恩尼格瑪，從戚繼光到圖靈

在文明衝突史上，從沒有如此眾多的人如此感激如此少數的人。

——（英國）溫斯頓·丘吉爾

1

伯羅奔尼撒戰爭

伯羅奔尼撒戰爭是指以雅典為首的提洛同盟與以斯巴達為首的伯羅奔尼撒聯盟之間的一場戰爭，起因於雅典的霸權野心和斯巴達的堅毅、倔強。這場戰爭從公元前431年一直持續到前404年，周邊的絕大多數城邦都不得不加入其中一方的陣營。起初，雙方互有勝負，一度陷入僵局。

有一回，雅典方面曾在一場海戰中取得重大勝利，本有機會結束戰爭，但由於他們提出的要求過於苛刻，錯失了達成和平協定的時機。戰火繼續燃燒，後來一度蔓延到了遙遠的西西里島。終於，在波斯帝國的支持下，斯巴達人反戈一擊，重創了強大的雅典海軍。

德加畫作《年輕的斯巴達克人的操練》。

公元前405年，伯羅奔尼撒戰爭已接近尾聲。斯巴達軍隊逐漸取得了優勢，準備對雅典發動最後一擊。這時候，原先站在斯巴達一邊的波斯人突然改變態度，停止了對斯巴達的援助，意圖使雅典和斯巴達在持續的戰爭中兩敗俱傷，以便從中漁利。

在這種情況下，斯巴達急需摸清波斯軍隊的具體行動計劃，以便採取新的戰略措施。其時波斯帝國的阿契美尼德王朝已處於衰落期，剛巧此時，斯巴達軍隊捕獲了一名從波斯軍營返回雅典送情報的信使。斯巴達士兵仔細搜查了這名信使，可是除了他身上那條布滿雜亂無章的希臘字母的腰帶以外，別無所獲。

情報究竟藏在什麼地方呢？斯巴達軍隊的統帥萊桑德把注意力集中到那條腰帶上，情報應該就在那堆無序的字母當中。他反覆擺弄那條腰帶，琢磨著這些天書似的文字，把腰帶上的字母用各種方法重新排列組合，可是怎麼也解不出來。最後，萊桑德幾乎失去了信心，卻突然出現了奇蹟。

原來，萊桑德無意中把那條腰帶以螺旋形纏繞在手中的劍鞘上，竟然組成了一段完整的文字。這正是雅典間諜送回的一份情報，它告訴雅典人，波斯軍隊準備在斯巴達軍隊發起最後攻擊時，從背後襲擊斯巴達人。

根據這份情報，斯巴達軍隊適時改變了作戰計劃，他們以迅雷不及掩耳之勢攻擊毫無防備的波斯軍隊，一舉將其擊潰，從而解除了後顧之憂。隨後，斯巴達人揮師征伐雅典，終於取得了這場耗時27年的戰爭的勝利。

雅典間諜身上的那條腰帶，可能是世界上最早的密碼情報。具體運作方法是，通信雙方事先約定密碼解讀規則，然後其中一方將腰帶纏繞在約定長度和粗細的木棍上書寫。另一方接到信以後，必須把腰帶纏繞在同樣長度和粗細的木棍上，才能看清字母有效排列的內容。

這種密碼通信方式後來在希臘廣為流傳，據說近代的加密電報便是受它啟發發明的。伯羅奔尼撒戰爭不僅對希臘文明而且對歷史學本身也有重要意義，修昔底德在《伯羅奔尼撒戰爭史》中予以詳細的記載，他對戰爭原因和背景的分析在史學界起到先驅和表率作用。可惜當他寫到公元前411年冬天時猝然去世，後續半個世紀的歷史由蘇格拉底的弟子色諾芬完成。

2

漢語拼音的前身

密碼是一種用來混淆視聽的技術，它將正常的可以識別的信息轉變成無法識別的信息。當然，對一小部分人來說，這種無法識別的信息是可以經過加工恢復原樣的。嚴格來說，登錄網站、電子郵箱、銀行取款或開啟保險箱時輸入的「密碼」還只是「口令」，而不是真正的密碼，因為它不是原本意義上的「加密代碼」。

