為什麼會有矩陣這東西，矩陣到底有什麼用

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這個表妹

你們要嗎

上一次超模君終於把愛學習的5歲表弟打發走了。。。

原本想這個周末可以好好休息一下，沒想到10歲表妹竟然來了。

進門的那種氣勢感覺勢不可擋。。。

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表妹：表弟他學會行列式，你今天一定要跟我說說矩陣。

超模君：哦，不過我要先寫文章，你先去那看《衡水寶典》。

表妹：表哥，如果現在你教我的話，我就介紹隔壁家的漂亮姐姐給你認識，那個姐姐...

超模君：你等會，先不要看《衡水寶典》，最近衡水中學的學生清華浙大都不錄取了，還是我來給你講講矩陣吧，這樣才能幫助你學習。

在《線性代數》書中，行列式和矩陣總是如影隨行，而且兩個確實長得很相似，所以也經常有人混淆兩者。

矩陣：有勾必火

雖然這個時代很看顏值（矩陣有勾，確實比較火一點），不過超模君可不是這麼膚淺，超模君還是很看重內涵。

行列式：是指將一些數據建立成計算方陣，經過規定的計算方法最終得到一個數。換句話說，行列式代表的是一個值。

而矩陣則不同，矩陣表示的是一個數表，是一個數據的集合體。換句話說，矩陣更神似於一張n行m列的數字表格，或者Excel表。

最近這幾天，京西旅館的大廚還沒到位，採購蔬菜的事情還是落在了小天的身上。

這不，精打細算（摳門）的劉強西就派小天到村頭菜市場、村尾王大媽菜攤和隔壁村老王農場去調研不同菜品的價格，說是不能亂花一分錢。。。

小天分別去三個地方分別調研了三種菜品，發現價格真有不同。。。

而之後小天便將得到的數據用矩陣表示出來。

劉強西看到小天提供的矩陣：這是什麼鬼，小天，你幹嘛用矩陣來表示呀？！

小天：因為矩陣也是一種表示多維度數據的方式呀！

劉強西：但這個比Excel表難看，不喜歡，而且沒什麼用。

小天此時露出鄙夷的眼光：劉boss，你竟然說矩陣沒什麼用（這個也不怪你，就是現在還有人說數學沒什麼用），其實之所以做成矩陣的形式，就為了四個字：便於計算。

我記得上一次你還跟我說過三種蔬菜的需求量，那我們將需求量做成需求矩陣B：

那我們就可以得到三個地方的價格（價格矩陣C）：

如果此時我們再考慮距離因素和時間成本，那也就是增加距離矩陣D和時間矩陣E，最後再用上我們最簡單的運演算法則：加減乘除。

那這樣的話，我們就可以對三個購菜點進行綜合評估，選出最好的供應商了。

劉強西：小天越來越聰明了，講的很有道理。

小天：我一直都很聰明。

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據知情人士爆料，矩陣最開始是用於線性變換。

那什麼是線性變換？

向量空間V到其自身的映射稱為V的變換，V到V的線性映射稱為V的線性變換，簡言之，線性映射就是保持線性關係的映射。

超模君，咱能好好得講話嗎？

行行行，就來！從最簡單的例子來說，假設X是(a, b, c)這樣的數字向量，那麼我們經常講的線性方程組就是對於這個向量做變換，而矩陣乘法就是用來接線性方程組的。

那當我們把X看成函數，我們常講的微分運算也是一種線性變換，而此時的矩陣乘法則是被用來解微分方程。

學過氣象的同學應該對矩陣也很了解，因為他們經常會用矩陣運算來對未來的天氣進行預測。

每一天的天氣狀況在觀測後就會是一個具體值，而在觀測到之前，我們可以把它想像成一個概率的向量（比如今天的氣溫22°C的概率是85%，23°C的概率是10%，24°C的概率是5%）。

然後呢，假設每一天的天氣和前一天的天氣構成馬爾可夫鏈：

馬爾可夫鏈（Markov Chain），描述了一種狀態序列，其每個狀態值取決於前面有限個狀態。馬爾可夫鏈是具有馬爾可夫性質的隨機變數的一個數列。

也就是說明天的天氣是今天天氣的線性變換，所以矩陣的乘法可以幫助你預測n天后的天氣。

從剛才講的幾個例子，各位模友可能會發現：

好像很多東西都是線性變換啊？

原因還簡單，以為線性關係足夠簡單，就比如牛頓定理F=ma。

事實上，無論是大數學家還是大物理學家，每個人都希望用最簡單的方式去解決問題，還有在我們的數學建模競賽中，一種簡單明了的演算法總是會比各種複雜演算法更容易讓人接受。

而這種對於線性關係的追求，其實也是能力所限制，當我們不知道所研究的對象服從什麼規則的時候，我們通常會假設這個現象是服從線性關係（不因為別的，還是因為簡單）。

如果太複雜了的怎麼辦，我們也總是會在複雜的內部關係裡面找出線性關係的存在。

你看，線性關係的基礎就是ax+b，沒錯，這裡的運算規則就只有乘法和加法（相信小學就會了）。

矩陣的運算其實就是簡單的乘法和加法，而矩陣的出現，也是為了讓我們能更好地處理更多維度的數據情況。

最後再講一點：

什麼是矩陣的秩

關於矩陣的秩，超模君曾在知乎上看過到這麼一個回答：

你們家r口人，然後拍了n張照片。

這個r就是秩了。

這樣看下來，秩便是線性組合出所有照片所需要的最少的獨一無二的人的數量。

本文由超級數學建模編輯整理

部分資料來源於知乎

勞動節我還在碼字，你們在幹嘛

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