數學之戀

置頂哲學園 好文不錯過

原文標題 A Passion for Mathematics，譯自Mathematics-A Beautiful Elsewhere,Ed. Fondation Cartier pour l art contemporain, Paris (2011), 90-97. 感謝作者授權翻譯本文並在本刊發表。

一個著名的匈牙利數論專家曾給出如下的定義：

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數學家就是將咖啡轉化為定理的機器1。

然而在我們波恩的研究所里並不缺乏數學家和定理，好的咖啡倒是很難得，因此我有時禁不住設想，我們數學家是不是可以做相反的事情。這就是說，存在著那些忍不住將咖啡轉化為定理的人，而對另一些人，僅僅是思考數學就是純粹的折磨！我稍後將來談到後一點。然而，首先我要來看看其它問題：數學是什麼？當今數學又是什麼樣子，我們做數學能得到什麼？數學何以是優美的？我們如何將數學的樂趣傳遞給其他人，包括非數學家。

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數學是何種類型的活動？

問數學是什麼這個問題看起來也許是幼稚的，但這其實是一個很難回答的問題，而且哲學家已經為此艱難思索了好幾個世紀。康德在他的《純粹理性批判》的開頭甚至問，怎麼可能有純數學？其他科學可以用它研究的對象來定義：天體、生物、人際關係，如此等等。對數學而言，情況並非如此簡單。首先，數學並不總是研究相同的對象。數、代數公式、解析函數、幾何結構當然是它研究的一些東西，但還有許多其它東西也在考察範圍內；而且嚴格說來，數學思想其實是對結構的一般性研究，而不是對預先指定的對象的個別研究。然而，問題甚至更為複雜：很難說清楚我們所研究的對象究竟位於何處。這些對象是內在的還是外在的，主觀的還是客觀的，僅僅出現在我們的腦海中還是存在於現實世界的某個地方？換言之，數學家的工作究竟是創造數學還是發現數學？

在支持「發現」的這一方面，我們首先有這樣的事實：數學結果可以被「客觀地」驗證：數學家對一個定理的證明，只要沒有錯誤，就可以使得其他所有數學家都信服。支持客觀性的另一個論證是，不同的數學家研究同一個數學問題時，不論他們的性格與個人品味如何迥異，他們總會得到相同的答案。最後，對整體文明我們也可以說同樣的話，因為不同的文明通常各自獨立地發展出相同的數學。二次方程的求根公式、「畢達哥拉斯定理」（當然並非所有的地方都這麼稱呼）、開立方根的算術都曾被許多不同的古代文明發現過。

然而，同樣你也可以為「創造」的觀點來論證。首先，有一個純主觀的論證：數學家通常感覺到他們創造了一些屬於他們的東西。其次，不同的數學家由其個人品味與經驗研究那些如此不同的問題，從而得到如此不同的成果，以至於在許多情形，數學家可以根據其數學定理來識別。同樣的，不同的文明有時會採取完全不同的數學路線，最終產生其獨有的特殊類型的數學。例如，希臘人創造並強調了證明的觀念，而經常做出相同發現的中國人往往將他們的結果表述為演算法或計算口訣的形式。作為另一個例子，我們可以提及埃及人，像其他古代文明一樣，他們發展起有理數（分數）的計算——這可以應用於經濟、測量、天文等領域，但是以一種非常奇特的方式：不是將分數寫成分子與分母的商，他們只允許使用單位分數1/n並將所有分數都表示為這種單位分數之和；更有甚者，他們只允許出現不同的分母，例如他們將2/5寫作1/3 + 1/15 而不是1/5+ 1/5。

那麼，數學活動究竟是發現還是創造呢？對大多數數學家而言，二者兼而有之。在任何時刻，對每一個問題，從公理和已經的結果出發，存在著大量可能的推導，恰如在圍棋遊戲中的每一局面可以引出許多種可能的走法一樣。在某種意義下，所有這些推導「已經在那裡」，但你需要不斷地作出選擇，正是這些不同的選擇體現了數學家個人的能力、品味和性格。法國數學家古斯塔夫? 肖蓋(Gustave Choquet) 對此有一個漂亮的說法：數學家所尋求的定理自遠古以來就存在了，但為了發現它，你必須要創造出一條路徑。