中國是世界上最早使用密碼的國家之一。早在東漢末年，我們的祖先就發明了反切注音，即用兩個字為另一個字注音，取上字的聲母和下字的韻母，「切」出另外一個字的讀音，這對於使用象形文字的民族來說無疑是一種創舉，而「反切碼」就是在這種反切音的基礎上出現的。

據說「反切碼」的發明人是明代著名的抗倭將領、軍事家戚繼光（1528-1588），他同時也是一位詩人和書法家。戚繼光專門編了兩首詩歌，作為「密碼本」：一首是「柳邊求氣低，波他爭日時。鶯蒙語出喜，打掌與君知」；另一首是「春花香，秋山開，嘉賓歡歌須金杯，孤燈光輝燒銀缸。之東郊，過西橋，雞聲催初天，奇梅歪遮溝。」

這兩首詩歌包含了反切碼的全部秘密，即取前一首詩前15個字的聲母，依次分別編號1至15；取後一首詩前36字的韻母，依次分別編號1至36。再將字音的8種聲調，也按順序編號為1至8，便形成了完整的「反切碼」系統。

具體方法如下：若收到的情報上密碼有一串是5-25-2，對照聲母歌編號5是「低」，韻母歌編號25是「西」，兩字的聲母和韻母合到一起就是di。而聲調是2，便可切出「敵」字。為此戚繼光專門編寫了一本《八音字義便覽》，作為訓練情報人員、通信兵的教材。

歷史學家范文瀾認為，用反切音來注字音，可能是當時一些儒生受梵文拼音字理的啟示，他同時認為，這也是音韻學的開始。在此之前，用的是直音，即用同音字來注音，那樣對許多字並不容易。值得一提的是，音韻學是訓詁學的得力工具，後者是研究古代文字意義的學問，因為訓釋詞義往往需要通過語音來理解和說明。

語言學家周有光（50年代與吳玉章在我國制訂實施漢語拼音方案時起了重要作用）稱反切音是一種「心中切削焊接法」。可是，反切也有局限性。例如，反切上下字可用的字過多，使用的人難掌握；字又常常含有多餘成分，在拼合時有一定障礙；有些窄韻需借用其他韻的字作反切下字，造成切音不準確。

到了明朝末年，一批有學識的西方傳教士來中國傳教，為了學習漢字，他們開始用拉丁字母來拼寫漢語。1605年，義大利傳教士利瑪竇在北京出版了《西字奇蹟》，其中有4篇漢字文章加了拉丁字母的注音。這是最早用拉丁字母給漢字注音的出版物，據說唯有梵蒂岡圖書館尚有此書藏本。

1626年，法國傳教士金尼閣在杭州出版了《西儒耳目資》，這是第一本用拉丁字母給漢字注音的字彙表。注音所用方案是在利瑪竇方案的基礎上修改的，可以說這是中國最早的漢語拼音方案。金尼閣的故鄉如今歸法國，但他生前自認是比利時人，當時是在西班牙統治下，屬於著名的歷史地理區佛蘭德斯。

歐洲傳教士之墓，金尼閣也在其中。圖片來源：作者攝於杭州

三年後，金尼閣在杭州逝世，葬於西湖區留下街道東嶽村大方井。值得一提的是，與金尼閣同齡的佛蘭德斯畫家魯本斯（他的出生地位於今日德國的北萊茵-威斯特法倫州）為他畫過一幅身著道袍的肖像，現藏於紐約大都會藝術博物館。那應是金尼閣回歐洲探親時所作，魯本斯有一句話似乎是說給這位老鄉聽的：我把世界的每一處地方都看成是自己的故鄉。

魯本斯畫作《穿道袍的金尼閣》。

3

運籌學和恩尼格瑪

在現代戰爭中，密碼學的作用更加明顯。1940年5月，德軍以閃電戰擊潰英法聯軍，英國軍隊從英吉利海峽的法國港口敦刻爾克狼狽逃離，史稱「敦刻爾克大撤退」。當時，英國陸軍已經戰敗，大量重型裝備丟棄，空軍無論從數量、質量和飛行技術方面均大大落後於德軍。

