這些早期簡單的幾何引導著我們去探索宇宙

用一根弦將兩點相連，會得到一條直線。從弦的一端以另一端為圓心走一圈，就會得到一個圓。一條直線和一個圓，兩種如此簡單常見的形狀，構成了幾何里最基礎的形狀。

早期的天文學專註於標註時間，比如什麼時候冉冉升起的太陽會出現在最北端，或者新月再次出現的天數。而這些簡單的曲線幾何給了我們機會將地球與天空聯繫起來。月亮、太陽甚至是其它的恆星看起來就像是繞著地球做圓周運動。同樣地，一個下落的球會筆直的砸向地面，燃燒的火焰成線性的上升。圓和線就像是天地間神聖的幾何形狀。

《幾何原本》。（圖片來源：Biography Online）

大約公元前300年，歐幾里得寫下了一部不朽之作《幾何原本》（共13卷），建立了空間秩序最久遠最權威的邏輯推演語系。他從五條關於線和圓的基本假設（公理）開始：

任意兩個點可以通過一條直線連接。

任意線段能無限延長成一條直線。

給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。

所有的直角都全等。

同平面內一條直線和另外兩條線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於180度，則這兩條直線無限延長後在這一側一定相交。

歐幾里得的五條公理。（圖片來源：One Universe at a Time）

從這些公理，他發展了一套證明的方法和定理，如果這些最初的公理是正確的，那麼幾何的其它方面都必須是正確的。歐幾里得賦予了我們幾何的語言，才有了今天現代數學的語言。這些幾何語言可以被用來描述天體的運動。如果你想知道火星和木星什麼時候離我們最近，或者金星什麼時候看起來像一顆晨星，你就需要利用幾何來計算。

利用這些簡單的幾何，人們可以計算出那些天體繞著地球的真正軌道。但是，很快人們就意識到行星繞地球的運動並不是圓形軌道。在過去，線和圓在解決問題上是如此的有效，以至於大多數人提出來的解決方法還是專註在它們身上，比如，行星其實是繞著太陽做圓周運動或者本輪和均輪的概念。雖然提出來的諸多模型都比先前的更為複雜，但都不能解釋真正的問題。

一顆行星在本輪（小的虛線圓）和均輪（大的虛線圓）上。（圖片來源：Wikipedia）

最終的答案來自於開普勒，他認為行星是繞著太陽進行橢圓運動，而不是圓形。

四種圓錐曲線。（圖片來源：One Universe at a Time）

橢圓是屬於圓錐曲線的一員，通過從不同的角度平切圓錐可以得到四種類型的的曲線：圓、橢圓、拋物線和雙曲線。從圓到橢圓的擴展，開普勒發現了行星運動的三個基本定律，被稱之為開普勒定律。這些定律不僅能夠準確地描述行星的運動，而且相比其它的模型更為簡單。

開普勒第二定律：相同時間內，行星掃過的面積相等。（圖片來源：One Universe at a Time）

大約在同時期，笛卡爾發展了一種描述幾何的新方法。儘管在過去我們對幾何圖形的理解有飛躍的進步，但都依賴於歐幾里得的方法。想像一條線平分一個圓，一個圓嵌入在一個立方體之中。幾何都是關於線、曲線和不同形狀之間的聯繫，而這往往很複雜。舉個例子，開普勒的第二定律用一條線連接行星和太陽，在相同的時間內，這條線掃過的面積相等。

空間的每一點都有獨一無二的坐標。（圖片來源：One Universe at a Time）

而笛卡爾把空間想像成充滿了網格作為參考系。如此，空間中的每一個點都可以用獨一無二的一套數字（坐標）來表示，一條曲線可以代表一個函數，連接不同的坐標。有了這種解析幾何，笛卡爾將幾何和代數聯繫在一起，給了我們更多的工具描述曲線和形狀。

解析幾何不僅把運動看做是經過空間的路徑，也把它看成是經過時間的路徑。在空間中的每一點都可以用三個坐標數字來表示它的位置，通過加入第四個表示時間的坐標，我們就建立了在哪裡和什麼時候的幾何。當牛頓發展他的運動定律的時候，他用速度和加速度來描述運動。利用解析幾何，他可以連接那些時間的函數和空間中的曲線，從而計算出物體在空間和時間中的路徑。這個方法也被牛頓用來證明開普勒的運動定律其實是萬有引力的結果。

牛頓的空間和時間幾何在今天仍然在使用。（圖片來源：One Universe at a Time）

歐幾里得幾何是如此的強有力，它的有效性似乎不容置疑。結合牛頓力學在當時的地位，我們似乎已經達到了理解的一個頂峰。

但是，在19世紀，一個年輕的數學開始探索歐幾里得幾何的替代，他就是黎曼。笛卡爾坐標系可以用來描述歐幾里得的幾何空間，但如果這些坐標之間的聯繫可以被扭曲呢？我們可以把歐幾里得表面想像成一張畫滿了網格的紙。但如果這張紙其實是由橡膠做成的，拉伸或扭曲這張紙就可以破壞格子的形狀。有一些幾何規則仍然可以應用在這張紙上，但歐幾里得的五個基本定理可不一定。就像圓是圓錐曲線的一個例子，歐幾里得幾何只是一個更大的幾何家族中的一員。

黎曼幾何有許多不同的形狀。（圖片來源：One Universe at a Time）

黎曼開啟了幾何的一個新篇章。在黎曼幾何中，空間不再是固定的背景，而是可延展的流形。在空間中的點之間的聯繫由流形的結構所決定。歐幾里得的規則顯露了它的局限性。平行的兩條線可能會相交，三角形的內角和不再是180度，兩個周長一樣的圓可能有不同的半徑。就像笛卡爾將幾何和代數聯繫在一起，黎曼將幾何和拓撲聯繫了起來。幾何不再限制於固定的背景網格。

但是，黎曼幾何對於我們理解宇宙有什麼影響嗎？似乎沒有，因為一張紙和橡膠球可以被彎曲成不同的形狀，但空間又不是一種物質。它當然必須是固定和絕對的。空間和時間也自然必須是歐幾里得幾何學的。

但是，值得注意的是歐幾里得的公理只是假設。雖然直覺上它們對空間和時間是正確的，但假設可以是錯的。其中一個重要假設就是，時間在宇宙的所有地方都是一樣的。如果將兩個時鐘同步，無論它們是在以不同的速度運動，或者相隔光年遠，它們的走時率都是一樣的。但如果我們認為空間和時間是絕對的網格，那麼我們測量物體的運動速度時就必須相對於該網格，包括光速。也就是說，如果你相對於背景網格在運動，你所測量的光的速度和你靜止時測量的不一樣。然而，實驗結果卻告訴我們空間和時間並不是絕對的，光才是。光在空間和時間之間產生了幾何聯繫，聯繫空間和時間的幾何規則就是光的速度是常數。

空間的幾何不再是歐幾里得的。（圖片來源：One Universe at a Time）

這是愛因斯坦的深刻物理洞見。黎曼是正確的。幾何的關鍵在於流形是如何拓撲連接的。對於我們的宇宙來說，光就是連接，無論空間和時間如何扭曲都必須保護這個連接。

或許愛因斯坦的理論最迷人的地方在於，引力——導致行星沿著橢圓軌道繞著太陽的力——只是幾何的一個結果。空間和時間的扭曲意味著物體並不總是沿著直線運動。它們的路徑可以被彎曲，使它們看起來好像被引力吸引。對幾何的不斷探索，引發了我們對空間和時間的更加深刻的理解。

而現在，我們正等待著下一次的幾何革命。

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