解決百萬美元懸賞問題：「黎曼猜想」的新思路

黎曼於1859年提出：黎曼 ζ(s) 函數的非平凡零點都在複平面上的一條實部為0.5的直線上。

近日數學家發現，黎曼 ζ(s) 函數的解和另外一個方程的解有關係，而後者很有可能是證明黎曼猜想的一條捷徑。如果這個結果能被嚴格證明，作為數學界最大猜想之一的黎曼假設將獲得最終證明，證明者即能摘得克雷數學研究所的1百萬美元懸賞。

黎曼猜想自1859年提出之後的100多年裡，數學家試圖走出證明的關鍵一步：找到一種運算元函數。今天，這一夢寐以求的函數可能終於出現了。

多傑·布羅迪（Dorje Brody）是倫敦布魯內爾大學數學物理學家，也是相關論文的共同作者。他表示：這是首次發現如此簡潔的運算元，其特徵值（eigenvalue）與黎曼 ζ(s) 函數的非平凡零點精確相關。

接下來，數學家要證明下一步：所有特徵值都是實數。如果確實能證明這一點，黎曼猜想將最終獲得證明。布羅迪和其他兩位共同作者——來自華盛頓大學聖路易斯分校數學物理學家卡爾·本德（Carl Bender）和來自西安大略大學的馬庫斯·穆勒（Markus Müller）——在《Physical Review Letters》上發表了相關論文。

黎曼猜想對數論，特別是素數理論有重要意義。1859年，德國數學家伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）研究了素數的分布問題——給定整數N，有多少個小於N的素數？

黎曼推測，所有小於N的素數的分布，跟黎曼 ζ(s) 函數的非平凡零點相關。（所謂的零點，即為使方程等於零的解（s值）。而當是負偶數時，方程則一定為零，因此這些零點被看作是 ζ(s) 函數的平凡零點，並不重要。）

黎曼假設認為：所有非平凡零點都落在複平面上的一條實部等於0.5的直線上，即實部總是等於0.5，而虛部不同。

150年來，數學家發現了不計其數的非平凡零點，所有的點的實部也確實是0.5，跟黎曼的猜想相符。因此，數學家普遍認為黎曼猜想是正確的，並已經基於該猜想做了很多工作。但是，黎曼猜想本身，至今未被證明。

函數理論提供了證明黎曼猜想的有力工具。它指出：所有非平凡零點構成一個離散實數的集合。有趣的是，某物理學上有廣泛應用的函數——微分運算元——其特徵值跟非平凡零點的集合很相似。

20世紀90年代初，這種相似性讓一些數學家思考：可能存在某種微分運算元，其特徵值就是黎曼 ζ(s) 函數的非平凡零點。

今天，這個猜想被稱為希爾伯特-波利亞猜想，儘管大衛·希爾伯特（David Hilbert）和喬治·波利亞（George Pólya）都沒有在這方面發表任何著作。希爾伯特-波利亞猜想包括2步：1）找到1個運算元，證明其特徵值就是黎曼 ζ(s) 函數的非平凡零點；2）證明這些特徵值都是實數。

目前，相關的研究工作主要集中在第1步。數學家已經確認了一種運算元，其特徵值精確對應於黎曼 ζ(s) 函數的非平凡零點。第2步工作剛剛開始，數學家甚至還不能確定，證明第2步到底有多難。他們能確定的是，還需要更多的工作。

有趣的是，這種起關鍵作用的運算元跟量子物理有密切聯繫。1999年，數學物理學家米切爾·博里（Michael Berry）和約拿單·基廷（Jonathan Keating）研究希爾伯特-波利亞猜想時，他們提出了另外一個重要的猜想：如果這種運算元確實存在，那麼它應該對應於一種具有某些特性的理論量子系統。這個猜想被稱為博里-基廷猜想，但是之前誰也沒找到這個系統。

如今，布羅迪稱，他們確定了博里-基廷哈密爾頓運算元的量子化條件，並基本證明了博里-基廷猜想。

哈密爾頓運算元通常用來描述一個物理系統的能量，但是博里-基廷哈密爾頓運算元的奇異之處在於，至少目前，科學家認為，它並不對應於任何物理系統，而是一個純數學函數。

布羅迪表示，他們的證明工作基於啟發性分析方法，這種方法源於已經有大約15年左右歷史的偽厄米PT-對稱量子理論。因此，他們將文章發表在《Physical Review Letters》，而不是數學期刊。

希爾伯特-波利亞猜想認為，關鍵的哈密爾頓運算元應該也是厄米運算元，而量子理論中，也通常要求哈密爾頓運算元同時也是厄米運算元，因此希爾伯特-波利亞猜想和量子理論有天然的聯繫。布羅迪等人提出了希爾伯特-波利亞猜想的偽厄米形式，並將其作為下一步的研究重點。

現在，最大的挑戰是證明：該運算元的特徵值都是實數。

總體來說，科學家對克服這個挑戰表示樂觀。原因在於，他們有一樣法寶可以利用，那就是PT對稱性。PT對稱性是量子物理的概念——如果該系統滿足PT對稱性，當你改變4維時空的的符號時，變換後的結果和變換之前相同。

儘管真實的世界一般不滿足PT對稱性，物理學家構建的這種運算元卻具有這種特性。然而，科學家現在需要證明，這種運算元虛部的PT對稱性被打破。若能做到這一點，則該運算元的特徵值都是實數——最終證明黎曼猜想。

科學家普遍認為，黎曼猜想的證明對計算機科學，特別是密碼學有重大意義。此外，數學家也希望知道論證的結果到底會對理解基礎數學原理帶來些什麼影響。

布羅迪表示，儘管他們還不能預測研究結果對數論的具體影響，但有理由期待後繼成果。

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