用「善良」來形容「偉人」的很少，但用到他身上卻非常貼切

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來源：賽先生，本文原載於《數學文化》第7卷第4期。

撰文：陳關榮（香港城市大學電子工程系講座教授、歐洲科學院院士和發展中國家科學院院士）

通常，用「善良」來形容「偉人」的很少，但是用到歐拉身上卻非常貼切。

歐拉恆等式

萊昂哈德?歐拉（Leonhard Euler，1707-1783）出生於瑞士的巴塞爾。像許多天才少年一樣，他13歲那年入讀巴塞爾大學。他有幸得到了大科學家約翰?伯努利的賞識和指導，17歲獲碩士學位，19歲獲博士學位。幾年以後，恩師伯努利對已是如日中天的青年數學家歐拉說：「我介紹高等分析的時候，它還是個孩子，而現在你正在將它帶大成人。」不過那是後話。

當時剛出道的歐拉並非一帆風順，他申請留校當物理學教師沒有成功。幸好，伯努利的兩個科學家兒子，丹尼爾和尼古拉，那時都在俄國聖彼得堡的皇家科學院工作。經他們推薦，受女皇葉卡捷林娜一世的邀請，20歲的歐拉來到了聖彼得堡，供職俄國科學院。歐拉在那裡工作到34歲，然後離開了政治動亂的俄國，加盟德國柏林科學院，在那裡工作了25年。歐拉59歲時接受葉卡捷林娜二世的邀請，重返俄國，在聖彼得堡國立大學工作，直至76歲辭世。

印有歐拉肖像的瑞士紙幣

歐拉的一生不無坎坷。他生育過13個孩子，但其中8個在襁褓中夭折。歐拉69歲時妻子去世，他次年再婚。還有不幸的是，他28歲時右眼失明，不到60歲時左眼視力嚴重衰退而後導致失明，致使他生命中最後的12年在完全黑暗中度過。

晚年的歐拉憑著記憶和心算進行數學研究，這期間依然留下了400多篇論文，其工作的艱苦和努力程度可想而知。歐拉去世後，聖彼得堡科學院為了整理他留下的手稿足足忙碌了近半個世紀。據說，直至歐拉去世後的第80個年頭，聖彼得堡科學院院報還在發表後人幫他整理出來的論著。

今天，不少國家圖書館裡保存著《歐拉全集》，共75卷，包括850多篇論文及30多本論著和書稿，其中380篇論文及兩部名著《無窮小分析引論》和《微積分概論》是他在德國柏林科學院工作的25年間完成。有人統計過，歐拉的論著中，數論、代數、分析約佔40%，幾何18%，物理和力學28%，天文學11%，餘下的3%則涉及航海學和建築學等。

歐拉在18歲時發表第一篇論文。由此容易推算，他其後的學術生涯中平均每個月完成不止一篇論文或書籍。數學史上，到目前為止唯一從數量上超過了歐拉的，是傳奇式的數學家保羅?埃爾德什（Paul Erdo?s，1913-1996）。他一生髮表過1600多篇論文。也就是說，20歲以後的63年間，他平均每個月發表超過兩篇論文。傳統的數學家以高質量為標準，而這兩位數學大師則是質量與數量都無與倫比。重要的是，每一篇文章都出自其手，沒有記錄說他們只簡單地往別人的文章上加上自己的名字。事實上，那個時代的學術界沒有這種風氣。

歐拉與阿基米德、牛頓和高斯被列為歷史上最偉大的四位數學家。在數學力學中有一大堆以歐拉命名的公式和定理。除了初等平面幾何中熟知的歐拉九點共圓定理和多面體歐拉公式之外，讓中學生沉迷不舍的「數獨」也起源於歐拉的拉丁方。在高等數學中則有好幾個歐拉公式和歐拉定理。歐拉創立了拓撲學，其中著名的有歐拉示性數；在數學分析中有歐拉常數、歐拉變換、歐拉-傅里葉公式、歐拉-麥克勞林公式；微分方程理論中有歐拉多角曲線、歐拉齊性函數；在數論中有歐拉函數、歐拉乘積、費馬-歐拉定理。今天計算機領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼演算法，正是以歐拉函數為基礎。

此外，歐拉在數論研究中曾經「重新發現」了中國剩餘定理。這個演算法也叫孫子定理，出自南北朝時期（公元420-589年間）的《孫子算經》。就像火藥等諸多發明那樣，中國人其實並沒有輸在起跑線上。只是一千多年後，才由歐拉用現代數學的邏輯語言嚴格地證明了這個古老的中國數學命題。在力學和變分學中，還有歐拉-拉格朗日方程，及剛體運動中的歐拉角、流體力學中的歐拉方程、彈性力學中的伯努利-歐拉定律，等等。

