21世紀七大數學難題

在20世紀末，人們也想模仿19世紀末的希爾伯特，提出一批有價值的數學問題．但由於20世紀數學的分支越來越細，已沒人能像當年的希爾伯特那樣涉足數學的廣泛領域．於是，人們想到了組成一個數學家小組，並且已經付諸行動．美國馬薩諸塞州的克雷數學研究所於2000年5月24日在巴黎法蘭西學院公布了七個數學難題，稱為「千禧年數學難題」，並對七個「千禧年數學難題」的每一題懸賞100萬美元．

以下是這七個難題的簡單介紹．

一、龐加萊猜想

龐加萊猜想是由法國著名數學家龐加萊提出的，是唯一已經被證明的「千禧年數學難題」．龐加萊被公認為活躍在20世紀初期的兩位最偉大的數學巨匠之一(另一位是大衛·希爾伯特)，被稱為「最後一位數學全才」，有一位數學史家如此形容他，「有些人彷彿生下來就是為了證明天才的存在似的，無論是純數學還是應用數學，他幾乎在所有的數學分支中都如魚得水，除了推進眾多的數學領域外，他對天體力學和電磁論乃至科學哲學等做出了很大的貢獻．1892～1901年，龐加萊基本上是從無開始創造了一些代數拓撲的基本工具」．

龐加萊在20世紀初發表了一篇很重要的論文—《位置分析》(Analysis Situs)，隨後他又發表了幾篇補充論文，龐加萊猜想就是他1904年在第五篇補充論文里提出的，其原話表述為：「……事實上，我造出了一個流行的例子，其所有的貝蒂數及撓係數均等於1．但它不是單連通的……」最後一句話即是龐加萊猜想．

任何一個封閉的三維空間，只要它裡面所有的封閉曲面都可以收縮成一點，這個空間就一定是一個三維圓球．這是一個代數拓撲學的命題，也可以簡單地表述為，「單連通的三維閉流形同胚於三維球面」．後來，這一命題又被推廣到高維的情況，「任何與n維球面同構的n維閉流形必定同胚於n維球面」．這個拓撲學的重大難題，百餘年來吸引了世界無數數學家競相鑽研．

我們可以這樣來考慮：如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那麼我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點．另一方面，如果我們想像同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上，那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的．我們說，蘋果表面是「單連通的」，而輪胎面不是．在100多年以前，龐加萊就已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題，這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥．

龐加萊猜想的高維推論已於20世紀60年代和80年代分別得以解決，唯獨三維的情形長期沒有得到證明．直到近些年，龐加萊猜想的研究才得到重大突破並最終得到了證明．在漫長的證明過程中，美國數學家理查德·漢密爾頓(Richard Hamilton)和俄羅斯數學家格里戈里·佩雷爾曼(Grigoriy Perelman，1966—)做出了重大的貢獻，中國數學家曹懷東、朱熹平也參與了完善理論證明的過程，並最終完成了「封頂」工作．2006年世界數學家大會確認佩雷爾曼最終證明了龐加萊猜想．

佩雷爾曼被授予2006年的菲爾茲獎，美國克萊數學研究所也決定把100萬美元的獎金頒發給他，不過以上兩個獎項佩雷爾曼都沒有接受．但無論如何，龐加萊猜想是確認被證明了．經過證明的各個階段的發展，一個新的科學理論誕生了．毫無疑問，龐加萊猜想的證明將使人類更好地研究三維空間，對其涉及的物理學、工程學等領域將會有深遠的影響，同時還會影響人們對諸多學科思考的方式．正如親身參與到龐加萊猜想證明工作的中山大學教授朱熹平先生說：「首先，證明猜想是一個數學理論問題，它總是走在日常生活前面．但被證明後，它會讓人們認識到在一個三維空間中，幾何形狀的分類存在著最基本的幾個原件．這正是數百年來，無數科學家力圖完成的東西．然後，諸多學科的思考方式也會因此發生改變，影響人們的生活．」

數學是自然科學的基礎，每一個重大數學問題的解決都意味著相關的科學理論的創立，意味著其涉及的科學領域將發生重大的變革．從證明龐加萊猜想的過程中，我們可以看到在創立科學理論時所體現的思維過程．