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數學：是藝術還是科學？

一個同樣古老的相關問題是，數學究竟屬於藝術還是科學？同樣的，兩種觀點都可以得到辯護。在支持「藝術」這方面，也許我們首先可以提到的事實是，數學經常出現在藝術（在藝術這個詞的通常意義下） 中。在建築方面， 我們只需要想一想金字塔、帕台農神殿與克里斯多佛? 雷恩（Christopher Wren）、勒? 柯布西耶（Le Corbusier）等建築師設計的作品。在音樂方面，我們可以想到巴赫（Bach）、莫扎特（Mozart） 和阿諾德? 勛伯格（Arnold Schoenberg） 的作品；在繪畫方面，我們想到阿波切特? 丟勒（Albrecht Dürer）或列昂納多? 達? 芬奇（Leonardo da Vinci） 的作品。然而，數學也有其固有的優美：我們也許可以想到五種正多面體（圖1）——這是自柏拉圖（Plato）以來就知道的；或者更近一點的有美麗的分形圖（圖2），想必許多讀者都曾見過的。

圖1 被稱為柏拉圖固體的正五面體

圖2 美麗的分形圖

然而，當我們談到數學的「藝術」方面時，我們很少想到數學與其它藝術之間的關係，不論這是何等的有趣，我們所想到的是，數學本身就是一門藝術。數學這門藝術中涉及的美學標準並不一定是視覺上的漂亮——雖然在柏拉圖立方體和分形的例子中是如此，而是要抽象得多：精鍊、簡單、清晰的思想以及絕對具有說服力的論證。對非數學家而言，這些標準看來也許更像是智力上的而非美學上的，但在數學領域內工作很長一段時間的人無一不會培養起這種感覺。幾乎所有的數學家都使用諸如「漂亮「和「優美」這樣的詞，而且事實上他們更頻繁地用到這些詞，而不是聽起來更為科學的「正確」或「可信」。而且，更為有趣的是，對數學之美的這種感覺看來通常是引導數學家走出數學迷宮的最佳指南。藝術家根據美學標準可以作出他或她的選擇（我應該寫什麼，我應該畫什麼，我應該譜什麼曲子）。而科學家幾乎從未有這種奢望，因為我們不能奢望大自然總是作出取悅於人類的選擇，科學家必須忠於現實。數學介於兩者之間：在做數學時堅持美學標準絕非必要，某個問題的正確解未必總是最漂亮的，但結果顯示，在絕大多數情形，正確的數學路徑正是從美學的觀點來看最完美的那一條。當你想做出好的數學時，沒有比找出最優美的解更好的一般策略了。

因此，數學很容易被視為一門藝術。然而，也有很令人信服的論證支撐另一個觀點，即數學是一門科學。事實上，數學所具有的某種客觀性很少為其它科學達到：數學的結果是有絕對保證的，因為它被證明過，而它的發現一經作出就永遠不會過時——當然，後來的發展也許會引進一些新的面貌，但絕不會改變其真理。我們甚至可以說，從某種角度看，數學比其它科學更為「科學」，因為它對世界的偶然性的依賴更小。社會學和心理學依賴於當前存在的人類社會，生物學依賴於曾在地球上進化過的生物，甚至化學和物理學也依賴於我們所在的宇宙部分的自然定律；而數學，從某種角度來看，是絕對的。

