黑洞的體積是不是可以無限小？

黑洞的大小和質量之間的關係是由史瓦西半徑給定的：

Rs=2GNM/c2Rs=2GNM/c2

因此，最小的黑洞的大小與最輕的黑洞的質量是成正比關係的。也就是說，如果黑洞的體積「無限小」（其實更為恰當的說法應該是「無窮小」），就要求其質量也必須是無限小。在廣義相對論、甚至牛頓的萬有引力理論中，都可以找到關於最輕的黑洞質量是多少的明確提示。這是因為牛頓萬有引力常數是一個物理常數。根據光速以及普朗克常數，我們可以把萬有引力常數換算為一個質量單位：

Mp=?cGN???√?21μgMp=?cGN?21μg

這被稱為普朗克質量。預測最輕黑洞的質量與此質量單位相關。可能是它的兩倍、或是二十倍、或是它的一半等等，不管怎麼說，它和普朗克質量之間存在正比關係[*]。

黑洞的史瓦西半徑的尺度被稱為普朗克長度，公式為：

?P=GN?c2???√?10?33 cm?P=GN?c2?10?33 厘米

?一粒沙的大小為10?2厘米

?一個原子的大小為10?8厘米

?原子核的大小為10?13厘米 [**]

?我們所能測量到的最短距離為10?16厘米

所以，普朗克長度幾乎已經小到無法分辨了。

如果一個黑洞像沙粒那麼大的話，其實質量已經相當大了：

M～1023 kgM～1023 kg

這幾乎和月球的質量差不多一樣大了。 第二件要考慮到的事情是，像這樣一個本身溫度就很高、體積又小的黑洞，它們會被快速蒸發掉的。黑洞的溫度公式為：

kBT=?c38πGNMkBT=?c38πGNM

由此可知，隨著黑洞的體積越來越小，它們的溫度是不斷攀升的，而這又導致了黑洞蒸發的更快。黑洞的壽命公式是：

τ=5120πG2NM3?c4τ=5120πGN2M3?c4

因此，體積最小的黑洞壽命為：

τ=5120πtPτ=5120πtP

其中：

tP=GN?c5???√?10?40 sectP=GN?c5?10?40 秒

這被稱之為普朗克時間。所以，最小的黑洞的存活時間其實是非常非常短的。但是，由於黑洞的壽命與其質量的立方是成正比的：τ=5120πtP(MMP)3τ=5120πtP(MMP)3。

所以黑洞的質量只需要滿足：

M>1020MPM>1020MP

就可以在整個宇宙的生命周期中保持穩定。因此，我們推測最小的黑洞是一個原子核大小、質量和一座山差不多大的黑洞。

當然，這些推論是建立在假設自然法則與我們迄今所發現的這些定律並沒有太大出入的基礎上的。而阿爾卡尼-哈米德、季莫普洛斯和德瓦利提出的「多膜世界理論」，則認為最小黑洞會比這個還要迷你的多，因為引力是可以在其它維度空間中傳輸的，而真正的普朗克質量則會變得小的多。

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