黎曼猜想證明新的進展

研究者發現著名的黎曼zeta函數的解相當於另一個不同類別的函數的解，這可能有助於更簡單地解決數學中的重大問題之一——黎曼猜想。如果該結論能得到嚴格的證明，那麼就有可能最終證明黎曼猜想，贏得克雷數學研究所懸賞的百萬美元千禧年獎。先前有一些傳言稱證明了黎曼猜想，但克雷數學研究所均未正式承認並授予獎金。

黎曼zeta函數及本研究提出的運算元

黎曼猜想在1859年提出，在過去150年里數學家認為正確的運算元函數是證明的關鍵一步，因而均試圖找到合適的運算元函數，最新的發現即為找到的一種。

英國布魯內爾大學數學物理家、該研究的共同作者Dorje Brody說道：「據我們所知，這是首次明確的以及可能是相對簡單的運算元，其特徵值正好對應於黎曼zeta函數的非平凡零點的虛部。」

仍待證明的是關鍵的第二步：所有特徵值均為實數而不是虛數。如果未來可證實這一點，那就最終證實了黎曼猜想。

Brody和他的共同作者、聖路易斯的華盛頓大學的數學物理家Carl Bender以及加拿大西安大略大學的Markus Müller等一起在近期的物理評論快報上發表了該成果。

質數的位置

黎曼假設之所以如此誘人是因為其與數論聯繫緊密，特別是質數。德國數學家波恩哈德·黎曼在1859年的論文中，研究了質數的分布，或者更準確地說，給定一個整數N，比它小的數裡面有多少質數？

黎曼推測質數的分布與某個函數的非平凡零點有關，該函數現今被稱為黎曼zeta函數(雖然很容易發現負偶數為方程的零解，但這些零點被認為是平凡零點，並非方程中有意思的部分)。黎曼的假設是所有的非平凡零點都位於一條複平面的垂直線(1/2+it)(被稱為臨界線)上。

黎曼zeta函數位於臨界線上的值，即隨著臨界線的虛部值的變化，黎曼zeta函數的值

過去150年里，數學家逐個發現了萬億的非平凡零點，均位於這條直線上，正如黎曼所想的那樣。現在學術界廣泛認為黎曼的猜想是正確的，並在此假設基礎上進行了大量的工作。儘管如此，黎曼假設——所有無限個零點均位於該直線上——仍未被證明。

等價解

證明黎曼假設的最有用的線索之一來自於函數論，揭示了零點的虛部值為離散值。這表明非平凡零點形成了離散數的集合，類似於物理中廣泛應用的微分運算元的特徵值。

在1900年代早期，這種相似性使得某些數學家研究是否存在一個這樣的微分運算元，其特徵值正好對應於黎曼zeta函數的非平凡零點的虛部。現今這個想法被稱為希爾伯特-波利亞(Hilbert-Pólya )猜想，以David Hilbert和George Pólya之名命名，儘管他們並未發表任何與該想法相關的成果(Hilbert未曾將其錄於文字，但波利亞在一封信件中以個人回憶的方式肯定了這一猜想的存在性。1981年12月8日，歐德里茲科給波利亞發去了一封信，詢問希爾伯特-波利亞猜想的來龍去脈。當時波利亞已是九十四歲的高齡，卧病在床，基本不再執筆回複信件了，但歐德里茲科的信卻很及時地得到了他的親筆回復。畢竟，對一位數學家來說，自己的名字能夠與偉大的希爾伯特出現在同一個猜想中是一種巨大的榮耀。波利亞在回信中這樣寫道：

「很感謝你12月8日的來信。我只能敘述一下自己的經歷。

1914年初之前的兩年里我在哥廷根。我打算向郎道學習解析數論。有一天他問我：『你學過一些物理，你知道任何物理上的原因使黎曼猜想必須成立嗎？』我回答說，如果zeta函數的非平凡零點與某個物理問題存在這樣一種關聯，使得黎曼猜想等價於該物理問題中所有本徵值都是實數這一事實，那麼黎曼猜想就必須成立。」)