如果說人們在經典數學力學領域裡談論歐拉已經兩百多年了，那麼在近十多年來興起的「複雜網路」研究領地里，人們又重新開始關注歐拉，並重新學習埃爾德什。歐拉解決了有趣的哥尼斯堡（Ko?nigsberg）七橋問題，從而創建了圖論，其中有歐拉圖（哥尼斯堡七橋卻屬於半歐拉圖）。在數學史上，十八世紀被稱為「歐拉時代」。上個世紀五十年代末，埃爾德什發展了隨機圖論，一直領銜現代數學圖論研究至今，並為複雜網路科學研究提供了許多思想和工具。

歐拉和埃爾德什這兩位數學大師在性格方面有許多共同點。他們毫無興趣於權益往來和飯局社交，卻非常喜歡天真活潑的小孩子，雖然歐拉曾經有過多個孩子而埃爾德什終生未娶。歐拉常常把小孩放在膝蓋上做自己的數學研究，而埃爾德什則常常和別人的小孩逗樂，甜甜地稱他們「epsilon」（小不點）。

埃爾德什和「小不點」（陶哲軒，10歲）

歐拉高風亮節。他一生中與歐洲三百多名學者時有通信。許多回憶說，歐拉在信中總是毫無保留地把自己的數學發現甚至證明細節告訴對方，畢生以助人為樂。一個典型的故事說，1755年8月12日，19歲的大學生拉格朗日給在柏林科學院的歐拉教授寫了一封信，說自己解決了半個世紀來沒人能解決的等周問題，其中勾畫了用分析方法求變分極值的嶄新思想。歐拉在9月6日便回了信，稱讚拉格朗日的研究成果很有價值，並鼓勵他繼續完成整個工作。這使年輕的拉格朗日在學術界名聲鵲起。後來，歐拉又把23歲的拉格朗日推薦到柏林科學院。接著，歐拉還與法國數學家達朗貝爾聯名，向德國國王推薦拉格朗日成為了一位「宮廷數學家」。可以說，沒有歐拉就沒有拉格朗日。故事的背後，說其實歐拉多年來早已潛心探討這個等周問題並已有答案，然而見到拉格朗日的解法新穎，便丟棄了自己的手稿，滿心歡喜地推薦了拉格朗日。結局則是，由於拉格朗日的這篇文章，數學出現了一個新的分支——變分學。那個時代學術界的人都知道歐拉是一位好心人，有求必應，絕對不會嫉妒、更不會佔有他人的工作。事實上，只有像歐拉和埃爾德什這些名副其實的「科學家」，把一生奉獻給科學與教育事業，才會令世人敬仰。

當時在歐洲的所有數學家都把歐拉看作自己的老師。拉普拉斯說，「他是我們大家的老師」。這並不言過其實。歐拉的確是一位熱心的教育家，也是一個教學名師。歐拉和那些不願意給本科生上課的教授們不同，他不僅親自為青少年編纂數學課本，撰寫通俗科普讀物，還經常抽空到大學和中學去講課。1770年，雙目幾乎完全失明的歐拉仍然給青年學生們編寫了一本《關於代數學的全面指南》。他曾經說過：「一個科學家如果只是做出了給科學寶庫增添財富的發現，而不能闡明那些引導他做出這些發現的思想，那麼他就沒有給科學做出足夠的貢獻。」

印有歐拉肖像的蘇聯郵票

歐拉還具有淵博的文學知識和哲學修養。他在德國柏林科學院工作時期，1760到1762年間曾經為夏洛特公主函授哲學、物理學、宇宙學、神學甚至音樂。後來，歐拉給公主的那些信件被整理成《致一位德國公主的信》一書，於1768年分三卷出版。其後，多種語言的譯本流傳各地，成為了童話式的故事。這使人想起了魏爾斯特拉斯的一句話：「一個沒有幾分詩人氣質的數學家永遠成不了一個完全的數學家」。

歐拉去世後被安葬在聖彼得堡的亞歷山大?涅夫斯基修道院墓園。在歐拉的家鄉瑞士巴塞爾的里恩，他的故居外牆壁一塊小小牌匾上銘刻著一句簡單的評語：Er war ein grosser Gelehrter und ein gu?tiger Mensch（他是一位偉大的學者，也是一個善良的人）。

後記

2011年6月4日，筆者在聖彼得堡接受了聖彼得堡國立大學授予榮譽博士學位和俄羅斯歐拉基金會頒發2011年度歐拉金質獎章。敬仰於歐拉之偉大而且善良，日後聚思成文，樂與讀者分享。

註：筆者是歐拉的第十代博士學生：Euler–Lagrange-Fourier-Dirichlet-Kronecker-Lerch-Plancherel-Edrei-Hellerstein-Chui-Chen

作者簡介：

陳關榮，香港城市大學電子工程系講座教授，歐洲科學院院士和發展中國家科學院院士。

註：本文原標題為《歐拉：善良的偉人》。

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