度不減的各種大數據，其中都蘊含了概率與統計的諸多內容。然而對於公眾來說，因涉及到複雜的數學計算等問題，概率與統計可能比彩票和大數據更難理解。

此次，《知識分子》將刊載科普作家張天蓉關於概率和統計的系列專欄文章——趣談概率和統計，旨在儘可能地跳出讓很多人「望而生畏」的數學公式，用平鋪直述的話語將概率與統計中一些生澀的概念轉為公眾更容易理解的實際案例，讓公眾了解事物背後關於概率與統計的問題。

而今天這篇開欄文章，就以我們熟知的骰子起始。

撰文 | 張天蓉 （美國德州大學奧斯汀分校理論物理博士）

責編 | 呂浩然

骰（編者註：讀作tóu，二聲）子，算是一種最古老的賭具，據說人類在五千年前就開始使用它。骰子最早由埃及人發明，但在四大文明古國的歷史中大概都有獨自發明類似物件的記載。不過，人類將這骰子甩來拋去擲了幾千年，卻沒有明白其中深藏的數學奧秘，直到距今四百多年前……

十七世紀的法國數學界

十七世紀，從義大利開始的文藝復興運動已經席捲整個歐洲，也波及到了法國，帶來了科學與藝術的蓬勃發展和革命。法國乃數學之邦，該領域人才濟濟，群星璀璨。

如今我們熟悉的笛卡爾，就是那位以「我思故我在」而聞名的先賢，人稱現代哲學之父及解析幾何的奠基人，便於1596年出生在法國北部。

圖1：梅森學院的部分數學家

勒內·笛卡爾（René Descartes，1596－1650）的家鄉是一個美麗的花園小城。他的父親是當地的一個議員，母親在他1歲多時因肺結核去世，並將這個當時被列為不治之症的疾病傳染給了他，因此，這個貴族家庭對體弱多病的笛卡爾寵愛有加。

而布萊茲?帕斯卡（Blaise Pascal，1623－1662）誕生在法國中部一個叫克萊蒙費朗的小城市中的一個小貴族家庭。帕斯卡比笛卡爾小了27歲，但兩位數學家的童年卻有不少共同之處：母親早逝、父親富有、身體羸弱、智力過人。

不僅僅是童年生活，兩位學者的學術生涯也有不少共同點：都是興趣廣泛、博學多思。他們除了在許多科學領域作出傑出貢獻之外，在人文和哲學方面也都取得了非凡的成就。並且，在成名之後，笛卡爾和帕斯卡兩人都不約而同地選擇了半隱居式的生活。

帕斯卡於39歲時在巴黎英年早逝，笛卡爾活得也不長，這位「現代哲學之父」之死也頗具傳奇性。笛卡爾原本是企圖追求「安寧和平靜」的隱居生活，平生習慣「睡懶覺」，躲在暖和的被窩裡思考數學和哲學問題。據說他的解析幾何坐標概念之靈感就是在作了「三個奇怪的夢」之後得來的。

然而，晚年的笛卡爾卻被瑞典的克里斯汀女王看中，要笛卡爾給她講哲學晨課。女王喜歡早起，可憐的半老不老的笛卡爾只好違背他多年的作息習慣，每天早上五點爬起來給女王上課，最後終是適應不了北歐嚴酷多雪的冬天，於 1650年罹患肺炎，一命嗚呼了！

談及十七世紀的法國數學，不可不提當年那位舉足輕重的人物：馬蘭·梅森（Marin Mersenne，1588－1648）【1】。梅森也是一位數學家，但他的貢獻主要不是在學術方面，這方面能列得出來的只有一個「梅森素數」，而他的主演貢獻還在於「組團」，也就是人們熟知的「梅森學院」。

梅森出身於法國的農民家庭，不是貴族的他卻成了許多愛好科學的貴族間的聯繫紐帶。梅森少時畢業於耶穌會學校，是笛卡爾的同校學長，於1611年進入修道院，成為天主教的一名教士。1626年，他把自己在巴黎的修道室，辦成了科學家們的聚會場所和交流信息中心，稱為「梅森學院」。這個聯繫和組織人才的「科學沙龍」，實際上是後來開明君王路易十四所創建並給予豐富贊助的「巴黎皇家科學院」的前身。因此，梅森為法國科學（特別是數學）的發展作出了巨大的貢獻。