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當今數學

這裡我只談三個方面：當前的數學研究、數學的應用、計算機的影響。大多數人也許不知道，數學家仍然開展著許多研究，甚至會驚訝地發現，原來數學中還有許多歷經了多年仍未可知的東西。事實上，每年我們都會得到成千上萬個新定理，同時我們也繼續解決著懸疑了幾十年甚至上百年的老問題。近期的一個著名的例子是費馬大定理的證明，它在1637 年提出，直到1995 年才被安德魯? 懷爾斯（Andrew Wiles）證明。這樣的例子還有許多2。在一百多年的研究之後，終於在1976 年找到了所謂的四色定理的一個證明，該定理斷言，一個不論何等複雜的地圖，只需要四種顏色，就可以染色使得相鄰的區域有不同的顏色（圖3）。開普勒猜想——斷言裝球的最緊方式是按金字塔的方式，就像市場上堆放橙子那樣——在幾年前也得到了證實。最近，三位印度數學家提出了檢驗一個大數是素數還是合數的第一個快速方法。然而，數學家不僅解決古老的問題，同時也不斷地發現新的（例如在代數幾何與數論之間的，拓撲與數學物理之間的）聯繫、甚至是全新的數學領域，例如分形理論、混沌理論、複雜度理論。

圖3 四種顏色塗成的中國地圖

關於數學的應用，最驚人的方面在於，它很少是計劃的產物，而是在那些與應用也許並沒有明顯關係的領域意外地出現。已經一次又一次地表明，恰恰是最純的數學——那些因為其優美而研究出的數學、表明了如此完美的內在和諧並因此而愉悅了其發現者的數學——提供了科學或技術中一個重要問題的關鍵。因此，如果非歐幾何和抽象矩陣演算沒有被那些並不知道其潛在應用的數學家在更早的時候發展起來，也許就不會有20 世紀的兩個最偉大物理學發現——相對論和量子力學。在我們日常生活使用的技術中也充滿了這樣的例子：倘若沒有數學邏輯和布爾代數中非常抽象的發展，計算機是難以預想的；素數理論為對電子銀行至關重要的密碼學提供了新方法，拉東變換的極其成熟的幾何理論為X 線斷層攝影術提供了基礎，這一技術對於醫療診斷是不可或缺的；而所謂的「模糊數學」可以讓洗衣機變得沒有噪音，也可以使坐在高速列車上的乘客在列車拐彎時喝咖啡不會溢出。

最後，我將簡單地談談計算機對當今數學的影響。這個影響比我們通常所認為的要小，計算機對數學家的取代程度，要小於打字機對作家的取代程度。計算機只是工具。雖然如此，計算機無疑極其有用。首先最明顯的一點是：計算機可以完成冗長的數值或代數計算，而這些計算也許是人所無法完成或根本不願意完成的；而且計算機對於模擬複雜系統來說是不可或缺的。但是，計算機的用處遠不止於這一點。第一，為了發現或檢驗數學命題需要進行實驗，計算機使之成為可能。當然，過去的數學家例如歐拉、高斯或黎曼為了發現新結果做了許多數值實驗3，而計算機的無可匹敵的高速度大大增強了應用這種研究方法的可能性。當今數學中的許多深刻的猜想就是通過這種方法被提出的。更有甚者：計算機不僅使得實施冗長的計算成為可能，而且也可以給出複雜的證明。一個著名的例子是上面提到的四色定理的證明：它是基於一種複雜的策略，包括兩千多個情形的分類討論，因此可以通過給計算機編程用一種純機械的方式檢驗解決。最後，從某方面講，計算機的存在改變了我們的數學思維方式，即，計算機對演算法和有效性的概念賦予了比以往更大的重要性。

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數學的樂趣

作為結束，我想簡短地談談數學何以帶給我們如此多的樂趣。頭腦中立即出現的一個回答——毫無疑問有其正確的成分——是，解決困難的問題非常有趣。除此之外，還有之前提到的審美感覺，即在閱讀別人的工作或自己作出的發現中所見識到的結果和論證之漂亮與優美，所激發起的快樂。然而，在我看來，給我們數學信徒最大滿足的是，能夠不藉助任何外在手段來證明「一小塊真理」、能夠洞窺到自然的一點神秘的特殊感覺。作為一個簡單的例子，我們回顧一下很久以前歐幾里得所表述的關於存在無窮多個素數的證明：

假定只存在有限多個素數，例如2, 3, 5 一直到31。將所有這些素數2, 3, 5, …, 31全部乘起來，並給乘積加上1。該運算得到的結果將不被2, 3, 5, …, 31 中的任何一個數整除，事實上，餘數必定是1。然而，就像任何其他數一樣，該數必定要麼是素數，要麼被一個更小的素數整除，這就與我們先前的假定矛盾，因為它不在我們所列的那有限多個素數里。

