從24點撲克牌遊戲說開去

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作者：蔣迅，王淑紅

節選自《數學都知道》叢書第一冊

「24點撲克牌遊戲」的遊戲規則是：任取除大小王之外的4張撲克牌，看能否在其間添加四則運算符號和括弧得出24。在這個遊戲里，由於限制在4個數和四則運算的範圍內，所以利用電腦程序檢驗運算結果相對簡單。有一位叫中大黑熊的博主編寫了一個僅有300行的Java程序，就不但提供了源程序，而且可以在GUI上顯示。我們來看一個具體的例子（如圖1）：

圖1. 24點撲克牌遊戲 /作者

在這個例子中，我們有 (7-(8/8))*4=24。並不是每個組合都能產生24這個結果。比如A A A A（即1，1，1，1組合）就不能產生出24。另一方面，有些組合可以產生多種解法。比如，2 4 6 Q（即2，4，6，12組合）可以用2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4 × 6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4 × (6 + 2) = 24 等來求解。不管一個組合能否組成24，總共有多少個可能的組合呢？這是一個排列組合問題。我們要求的是有1到13個獨立數字的有重複的組合，可以用下式計算：

（註：用組合數學中的隔板法可以得到此公式，參見今天推送的第二篇文章）

即有1820個組合。可以用枚舉的方法證明，在這1820個組合中，有458個組合無解。當然這是嚴格限制使用加減乘除來運算的條件下。有的人允許乘方開方和指數對數等運算，那麼有解的情況就更多了。總之，大多數情況都是有解的，拿到牌之後我們不應輕易放棄。

我們給一個稍微有點挑戰的題目：5 5 5 A。有聰明的商人把能解的數組做成遊戲卡出賣，很受歡迎。圖1右是我在一個美國初中的數學教室里看到的。

那次去學校是為了觀摩他們的數學圈（Math Circle）活動的。講課的是幾個高中生，聽課的是一群初中生。老師看我有些無聊，就主動邀請我跟他玩一盤遊戲「Blokus」（如圖2）。這是一個有關幾何對稱的四人遊戲，能幫助學生熟悉幾何思維。

圖2. 美國數學老師有很多遊戲 /作者

其實，隨著我們數學知識的增長，大可不必再限制於4個1到13之中的數字和加減乘除四則運算上。事實上，英雄所見略同，早就有人打破常規，把乘方、開方、對數、取整甚至階乘運算擴大到了「24點撲克牌遊戲」。

現在，我們再擴大一點，允許有任意多個數字，而且等號的位置也可以是任意的。下面我們來舉例（如圖3）說明：如果已知3個數489、2、978，

圖3. Numenko遊戲題面 /numenko.com

那麼在489和2之間以及2和978之間，我們需要添加哪種運算符號和等號才能使得它成為一個等式呢？這個問題的答案如下圖（如圖4）所示：

圖4. Numenko遊戲解答 /numenko.com

上面這種擴展的「24點撲克牌遊戲」有一個專門的名字，叫做「Numenko」。

我們再來試想一下，能否也像中大黑熊一樣用Java語言寫一個自動驗證其計算結果的程序呢？不得不說，這個工作要複雜得多，絕不是300行程序所能完成的。那麼怎麼辦呢？不要著急，這時我們可以調用現成的軟體包來達到目的。MuParser就是一個理想的現成的軟體包。

順便再介紹一個類似於Numenko的趣味數學遊戲：「Hexa Trex」（如圖5左）。你的目標就是用上每一個符號並使等式成立。這個例子的解答為21+3=8×3（如圖5右）。

圖5. Hexa Trex遊戲 /作者

如果讀者不甘心用現成的軟體包，有興趣嘗試自己來寫程序驗證計算結果的話，那麼我們建議大家最好用Python語言，因為Python不但免費，而且支持數學表達式的讀取。而Matlab和Mathemaitica等商業軟體雖也有相同的功能，但不是免費的。

在下面的蜂窩狀圖形里（如圖6），你可以有3種移動方法：從一個蜂房到右邊緊挨的蜂房，到右上角緊挨的蜂房，或到一個右下方相鄰的蜂房。請問從A到B有多少條路徑？

（歡迎大家在留言區提交解答！）

圖6. 蜂窩狀圖形/作者

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