圖2：1666年，柯爾貝爾向路易十四引薦皇家科學院成員【2】。

梅森見多識廣、才華不凡，又性格隨和、平易近人，在其身邊聚集了一批優秀的學者定期到修道室聚會。此外，當時的梅森科學沙龍，還經常以通信的方式互相聯繫，或單獨與梅森聯繫，報告、交流新的研究成果和思想，因此人們稱它為「移動的科學刊物」。梅森去世後的遺產中留下了與78位學者的珍貴信函，其中包括笛卡爾、伽利略、費馬、托里拆利、惠更斯等歐洲各國多個領域的科學家。例如，笛卡爾有20多年隱居荷蘭，在那兒完成了他的哲學、數學、物理學、生理學等領域的許多主要著作，在此期間只有梅森定期與他保持通信聯繫。

生活在法國南部的著名律師和業餘數學家皮埃爾·費馬（Pierre de Fermat，1601－1665）也是通過書信的方式與梅森及其他數學同行保持聯繫，他的不少數學成果都是在這些書信中誕生的。

還有荷蘭人克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens，1629－1695），他也是著名的物理學家、天文學家和數學家。他曾經師從笛卡爾，後來又通過書信交流成為梅森學院重要成員。梅森去世後，巴黎皇家科學院成立，惠更斯首任院長，滯留巴黎近二十年。

神童帕斯卡

才華橫溢的帕斯卡參加到梅森學院聚會時年僅十四歲，而當時的笛卡爾卻已經過了不惑之年。然而，身世相仿的兩人關係卻並不融洽，反倒似有些嫉妒的陰影摻雜其中。

帕斯卡在他11歲那年創作了一篇有關身體振動發出聲音的文章，使得懂數學的父親提高了警惕，禁止兒子15歲前繼續深研數學知識，以免他荒廢拉丁文和希臘文的學習。但有一天，12歲的帕斯卡用一塊木炭在地板上畫圖，發現了歐幾里德幾何的第32命題——三角形的內角和等於兩直角。從那時起，父親改變了對兒子的想法，讓小帕斯卡繼續獨自琢磨幾何問題，並隨後帶他旁聽梅森修道院每周一次的聚會【3】。

圖3：帕斯卡研究幾何和物理

帕斯卡16歲時寫了一篇被稱作神秘六邊形的短篇論文「圓錐曲線專論」。文章中證明了一個圓錐曲線內接六邊形的三對對邊延長線的交點共線，這個結論現在被稱為「帕斯卡定理」 （見圖3a）。文章寄給梅森神父後得到眾學者的極大讚賞，只有笛卡爾除外。

彼時的笛卡爾不常親臨巴黎的聚會，但看了帕斯卡的手稿後，一開始拒絕相信這個手稿出自一個16歲少年之手，認為是他的父親所寫。後來，儘管梅森再三保證這是小帕斯卡的文章，笛卡爾仍然不屑一顧地聳聳肩膀，表明沒什麼大不了的。但實際上，帕斯卡定理對射影幾何早期的發展起到了很大的推動作用，向人們展示了射影幾何深刻、優美、直觀的一面。

帕斯卡也喜歡研究物理問題，針對真空及大氣壓的性質進行實驗。十七世紀40年代，伽里略的弟子托里拆利（Evangelista Torricelli，1608-1647）發明了用水銀柱測量氣壓的方法，確定大氣壓強使得水銀柱上升約76厘米。實驗結果激發了當時的物理學家們思考和討論大氣壓力及空氣重量的問題。

年輕的帕斯卡首先重複了托里拆利的試驗，繼而進一步猜測：如果將氣壓計放在一個高高的塔頂上，水銀柱上升的高度會因空氣更為稀薄而比76厘米要低，而空氣再稀薄下去便是「真空」。帕斯卡計劃用實驗來證實他的這些想法。1647年，正好笛卡爾難得地來到巴黎並拜訪了這位小天才，據說這是兩人唯一的一次會晤。笛卡爾同意帕斯卡的部分觀點，但卻對真空是否存在問題的實驗和研究不以為然，笛卡爾認為真空不存在，也不能用實驗來驗證，之後還對其他人嘲笑帕斯卡，說他 「頭腦中的真空太多了！（has too much vacuum in his head.）」【4】。不過，在那次會面中，年輕的帕斯卡也不服輸，更不畏懼笛卡爾的權威，批駁了笛卡爾的某些哲學觀念，帕斯卡認為：「心有其原因，原因不知道（We know the truth not only by the reason, but by the heart.）」【5】。