在如此簡短的闡述之後，不論你是否能夠理解這個論證的所有細節，我確信你必定看到我們取得了一些絕非平凡的成就：我們從一個問題出發（素數究竟只有有限多個還是有無限多個？），這個問題對作為人類的我們來說其實本來是無法回答的問題，因為我們只能研究很少的有限的一部分素數，然而，在很少的幾句雖然有些微妙的話語里，我們找到了答案並以無可辯駁的方式證明了它。「來自內部」同時又描述了外部世界的一些東西的數學，是唯一一門能夠通過純粹思考——換言之，好像就是通過從其自身內部觀察——發現（甚至證明）真理的科學4。能夠如此做真是一種美妙的感覺。

我已經給出了理由以說明何以數學能夠給某些人如此強烈的喜悅感。但這隻對某些人才確實成立：數學不是人人都喜歡的。例如，與美食或優美的音樂不同，幾乎所有人或多或少都能欣賞——儘管有的人更有激情而有的人則並不熱衷，而數學對大多數人會激起很不相同的感覺：那些曾發現它是何等迷人的人會永遠為之神魂顛倒；而大多數人都無法體會到數學與樂趣之間的任何聯繫。這裡我不打算探討這一現象的根源所在，雖然在這方面已經有一些非常有趣的研究。但非常明顯的是，其根源主要是文化方面的，而且對數學存在潛在熱情的人群比例比通常認為的要高得多。

主要的問題在於，大多數人從未見識過「真正的」數學，中小學數學講授的數學幾乎總是應用於日常生活或科學的一系列秘訣。它很少關乎數學的「優美」。然而，為了理解這個優美，你首先必須遇到它：如果你從未聽過一支樂曲，你怎麼能想像出音樂之優美？幸運的是，讓非數學家遇到「真實的」數學是完全可能的。例如，可以通過我們前面提到的柏拉圖正多面體，或者是歐拉公式eiπ＋ 1 ＝ 0 ；或者是通過拉格朗日定理，它斷言每個正整數可以寫成四個完全平方數的和；或者是通過神奇的莫比烏斯帶，它只有一個面和一條邊（圖4）。依我之見，看看這類對象有助於激發許多人對數學的興趣，特別是那些從未感受到這一點的人，無論是年長的還是年少的。而這當然就是本文的目標所在：讓你邂逅「美妙的」數學。

圖 4 神奇的莫比烏斯帶

注釋

很多人都認為此話出自保羅 ? 埃爾德什（ Paul Erd?s），但實際上原創是阿爾弗雷德 ? 瑞尼 (Alfréd Rényi)——譯者注

特別的，應該提及本世紀初俄羅 斯數學家格里高利 ? 佩雷爾曼（ Grigori Perelman） 對龐加萊猜想的證明 ——譯者注

為了表述一個關於素數分布的猜想，高斯計算了前10 萬個素數（或是促使這一計算完成），該猜想直到他逝世40 年之後才被驗證，黎曼也是通過數值計算髮現了他的著名猜想。

現在這個觀點通常被稱為「柏拉圖主義」，源於柏拉圖《美諾》，在那裡蘇格拉底用一系列聰明的問題引導一個未受教育的奴隸男孩理解並證明了以正方形的對角線為邊長的正方形的面積是原正方形面積的兩倍。儘管柏拉圖從中引出了極其奇怪的結論說，該男孩有不朽的靈魂，而這裡只是簡單地回憶起前世的一個證明。

作者簡介

Don Zagier，1951 年出生於德國海德堡，在美國長大，13 歲時高中畢業，16 歲時獲得了麻省理工學院的數學物理碩士學位，20 歲時在波恩大學的Friedrich Hirzebruch 的指導下完成關於示性類的博士學位論文。他的主要工作領域是數論。Zagier 目前是德國的馬普數學所的四位所長之一，同時也是法蘭西學院的數學教授。Zagier指導的博士生中最著名的是菲爾茲獎得主Maxim Kontsevich。

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