3D和2D，哪個更厲害？

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來源：《超有趣的讓人睡不著的數學》

為什麼 3D 那麼有人氣？

現在已經進入到了不管是電視、電影還是遊戲都是 3D（3-Dimensions，三維）的時代。

可是為什麼我們都已經不說立體，而是以「3D」作為宣傳標語了呢？

說成是「3D」，是不是因為能夠更明確地表現出具有比以前更高的性能的含義呢？確實，比起「從平面到立體」這樣的語言描述，使用「從2到3」的數字給人一種能更加準確地傳達意思的印象。

此外，使用「D」也就是「維度」這個詞看上去也頗具效果。「維度」這個詞多用以進行區別和敘述等級差異。

「我和你的維度不同！」

我們在日常的會話中，會用到像「維度不同」這種風格的話吧。貶低說話對象時有時會說對方「維度低」，相反，當對象太優秀超過自己（或者說超過世人的平均水平）的時候，我們會說對方「維度高」。

那麼，此處的「維度」這個詞究竟有著什麼樣的意義呢？

數學中的維度

在數學當中，表示空間的擴張狀況的概念便是維度。

零維空間是點，一維空間是直線，二維空間是平面，三維空間表示的則是空間。通常我們的認知僅止步於三維，使用坐標來觀察維度的表現也絕非難事。

正如（1，2）為二維、（1，2，3）為三維、（1，2，3，4）為四維、（1，2，3，4，5）為五維一樣，只是用每組數字中的個數來表示維度。

這就意味著，n 個數字的組合（1，2，3，…，n）可看作 n 維坐標。

但顯而易見的是，從本來的圖形也就是幾何的高維世界看到的維度的差異，並不是那麼簡單的事。

圍繞著龐加萊猜想數學家譜寫的續曲

那是證明「龐加萊猜想」的故事。

1904年，由法國數學家亨利·龐加萊（1854-1912）提出的問題，經過了不到100年的時間，由俄羅斯的格里戈里·佩雷爾曼（1966-）於2006年準確無誤地進行了證明。

「龐加萊猜想」正如下面有關三維的理解。

「龐加萊猜想」

任何一個單連通的封閉三維流形一定同胚於一個三維的球面。

將這個猜想應用到四維以上，便得到了接下來的猜想。

「高維龐加萊猜想」

任何與 n 維球面同倫的 n 維封閉流形必定同胚於 n 維球面。

那麼，通向證明的道路在此。首先是五維以上的「高維龐加萊猜想」，它是由美國的斯蒂文·斯梅爾（1930-）在1960年提出證明，之後又在1981年證明了四維的猜想。

就在這時，發生了一件大事。

英國的西蒙·唐納森（1957-）試圖證明四維空間是一個特別的空間。

他發現了即使是乍一看差別不大的同類型四維空間，在變換視角之後也存著完全不同的四維空間。

之後，佩雷爾曼終於證明了本來的三維龐加萊猜想。五維以上意外的簡單，四維的有點難，三維則是最難的，這一點是非常有趣的。

證明了龐加萊猜想的格里戈里·佩雷爾曼

低維的難度更高？

雖然總覺得高維更加難解，但這個問題是不能一概而論的。低維（四維或三維）更加困難，需要高難度的證明方法。

為「龐加萊猜想」的證明作出了貢獻的斯梅爾、唐納森、佩雷爾曼被授予了稱得上是數學界的「諾貝爾獎」的菲爾茨獎，但是唯有嘗試了突破最難關的佩雷爾曼，回絕了菲爾茨獎的頒獎。

他被認為是一個不悄於世俗的人，就連美國克萊數學研究所提供的100萬美元的獎金都拒絕接受。他現在在俄羅斯與母親一起過著平凡的生活。

「超弦理論」與維度

另外，即使是在物理學的世界也會發生相似的事情。人們鑽研基本粒子物理學這門學問的最大夢想，便是將所有的基本粒子統一起來。

作為實現該夢想的最有力補充，「超弦理論」所表示的時空的維度分別是三十二維、十六維、十二維、十一維、十維。

正如大家所知道的，宇宙是由四維構成的，即「縱」「橫」「高」還有「時間」4項。

雖說"超弦理論"能對應高維，但對於「為何整個宇宙是四維構造」並沒有得到說明。

因此在數學、物理之中，比起高維來，低維的解析更加困難。

也就是說，具有較高的維度並不一定就意味著它就是高級的。

這樣想來的話，最近流行的「維度上升」這個詞，總給人一種變聰明的感覺。

正如「龐加來猜想」和「超弦理論」所揭示的，維度升高並不是什麼值得誇耀的事，反倒是我們所生存的四維空間才是最神秘的。

即使如此，「為了維度上升」這個理念在推進著數學的發展。在數學的世界裡，人們一直對「無限維度向量希爾伯特空間」等各種各樣「『無限』維度」進行著研究。

「維度」是表示空間範圍大小的指標。

乍一看的話 2D 不如 3D，更高維度雖然給人一種高級而又具有高度的感覺，但令人震驚的是低維度更加難解且充滿著謎題。

所以，當我們要貶低對方時用「維度『高』」，誇讚對方時用「維度『低』」，也許這種從數學角度來看正確的用法更加合適呢。

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