Brody說道：「由於Hilbert或者Pólya並未發表相關論文，希爾伯特-波利亞猜想的準確表述某種程度上依賴於個人理解，但可以大致上說由兩個步驟組成：a)找到一個運算符，其特徵值對應於黎曼zeta函數的非平凡零點的虛部；b) 判斷特徵值是否為實數。我們目前為止工作重點是第一步。我們已經鑒定了一個運運算元，其特徵值正好對應於黎曼zeta函數的非平凡零點的虛部。我們剛開始思考第二步。我們現在還無法推測，完成這一步到底是困難還是容易，這需要進一步的工作。」

運運算元

新發現的運運算元一個有意思的方面是它與量子物理緊密相關。

1999年，數學物理家Michael Berry和Jonathan Keating正研究希爾伯特-波利亞猜想，提出了另一個重要的猜想。如果存在這樣的運運算元，那應該對應於具有特殊屬性的理論量子系統，這在今天被稱為貝里－基廷(Berry-Keating)猜想。但在此之前無人找到這樣的系統，這是該新研究第二個重要的方面。

Brody說道：「我們為貝里-基廷哈密頓函數鑒定了一個量子化條件，從本質上確認了貝里-基廷猜想的正確性。」

哈密頓算符常被用於描述物理系統的能量。新的運運算元似乎並不描述任何物理系統，而是相當於一個純粹的數學函數。

Brody說道：「這可能令人失望，但這樣的一個哈密頓算符似乎並不明顯代表物理系統，或者說至少目前我們沒有發現任何跡象可以表明該哈密頓算符對應於某個物理系統。那麼有人可能要問『為什麼要在物理評論快報上發表？』答案就是，我們的論文中用於某些啟發式分析的各種技術借鑒於過去15年中發展的偽厄米時空反演對稱量子理論。希爾伯特-波利亞猜想的傳統理解是運運算元(哈密頓算符)應該是厄米共軛的，並自然將其聯繫到量子理論中，由此哈密頓算符照理必須是厄米共軛的。我們提出了希爾伯特-波利亞猜想的偽厄米形式，值得我們深入研究。」

實數解

現在剩下最大的挑戰就是證明該運運算元的特徵值是實數。

通常，研究者樂觀認為特徵值是實數，並在文章中基於量子物理中的時空反演對稱性說明這一點。大體上，時空反演對稱性說如果改變時空的四個成分的標誌(三維空間和一個時間維)，對於具有時空反演對稱性的系統，結果與之前相同。

雖然自然界通常並非時空反演對稱的，物理學家構造的運運算元卻是的。不過現在研究者想證實這種對稱性被打破了。他們在論文中解釋道，如果可以證明運運算元的虛部不具備時空反演對稱性，那麼就可說明特徵值均為實數，最終構成黎曼假設的證明。

一般認為黎曼猜想的證明對於計算機科學，特別是密碼學具有重要的意義。研究者還想確認他們的成果對理解基礎數學原理的意義。

Brody說道：

「我們現在所探究的內容對數論沒有多少意義，然而鑒於黎曼猜想在數論中的重要性，黎曼猜想證明的任何成功進展必然會帶來數論上的進一步理解。也許在這種情況下無需這樣，但探索我們的哈密頓算符描述的假設系統的動態方面是否與某些數論結論相關，也是蠻有意思的。從這方面來講，對我們的哈密頓算符的半經典分析也可成為下一步的研究目標之一。」

為了便於理解，最後總結一下就是黎曼猜想的目的是證實黎曼zeta函數的零解在一條複平面的垂直直線上，證明思路是構造一個等價運運算元，其特徵值對應於這條直線的虛部。現在找到了這樣的運運算元，但還需要證明特徵值是個實數就大功告成了。

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