就在二人會晤的第二年，1648年9月19日，帕斯卡的姐夫在多姆山上按照帕斯卡的設計進行了氣壓計實驗。實驗證明在山腳和山頂水銀柱的高度相差一個不小的數目：3.15英寸！帕斯卡自己則在巴黎的一個52米高的塔頂上重複了類似的實驗（見圖3b）。實驗成功地證實了帕斯卡關於水銀柱高度隨著海拔高度的增加而減少的猜測，震動了科學界。後人為紀念帕斯卡的貢獻，將氣壓的單位用「帕」（帕斯卡的名字）來命名。

圖4：帕斯卡原理和帕斯卡計算器

之後幾年，帕斯卡做了一系列物理實驗，研究液體壓強的規律，不斷取得新發現，並有多項重大發明。帕斯卡總結了這些實驗，於1654年發表論文《論液體的平衡》，並提出了著名的帕斯卡定律：密閉液體任一部分的壓強，將大小不變地向液體的各個方向傳遞。如圖4a所示，左邊是面積A1較小的活塞，右邊液面的面積是左邊的10倍（A2 =10 A1 ），如果在左邊的活塞上施加一個不太大的力F1，因為壓強P可以大小不變地通過液體從左邊傳遞到右邊（P1 = P2），就將在右邊液面得到一個比F1大10倍的升力（ F2 = P2A2= 10 F1 ）。這個如今看來十分簡單的原理成為液壓起重機以及所有液壓機械的工作基礎。

說到重大發明，不可忽略帕斯卡設計的計算器，那是帕斯卡在未滿19歲時為了減輕他父親重複計算稅務收支而創造的一項發明。雖然巨大笨重、難以使用，且只能作加減法，但卻可以列為最早確立計算機器概念的機械計算器之一，也算得上如今人們手中的計算機之老祖宗了（圖4b）。

不僅如此，帕斯卡對數學還有一個大的貢獻：與費馬一起開拓了概率論這一數學分支。

概率論的誕生

十七世紀歐洲的貴族盛行賭博之風，法國有一位叫德·梅雷的貴族，在擲骰子的遊戲之餘，也思考一點相關的數學問題，苦思不得其解時，便向帕斯卡請教。

1654年，他向帕斯卡請教了一個親身經歷的「分賭注問題」。故事大概如此：梅雷和賭友各自出32枚金幣，共64枚金幣作為賭注，雙方以擲骰子為賭博方式： 如果結果出現「6」， 則梅雷贏1分；如果結果出現「4」，則對方贏1分。雙方誰先得到10分，誰就贏得全部賭注。賭博如此進行了一段時間，梅雷已得8分，對方也得了7分。但這時，梅雷接到緊急命令，要立即陪國王接見外賓，只好中斷賭博。那麼問題就來了：這64枚金幣的賭注應該如何分配才合理呢？

這個問題實際上在十五、十六世紀時就已經被提出，稱之為「點數分配問題」。意思是說，當一場賭博半途中斷的情況下，應該如何分配賭注？人們提出各種方案，但未曾得到公認的合理答案。

就上面梅雷和賭友的例子。將賭注原數退回顯然不合理，沒有考慮賭博中斷時的輸贏情況，相當於白賭了一場；將全部賭注歸於當時的贏家也不公平，比如當時：梅雷比對方多得一分，但他還差2分才贏，而對方差3分，如果繼續賭下去的話，對方也有贏的可能性。

帕斯卡對這個問題十分感興趣。直觀而言，上述兩種方案顯然都不合理，賭博中斷時的梅雷應該多得一些，但究竟應該如何分配呢？也有人建議以當時兩人比分的比例來計算：梅雷8分，對方7分，那麼梅雷得全部賭注的8/15，對方得7/15。這種分法也有問題，比如說，如果甲乙雙方只賭了一局就中斷了，甲贏得1分，乙得0分。按此分法，甲將拿走全部賭注，顯然也是不合理的。