德國空軍司令格林甚至認為，只要派飛機越過海峽狂轟濫炸，就能夠使英國屈服。於是，從那年7月至10月，倫敦等城市幾乎天天拉響空襲警報，美國電影《魂斷藍橋》講述的就是那段經歷。沒料到的是，空戰結果，德軍損失了1733架飛機，而英軍只損失915架，希特勒不得不放棄征服英國的計劃。

究竟是什麼原因，決定了那場戰爭的勝負呢？一般認為，勝利的一方是因為士兵的勇敢無畏、統帥的英明果斷、武器的精良、國力的雄厚或人心所向，等等。但是，「一戰」時期的飛行員、「二戰」時期的情報局官員、曾獲大英帝國勳章和美國功勛勳章的英國人溫特博瑟姆卻把「二戰」盟軍的勝利歸因於「科學的拯救」。

首先，應用數學的重要分支——運籌學便是誕生於「二戰」戰場上。那時英國人剛剛發明雷達，在性能指標上遜色於德國人。英軍成立了以數學家為骨幹的運籌學小組，研究了雷達的最佳配置和高射炮的射擊範圍，結果從每200發擊落一架敵機改進到每20發擊落一架。之後，美國、加拿大相繼成立了運籌學小組，到「二戰」結束時共有700多名研究人員。

其次，也是更重要的，便是密碼戰線的鬥爭。1918年，德國電氣工程師謝爾比烏斯為自己發明的謎語機（Enigma，音譯為恩尼格碼）申請了專利。這是世界上第一台電氣裝置的密碼機，其形狀如同一台印表機，擁有26個字母的鍵盤，但卻沒有標點符號。

德國人的謎語機。

此外，還有由同樣26個字母組成的字母板和正反轉輪。每個字母板下面都有插口，可以用一根電線把任何兩個插口相連，比如A插口和Z插口，字母A經過轉輪作用便輸出字母Z。對方收到後，又通過反轉輪變回字母A。

一般來說，每次要連接6對字母的插口。不難計算，從26個字母中選取6對的方法有

種。

再考慮轉輪的排列和位置的不同選擇，那更是天文數字，任何人工和統計方法無能為力。在希特勒親自了解並觀看了謎語機的演示之後，深信它是不可破解的，因此下令在軍隊全面安裝，但他卻低估了數學的威力和數學家的智慧。

4

雷耶夫斯基與圖靈

在「二戰」以前，破譯密碼似乎不需要數學知識，許多國家都請語言分析專家、縱橫字謎高手或國際象棋冠軍來幫忙，很少會想到數學家。例外首先來自波蘭，這個國家因為左右鄰國德俄的存在和威脅，警惕性一直比較高。而且，「一戰」結束不久，著名數學家謝爾賓斯基（以他名字命名的三角形是分形理論中的重要例子）曾幫助波蘭密碼局破譯過蘇俄的密碼。

1928年，波軍發現德軍開始使用一種全新的密碼，他們根本無法破譯，於是開始焦慮起來。翌年年初，波蘭西部波茲南大學數學系的一群大學生和研究生被要求宣誓保密以後，開始學習密碼學課程。波茲南鄰接德國，因此當地人都會講德語。

學生們每周兩晚學習密碼學，幾個星期以後有的便能破解各種舊式密碼，破解能力差的則被逐步淘汰。最後，只剩下三位最優秀的，那便是雷耶夫斯基、齊加爾斯基和魯日茨基，正是他們三位破解了德軍的謎語機，其中雷耶夫斯基居功至偉。

雷耶夫斯基，波蘭數學家和密碼學家，曾領導波蘭密碼學家率先破譯德國的Enigma密碼。

雷耶夫斯基原先在波茲南大學念碩士，畢業以後去德國哥廷根大學進修了一年，回到母校做起了老師。1932年，他和兩位同道加入了保密局，第二年初便取得了突破。雷耶夫斯基的解密法利用了19世紀法國數學家伽羅華髮明的置換群原理和特徵值理論，同時他還證明了一條後來被稱為「可以打贏世界大戰」的置換群定理。