二、P(多項式演算法)問題與NP(非多項式演算法)問題

在一個周末的晚上，你應邀參加了一場盛大的晚會．由於感到局促不安，你很想知道這一大廳中是否有你認識的人．主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲．不到一秒鐘，你就能向那裡掃視，並且發現他是正確的．然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人．生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多．這是這種一般現象的一個例子．與此類似的是，如果某人告訴你，數13717421可以寫成兩個較小的數的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的．不管我們編寫的程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一．它是斯蒂文·考克(Stephen Cook)於1971年陳述的，至今P問題與NP問題幾乎沒什麼進展．

三、霍奇猜想

霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題，由霍奇(W. V. D. Hodge，1903—1975)提出．20世紀的數學家們發現了研究複雜對象的形狀的強有力的辦法．基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊黏合在一起來形成．這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展．不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來．在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件．霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合．霍奇猜想進展不大．

四、黎曼假設

有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，如2，3，5，7等，這樣的數稱為素數．它們在純數學及其應用中都起著重要作用．在所有自然數中，這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼觀察到，素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼Zeta函數的性態．著名的黎曼假設斷言，方程=0

的所有意義的解都在一條直線上．這點已經對於開始的1?500?000?000個解驗證過．證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明．黎曼假設目前還沒有看到破解的希望．

五、楊-米爾斯(Yang-Mills)理論存在性和質量缺口

量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的．大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係．基於楊-米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：斯坦福粒子加速中心、歐洲粒子物理研究所．儘管如此，它們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解．特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於「夸克」的不可見性的解釋中應用的「質量缺口」假設，從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實．在這一問題上的進展需要在物理和數學兩方面引進根本上的新觀念．楊-米爾斯理論太難，幾乎沒有人做．

六、納威厄-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性

起伏的波浪跟隨著我們正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行．數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過納威厄-斯托克斯方程的解來對它們進行解釋和預言．雖然這些方程是19世紀寫下的，但我們對它們的理解仍然極少．挑戰在於對數學理論做出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納威厄-斯托克斯方程中的奧秘．納威厄-斯托克斯方程離解決也相差甚遠．

七、貝赫(Birch)和斯溫納頓-戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想

數學家總是對諸如那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷．歐幾里得曾經對這一方程給出完全的解答，但是對於更為複雜的方程，這就變得極為困難．事實上，正如馬蒂雅謝維奇(Y. V. Matiyasevich)指出的，希爾伯特的第10問題是不可解的，即不存在一般的方法來確定這樣的方程是否有一個整數解．當解是一個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯溫納頓-戴爾猜想認為，有理點的群的大小與一個有關的黎曼Zeta函數在點s=1附近的性態．特別是，這個有趣的猜想認為，如果=0，那麼存在無限多個有理點(解)，相反，如果，那麼只存在有限多個這樣的點．

有關學者認為在剩下的六個未解決的「千禧年數學難題」中，和數論有關的貝赫和斯溫納頓-戴爾猜想是最有希望破解的一個，讓我們拭目以待！

本文摘編自胡偉文 徐忠昌主編《數學文化欣賞》（北京：科學出版社，責任編輯吉正霞，2016.11）第八章部分，內容略有刪節。

ISBN：978-7-03-050489-0

數學對於人類文化進步產生了重要的推動作用，對人的思想、精神世界和人文素質有著巨大的影響．高等學校開設了許多數學課程，但仍不可忽視數學文化的教育功能．

《數學文化欣賞》是一本面向普通高等院校非數學專業大學生的文化素質教材，力求闡明數學的思想、方法與文化意義，闡述了數學的發展簡史和其推進人類文化發展的作用，介紹了解析幾何、微積分、概率論與數理統計等大學生必修課程的思想方法及其文化影響，指出了數學與愛情、文學、藝術和教育等方面的聯繫．特別需要指出的是，本書結合軍校人才培養目標的特點，突出了數學與軍事、數學與信息技術廣泛而深刻的聯繫．

（本期責編：王芳）

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