帕斯卡直覺地意識到，中斷賭博時賭注的分配比例應與當時的輸贏狀態與雙方約定的最終判據之距離有關。比如說，梅雷已經得了8分，距離10分的判據差2分，賭友7分，還差3分到10分。因此，帕斯卡認為需要研究從中斷賭博那個「點」開始，如果繼續賭博的各種可能性。為了儘快地解決這個問題，帕斯卡以通信的方式與住在法國南部的費馬（Pierre de Fermat）討論【6】。費馬不愧是研究純數學的數論專家，很快列出了「梅雷問題」中賭博繼續下去的各種結果。

圖5：費馬和帕斯卡對點數分配問題的思路

梅雷原來的問題是擲骰子賭「6點」或「4點」的問題，但可以簡化成拋硬幣的問題：甲乙兩人拋硬幣，甲賭「正」，乙賭「反」，贏家得1分，各下賭注$10，先到達10分者獲取所有賭注。如果賭博在「甲8分、乙7分」時中斷，問應該如何分配這$20賭注？圖5a顯示了費馬的分析過程：從賭博的中斷點出發，還至多需要拋4次硬幣來決定甲乙最後的輸贏。

這4次隨機拋丟或產生16種等概率的可能結果，如圖5a中最右側所列。因為「甲贏」需要結果中出現2次「正」，「乙贏」需要結果中出現3次「反」，所以，在16種結果中，有11種是「甲贏」，5種是「乙贏」。換言之，如果賭博沒有中斷，而是從中斷點的狀態繼續到底的話，可以如此算出甲贏的概率是11/16，乙贏的概率是5/16。賭博的中斷使得雙方按照這種比例失去了最後贏得全部賭注的機會，但按此比例來分配賭注應該是合理的方法。所以，根據費馬的分析思路，甲方應該得$20×11/16=$13.75，乙方則得剩餘的，或$20×5/16=$6.25。

帕斯卡十分讚賞費馬思路之清晰，費馬所得的結果也驗證了帕斯卡自己得到的結論，雖然他用的是完全不一樣的方法。帕斯卡在解決這個問題的過程中提出了離散隨機變數「期望值」的概念。期望值是用概率加權後得到的「期望」的平均值。如圖5b所示，帕斯卡計算出從甲方的觀點，「期望」能得到的賭注分配為$13.75，與費馬計算的結果一致。

期望是概率論中的重要概念，期望值則是概率分布的重要特徵之一。它常被用在與賭博相關的計算中【7】。例如，賭場輪盤上有38個數字，每一個數字被選中的概率都是1/38。賭注（比如$1）押在其中一個數字上，如果押中，顧客得到35倍的獎金（$35），否則賭注被賭場所得。藉此，我們可以計算顧客「贏」的期望值。

圖6：輪盤對賭徒而言的期望值

圖6顯示了計算結果是一個負數：約等於-0.0526美元。也就是說，平均起來顧客每賭1美元就會輸掉5美分，所以，賭場永遠不會虧！

從研究擲骰子開始，帕斯卡不僅僅引入了期望的概念，還發現了帕斯卡三角形（即楊輝三角），雖然楊輝早於帕斯卡好幾百年，但是帕斯卡將此三角形與概率、期望、二項式定理、組合公式等等聯繫在一起，與費馬一起為現代概率理論奠定了基礎，對數學作出了不凡的貢獻。1657年，荷蘭科學家惠更斯在帕斯卡和費馬工作的基礎上，寫成了《論賭博中的計算》一書，被認為是關於概率論的最早的系統論著，但人們仍然將概率論的誕生日定為帕斯卡和費馬開始通信的那一天——1654年7月29日。

圖7：帕斯卡三角

參考文獻：

【1】Marin Mersenne, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Marin_Mersenne

【2】引自維基百科French Academy of Sciences詞條。

【3】Blaise Pascal, Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal

【4】http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Pascal.html

【5】http://www.leaderu.com/apologetics/pascalmethodology.html

【6】Keith Devlin, The Unfinished Game: Pascal, Fermat, and the Seventeenth-Century Letter that Made the World Modern, Basic Books, 2008. 「FERMAT AND PASCAL ON PROBABILITY」 https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/pascal.pdf

【7】Edward Packel, The Mathematics of Games and Gambling, Mathematical Association of America, 2006.

製版編輯：呂浩然|

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