可是，波蘭人雖然破譯了早期的「謎語機」，但他們尚不能應對後來德國人採取的一系列改進措施，更由於國力的差距，最終無法逃脫亡國的命運。幸好，他們及時把關鍵技術和設備傳交給了英法兩國。然而，波蘭淪陷不到一年，法國就被德國的閃電戰擊敗。於是，繼續破解「謎語機」以爭取反法西斯戰爭勝利的重任，就落到了隔海相望的英國人肩上。

比雷耶夫斯基年輕7歲的圖靈出生在倫敦，雙親曾在英國的殖民地——印度馬德拉斯工作。1935年，他以優異成績畢業於劍橋大學國王學院，留校成為一名教師，翌年提出了「通用計算機」的概念，後來被稱作「圖靈機」而沿用至今。同年他在美國普林斯頓大學取得數學博士學位，謝絕了做匈牙利人馮·諾伊曼助手的邀請，回到祖國，進入了倫敦的「密碼學校」。

圖靈，英國數學家、邏輯學家，被稱為計算機科學之父，人工智慧之父。

雷耶夫斯基發現「謎語機」的一個缺陷，就是字母A加密成Q之後，Q必然被加密成A，因此證明了置換群定理。圖靈則發現了「謎語機」的另一個缺陷，就是字母A無法加密成A本身，他利用德國人行文的刻板和密碼機操作的漏洞（兩段分開發送的文字之間的連接語的重複），大大簡化了破譯工作。

因為這個發現，1940年3月，英軍製造出了第一台破譯「謎語機」的電氣機械裝置「炸彈機」。第二年，這種機器增加到14台；1945年，更是達到了211台，操作人員近2000名。據後來解密的文件，「炸彈機」破譯了德軍90%以上的「謎語機」情報，為贏得戰爭勝利作出了極其重要的貢獻。

舉一個例子，駐紮北非的隆美爾是希特勒手下最傑出的將領，足智多謀、英勇善戰，被譽為「沙漠之狐」。然而，「炸彈機」問世之後，盟軍每每破譯他與總部的電報往來，總是能摧毀他的補給和運輸部隊。知道隆美爾彈盡油絕的處境後，英軍統帥蒙哥馬利發動「阿拉曼戰役」，一舉將其擊敗。

隨後，在大西洋海戰和諾曼底登陸，甚至美日間的中途島海戰（摧毀日軍四艘航母）中，「炸彈機」也發揮了重要作用。1943年4月17日，美國海軍截獲日軍密電，日本聯合艦隊司令、海軍上將山本五十六將前往前線視察，此人曾精心策劃珍珠港偷襲。翌日上午，美軍飛機在索羅門群島攔截並擊落了有六架戰機護航的山本座機。這些成果，為世界反法西斯戰爭的最後勝利，奠定了堅實的基礎。

在空戰取得勝利之後，英國首相丘吉爾曾在下議院發表演講，讚歎「在文明衝突史上，從沒有如此眾多的人如此感激如此少數的人。」此話既是對空軍飛行員的表揚，也是對破譯密碼的情報人員的褒獎。當然，數學方法除了可以用來破譯以外，還可以設置密碼。1977年，麻省理工學院的三位年輕人利用歐拉定理和秦九韶的大衍求一術，提出了著名的RSA公開密鑰體系。從那以後，數學便真的與密碼學難解難分了。

作者簡介：蔡天新，浙江大學數學學院教授，詩人、作家，近作有隨筆集《數學傳奇》，詩集《美好的午餐》，遊記《里約的誘惑》，隨筆集《輕輕掐了她幾下》，攝影集《從看見到發現》。本文取自他即將出版的新書《給孩子的數學故事》（北島主編，中信出版社）。

排版：曉嵐

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本文來自果殼網

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